{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Prosta 𝑘 jest styczna do tego\nokręgu w punkcie 𝐴 i tworzy z cięciwą 𝐴𝐵 kąt o mierze 32°. Ponadto odcinek 𝐴𝐶 jest\nśrednicą tego okręgu (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta rozwartego 𝐵𝑂𝐶 jest równa\nA. 148°\nB. 116°\nC. 154°\nD. 122°\n𝐶\n𝑂\n𝐵\n𝑘\n32°\n𝐴\n\nMMAP-P0_100\nPunkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB kąt o mierze 32°. Ponadto odcinek AC jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta rozwartego BOC jest równa A. 148° & B. 116° C. 154° D. 122°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych;\nVIII.7) stosuje twierdzenie […] o kącie\nmiędzy styczną a cięciwą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, zatem\n\n∠ OBC=90^°.\n\nZ rysunku\n\n∠ ABC=32^°.\n\nStąd\n\n∠ ABO=90^°-32^°=58^°.\n\nTrójkąt AOB jest równoramienny, ponieważ\n\nOA=OB\n\n- są to promienie tego samego okręgu.\n\nZatem\n\n∠ BAO=∠ ABO=58^°.\n\nSuma kątów w trójkącie AOB wynosi 180^° , więc\n\n∠ AOB=180^°-58^°-58^°=64^°.\n\nPonieważ punkty A,O,C leżą na jednej prostej,\n\n∠ AOC=180^°.\n\nStąd\n\n∠ BOC=180^°-64^°=116^°.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-22.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>Punkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Prosta 𝑘 jest styczna do tego<br>okręgu w punkcie 𝐴 i tworzy z cięciwą 𝐴𝐵 kąt o mierze 32°. Ponadto odcinek 𝐴𝐶 jest<br>średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Miara kąta rozwartego 𝐵𝑂𝐶 jest równa<br>A. 148°<br>B. 116°<br>C. 154°<br>D. 122°<br>𝐶<br>𝑂<br>𝐵<br>𝑘<br>32°<br>𝐴</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB kąt o mierze 32°. Ponadto odcinek AC jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta rozwartego BOC jest równa A. 148° &amp; B. 116° C. 154° D. 122°</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>VIII.5) stosuje własności kątów wpisanych<br>i środkowych;<br>VIII.7) stosuje twierdzenie […] o kącie<br>między styczną a cięciwą.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, zatem</p>\n<p>∠ OBC=90^°.</p>\n<p>Z rysunku</p>\n<p>∠ ABC=32^°.</p>\n<p>Stąd</p>\n<p>∠ ABO=90^°-32^°=58^°.</p>\n<p>Trójkąt AOB jest równoramienny, ponieważ</p>\n<p>OA=OB</p>\n<ul><li>są to promienie tego samego okręgu.</li></ul>\n<p>Zatem</p>\n<p>∠ BAO=∠ ABO=58^°.</p>\n<p>Suma kątów w trójkącie AOB wynosi 180^° , więc</p>\n<p>∠ AOB=180^°-58^°-58^°=64^°.</p>\n<p>Ponieważ punkty A,O,C leżą na jednej prostej,</p>\n<p>∠ AOC=180^°.</p>\n<p>Stąd</p>\n<p>∠ BOC=180^°-64^°=116^°.</p>"}]}