Zadanie 24. (0-2)
Dany jest okrąg 𝒪 o środku w punkcie 𝑆. Średnica 𝐴𝐵 tego okręgu przecina cięciwę 𝐶𝐷
w punkcie 𝑃 (zobacz rysunek). Ponadto: |𝑃𝐵| = 4, |𝑃𝐶| = 8 oraz |𝑃𝐷| = 5.
Oblicz promień okręgu 𝓞. Zapisz obliczenia.
24.
0-1-2
𝐴
𝐶
𝐵
𝐷
𝑃
𝑆
MMAP-P0_100
Dany jest okrąg O o środku w punkcie S. Średnica AB tego okręgu przecina cięciwę CD w punkcie P (zobacz rysunek). Ponadto: |PB|=4, |PC|=8 oraz |PD|=5. [rysunek] Oblicz promień okręgu O. Zapisz obliczenia.
Zadanie 24. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
VIII.1) wyznacza promienie i średnice
okręgów, długości cięciw okręgów oraz
odcinków stycznych, w tym
z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;
VIII.8) korzysta z cech podobieństwa
trójkątów.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda i obliczenie promienia okręgu 𝒪: 𝑟= 7.
1 pkt - stwierdzenie i wykazanie, że trójkąty 𝐴𝑃𝐶 oraz 𝐵𝑃𝐷 są podobne
ALBO
ALBO
\no siecznych, prowadzącej do obliczenia długości odcinka 𝑃𝐴, np.
|𝑃𝐴|
|𝑃𝐷| =
|𝑃𝐶|
|𝑃𝐵| , |𝑃𝐴| ∙|𝑃𝐵| = |𝑃𝐶| ∙|𝑃𝐷|.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Z warunków zadania otrzymujemy:
|∢𝐴𝐵𝐷| = |∢𝐴𝐶𝐷| , ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku 𝐴𝐷,
|∢𝐵𝐴𝐶| = |∢𝐵𝐷𝐶| , ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku 𝐵𝐶,
|∢𝐴𝑃𝐶| = |∢𝐵𝑃𝐷| , ponieważ są to kąty wierzchołkowe.
Zatem trójkąty 𝐴𝐶𝑃 oraz 𝐵𝑃𝐷 są podobne na podstawie cechy 𝐾𝐾𝐾 (kąt - kąt - kąt).
Z podobieństwa trójkątów 𝐴𝐶𝑃 oraz 𝐵𝑃𝐷 otrzymujemy:
|𝑃𝐴|
|𝑃𝐷| = |𝑃𝐶|
|𝑃𝐵|
|𝑃𝐴|
5
= 8
4
|𝑃𝐴| = 10
|𝐴𝐵| = |𝐴𝑃| + |𝑃𝐵| = 10 + 4 = 14
Zatem promień 𝑟 okręgu 𝒪 jest równy:
𝑟= 1
2 ∙|𝐴𝐵| = 1
2 ∙14 = 7
Sposób II
Z warunków zadania otrzymujemy:
|∢𝐴𝐷𝐶| = |∢𝐴𝐵𝐶| , ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku 𝐴𝐶,
|∢𝐵𝐴𝐷| = |∢𝐵𝐶𝐷| , ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku 𝐵𝐷,
|∢𝐴𝑃𝐷| = |∢𝐵𝑃𝐶| , ponieważ są to kąty wierzchołkowe.
Zatem trójkąty 𝐴𝑃𝐷 oraz 𝐵𝑃𝐶 są podobne na podstawie cechy 𝐾𝐾𝐾 (kąt - kąt - kąt).
Z podobieństwa trójkątów 𝐴𝑃𝐷 oraz 𝐵𝑃𝐶 otrzymujemy:
|𝑃𝐴|
|𝑃𝐶| = |𝑃𝐷|
|𝑃𝐵|
|𝑃𝐴|
8
= 5
4
|𝑃𝐴| = 10
|𝐴𝐵| = |𝐴𝑃| + |𝑃𝐵| = 10 + 4 = 14
Zatem promień 𝑟 okręgu 𝒪 jest równy:
𝑟= 1
2 ∙|𝐴𝐵| = 1
2 ∙14 = 7
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób III
Korzystamy z twierdzenia o siecznych okręgu:
|𝑃𝐴| ∙|𝑃𝐵| = |𝑃𝐶| ∙|𝑃𝐷|
|𝑃𝐴| ∙4 = 8 ∙5
|𝑃𝐴| = 10
Obliczamy długość średnicy okręgu 𝐴𝐵:
|𝐴𝐵| = |𝐴𝑃| + |𝑃𝐵| = 10 + 4 = 14
Zatem promień 𝑟 okręgu 𝒪 jest równy:
𝑟= 1
2 ∙|𝐴𝐵| = 1
2 ∙14 = 7
Z twierdzenia o przecinających się cięciwach:
PA·4=8·5, PA=10.
Średnica AB=10+4=14 , więc
r=7.
$r = 7$
"}]}