{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"26","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-3)\nObjętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 384. Wysokość ściany\nbocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 𝛼 taki, że tg 𝛼= 4\n3\n(zobacz rysunek).\nOblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.\n26.\n0-1-\n2-3\n𝛼\n⋅\n⋅\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nObjętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 384. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze α taki, że tgα=4/3 (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.","answer":"10","answer_text":"Zadanie 26. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nX.2) posługuje się pojęciem kąta między\nprostą a płaszczyzną;\nX.3) rozpoznaje w graniastosłupach\ni ostrosłupach kąty między odcinkami\n(np. krawędziami, krawędziami\ni przekątnymi), oblicza miary tych kątów;\nX.4) oblicza objętości […] ostrosłupów,\nrównież z wykorzystaniem trygonometrii\ni poznanych twierdzeń.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości ściany bocznej ostrosłupa oraz poprawny\nwynik: ℎ𝑏= 10.\n2 pkt - obliczenie współczynnika proporcjonalności: 𝑥= 2\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 12,\nALBO\n- obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 8,\nALBO\n- zapisanie, że 𝐻= 8 i\n1\n2 𝑎= 6 oraz sprawdzenie, że dla tych danych liczbowych\nobjętość ostrosłupa jest równa 384,\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą ℎ𝑏 - wysokością ściany bocznej, np.\n1\n3 ∙(\n6\n5 ℎ𝑏)\n2\n∙\n4\n5 ℎ𝑏= 384,\n- obliczenie objętości 𝑉1 = 48 ostrosłupa o krawędzi podstawy 𝑎1 = 6 i wysokości\n𝐻1 = 4, podobnego do rozpatrywanego oraz obliczenie skali podobieństwa tych\nostrosłupów, np. 𝑘= √\n384\n48\n3\n= 2.\n1 pkt - oznaczenie połowy krawędzi podstawy jako 3𝑥 i zapisanie wysokości ostrosłupa\njako 4𝑥 oraz zapisanie wysokości ściany bocznej jako 5𝑥, gdzie 𝑥 jest\nwspółczynnikiem proporcjonalności\nALBO\n- oznaczenie połowy krawędzi podstawy jako 3𝑥 i zapisanie wysokości ostrosłupa\njako 4𝑥 oraz zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 prowadzącego do\nwyznaczenia krawędzi podstawy oraz wysokości ostrosłupa, np.\n1\n3 ∙(6𝑥)2 ∙4𝑥= 384,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie dwóch równań z niewiadomymi 𝑎 oraz 𝐻 prowadzących do wyznaczenia\nkrawędzi podstawy oraz wysokości ostrosłupa, np.\n𝐻\n1\n2𝑎=\n4\n3 oraz\n1\n3 ∙𝑎2 ∙𝐻= 384,\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy długością krawędzi podstawy oraz wysokością ściany\nbocznej np.\n1\n2𝑎\nℎ𝑏=\n3\n5 oraz zapisanie zależności pomiędzy wysokością ostrosłupa oraz\nwysokością ściany bocznej, np.\n𝐻\nℎ𝑏=\n4\n5 ,\n- obliczenie objętości 𝑉1 = 48 ostrosłupa o krawędzi podstawy 𝑎1 = 6 i wysokości\n𝐻1 = 4, podobnego do rozpatrywanego oraz zapisanie stosunku objętości tych\nostrosłupów, np.\n𝑉\n𝑉1 =\n384\n48 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że jedna ze ścian bocznych ostrosłupa jest\ntrójkątem równobocznym i wykorzystuje to do obliczenia wysokości ściany bocznej, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa\nc) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦\nd) uwzględnienie we wzorze na objętość ostrosłupa połowy długości krawędzi\npodstawy\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n1 punkt za całe rozwiązanie, o ile nie nabył praw do innej liczby punktów.\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a) - d), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający jedynie zapisze lub obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta\nprostokątnego o przyprostokątnych długości 3 i 4, to otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy wysokość ściany bocznej ostrosłupa opuszczoną\nz wierzchołka podstawy na krawędź boczną, to otrzymuje 3 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmujemy oznaczenia:\n𝛼 - miara kąta pomiędzy wysokością ściany bocznej a podstawą,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa,\nℎ𝑏 - wysokość ściany bocznej ostrosłupa,\n𝑉 - objętość ostrosłupa,\n𝑃𝑝 - pole podstawy ostrosłupa.\nZauważamy, że 𝛼∈(0°, 90°) oraz 𝑎> 0, 𝐻> 0 i ℎ𝑏> 0.\nPonieważ 𝑂 jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, więc |𝑂𝐸| =\n1\n2 𝑎.\nW trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy\ntg 𝛼= |𝑆𝑂|\n|𝑂𝐸| = 𝐻\n1\n2 𝑎\n= 4\n3\nZatem |𝑆𝑂| = 4𝑥 oraz |𝑂𝐸| = 3𝑥 (zobacz rysunek)\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:\n|𝑆𝐸|2 = |𝑆𝑂|2 + |𝑂𝐸|2\n(ℎ𝑏)2 = 𝐻2 + (1\n2 𝑎)\n2\n(ℎ𝑏)2 = (4𝑥)2 + (3𝑥)2 = 16𝑥2 + 9𝑥2 = 25𝑥2\nℎ𝑏= 5𝑥\nPonadto\n𝑉= 1\n3 ∙𝑃𝑝∙𝐻= 1\n3 ∙𝑎2 ∙𝐻= 1\n3 ∙(6𝑥)2 ∙4𝑥= 1\n3 ∙36𝑥2 ∙4𝑥= 48𝑥3\nStąd, że 𝑉= 384, otrzymujemy\n48𝑥3 = 384\n𝑥3 = 8\n𝑥= 2\nObliczamy wysokość ℎ𝑏 ściany bocznej ostrosłupa:\nℎ𝑏= 5𝑥= 10\n𝛼\n∶\n∶\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑂\nℎ𝑏\n4𝑥\n3𝑥\n6𝑥\n𝐸\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nPrzyjmujemy oznaczenia:\n𝛼 - miara kąta pomiędzy wysokością ściany bocznej a podstawą,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa,\nℎ𝑏 - wysokość ściany bocznej ostrosłupa,\n𝑉 - objętość ostrosłupa,\n𝑃𝑝 - pole podstawy ostrosłupa.\nZauważamy, że 𝛼∈(0°, 90°) oraz 𝑎> 0, 𝐻> 0 i ℎ𝑏> 0.\nPonieważ 𝑂 jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, więc |𝑂𝐸| =\n1\n2 𝑎.\nW trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy\ntg 𝛼=\n|𝑆𝑂|\n|𝑂𝐸| = 𝐻\n1\n2 𝑎\n= 4\n3\nZatem\n𝐻= 4\n3 ⋅1\n2 𝑎= 2\n3 𝑎\nPonadto\n𝑉= 1\n3 ∙𝑃𝑝∙𝐻= 1\n3 ∙𝑎2 ∙𝐻= 1\n3 ∙𝑎2 ∙2\n3 𝑎= 2\n9 𝑎3\nStąd, że 𝑉= 384, otrzymujemy\n2\n9 𝑎3 = 384\n𝛼\n∶\n∶\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑂\nℎ𝑏\n𝐻\n1\n2\n𝑎\n𝑎\n𝐸\n𝑎3 = 384 ∶2\n9 = 384 ∙9\n2 = 1728\n𝑎= 12\n𝐻= 2\n3 𝑎= 2\n3 ∙12 = 8\nZ twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość ℎ𝑏 ściany bocznej ostrosłupa:\n|𝑆𝐸|2 = |𝑆𝑂|2 + |𝑂𝐸|2\n(ℎ𝑏)2 = 𝐻2 + (1\n2 𝑎)\n2\n(ℎ𝑏)2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100\nℎ𝑏= 10\nSposób III\nPrzyjmujemy oznaczenia:\n𝛼 - miara kąta pomiędzy wysokością ściany bocznej a podstawą,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa,\nℎ𝑏 - wysokość ściany bocznej ostrosłupa,\n𝑉 - objętość ostrosłupa,\n𝑃𝑝 - pole podstawy ostrosłupa.\nZauważamy, że 𝛼∈(0°, 90°) oraz 𝑎> 0, 𝐻> 0 i ℎ𝑏> 0.\nPonieważ 𝑂 jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, więc |𝑂𝐸| =\n1\n2 𝑎.\n𝛼\n∶\n∶\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑂\nℎ𝑏\n𝐻\n1\n2\n𝑎\n𝑎\n𝐸\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZ treści zadania wiemy, że tg 𝛼=\n4\n3 , zatem\nsin𝛼\ncos 𝛼=\n4\n3 . Stąd sin 𝛼=\n4\n3 ⋅cos 𝛼.\nWykorzystując tę zależność oraz tożsamość sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 otrzymujemy\n(4\n3 cos 𝛼)\n2\n+ cos2 𝛼= 1\n16\n9 cos2 𝛼+ cos2 𝛼= 1\n25\n9 cos2 𝛼= 1\ncos2 𝛼= 9\n25\nStąd cos 𝛼=\n3\n5 , ponieważ 𝛼 jest kątem ostrym.\nZatem sin 𝛼=\n4\n3 ⋅cos 𝛼=\n4\n3 ⋅\n3\n5 =\n4\n5\nZ trójkąta prostokątnego 𝐴𝑂𝑆 otrzymujemy\nsin 𝛼=\n𝐻\nℎ𝑏 oraz cos 𝛼=\n1\n2𝑎\nℎ𝑏\nZatem\n𝐻\nℎ𝑏=\n4\n5 oraz\n1\n2𝑎\nℎ𝑏=\n3\n5\n𝐻=\n4\n5 ℎ𝑏 oraz 𝑎=\n6\n5 ℎ𝑏\nPonadto\n𝑉= 1\n3 ∙𝑃𝑝∙𝐻= 1\n3 ∙𝑎2 ∙𝐻= 1\n3 ∙(6\n5 ℎ𝑏)\n2\n∙4\n5 ℎ𝑏= 1\n3 ⋅36\n25 ℎ𝑏\n2 ⋅4\n5 ℎ𝑏= 48\n125 ℎ𝑏\n3\nStąd, że 𝑉= 384, otrzymujemy\n48\n125 ℎ𝑏\n3 = 384\nℎ𝑏\n3 = 384 ∶48\n125 = 384 ⋅125\n48 = 1000\nℎ𝑏= 10\nSposób IV\nRozważmy ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝑆1 o wysokości 4\ni krawędzi podstawy długości 6.\nObjętość tego ostrosłupa jest równa\n𝑉1 = 1\n3 ⋅62 ⋅4 = 48\nOstrosłup ten jest podobny do danego ostrosłupa, a stosunek ich objętości jest równy\nsześcianowi skali podobieństwa. Zatem\n𝑘3 = 𝑉\n𝑉1\n= 384\n48 = 8\nStąd 𝑘= 2.\nPonieważ wysokość 𝑆1𝐸1 ściany bocznej ostrosłupa 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝑆1 jest równa 5, więc\nszukana wysokość ściany bocznej danego ostrosłupa jest równa 5 ⋅2 = 10.\n𝛼\n∶\n∶\n𝐴1\n𝐵1\n𝐶1\n𝐷1\n𝑆1\n𝑂1\n5\n4\n3\n6\n𝐸1\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Niech a oznacza długość boku kwadratowej podstawy, H - wysokość ostrosłupa, a l - wysokość ściany bocznej.\n\nNiech O będzie środkiem podstawy, a M środkiem jednego z jej boków. Wtedy\n\nOM=(a)/(2).\n\nKąt nachylenia ściany bocznej do podstawy jest kątem między odcinkami SM i OM . Z treści:\n\ntanα=(4)/(3).\n\nW trójkącie prostokątnym SOM :\n\ntanα=(SO)/(OM)=(H)/(a/2).\n\nZatem\n\n(H)/(a/2)=(4)/(3),\n\nH=(4)/(3)·(a)/(2)=(2a)/(3).\n\nObjętość ostrosłupa:\n\nV=(1)/(3)P_pH.\n\nPonieważ podstawa jest kwadratem, P_p=a^2 . Podstawiamy:\n\n384=(1)/(3)a^2·(2a)/(3)=(2a^3)/(9).\n\nMnożymy przez 9 :\n\n3456=2a^3,\n\na^3=1728,\n\na=12.\n\nObliczamy wysokość ostrosłupa:\n\nH=(2a)/(3)=(2·12)/(3)=8.\n\nW trójkącie prostokątnym SOM szukana wysokość ściany bocznej spełnia:\n\nl^2=H^2+ ((a)/(2) )^2.\n\nPodstawiamy:\n\nl^2=8^2+6^2=64+36=100.\n\nZatem\n\nl=10.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 26. (0-3)<br>Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 384. Wysokość ściany<br>bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 𝛼 taki, że tg 𝛼= 4<br>3<br>(zobacz rysunek).<br>Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.<br>26.<br>0-1-<br>2-3<br>𝛼<br>⋅<br>⋅</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 384. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze α taki, że tgα=4/3 (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 26. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Tworzenie pomocniczych obiektów</li></ol>\n<p>matematycznych na podstawie istniejących,<br>w celu przeprowadzenia argumentacji lub<br>rozwiązania problemu.<br>Zdający:<br>X.2) posługuje się pojęciem kąta między<br>prostą a płaszczyzną;<br>X.3) rozpoznaje w graniastosłupach<br>i ostrosłupach kąty między odcinkami<br>(np. krawędziami, krawędziami<br>i przekątnymi), oblicza miary tych kątów;<br>X.4) oblicza objętości […] ostrosłupów,<br>również z wykorzystaniem trygonometrii<br>i poznanych twierdzeń.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości ściany bocznej ostrosłupa oraz poprawny<br>wynik: ℎ𝑏= 10.<br>2 pkt - obliczenie współczynnika proporcjonalności: 𝑥= 2<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 12,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 8,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie, że 𝐻= 8 i</li></ul>\n<p>1<br>2 𝑎= 6 oraz sprawdzenie, że dla tych danych liczbowych<br>objętość ostrosłupa jest równa 384,</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą ℎ𝑏 - wysokością ściany bocznej, np.</li></ul>\n<p>1<br>3 ∙(<br>6<br>5 ℎ𝑏)<br>2<br>∙<br>4<br>5 ℎ𝑏= 384,</p>\n<ul><li>obliczenie objętości 𝑉1 = 48 ostrosłupa o krawędzi podstawy 𝑎1 = 6 i wysokości</li></ul>\n<p>𝐻1 = 4, podobnego do rozpatrywanego oraz obliczenie skali podobieństwa tych<br>ostrosłupów, np. 𝑘= √<br>384<br>48<br>3<br>= 2.<br>1 pkt - oznaczenie połowy krawędzi podstawy jako 3𝑥 i zapisanie wysokości ostrosłupa<br>jako 4𝑥 oraz zapisanie wysokości ściany bocznej jako 5𝑥, gdzie 𝑥 jest<br>współczynnikiem proporcjonalności<br>ALBO</p>\n<ul><li>oznaczenie połowy krawędzi podstawy jako 3𝑥 i zapisanie wysokości ostrosłupa</li></ul>\n<p>jako 4𝑥 oraz zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 prowadzącego do<br>wyznaczenia krawędzi podstawy oraz wysokości ostrosłupa, np.<br>1<br>3 ∙(6𝑥)2 ∙4𝑥= 384,<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>zapisanie dwóch równań z niewiadomymi 𝑎 oraz 𝐻 prowadzących do wyznaczenia</li></ul>\n<p>krawędzi podstawy oraz wysokości ostrosłupa, np.<br>𝐻<br>1<br>2𝑎=<br>4<br>3 oraz<br>1<br>3 ∙𝑎2 ∙𝐻= 384,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności pomiędzy długością krawędzi podstawy oraz wysokością ściany</li></ul>\n<p>bocznej np.<br>1<br>2𝑎<br>ℎ𝑏=<br>3<br>5 oraz zapisanie zależności pomiędzy wysokością ostrosłupa oraz<br>wysokością ściany bocznej, np.<br>𝐻<br>ℎ𝑏=<br>4<br>5 ,</p>\n<ul><li>obliczenie objętości 𝑉1 = 48 ostrosłupa o krawędzi podstawy 𝑎1 = 6 i wysokości</li></ul>\n<p>𝐻1 = 4, podobnego do rozpatrywanego oraz zapisanie stosunku objętości tych<br>ostrosłupów, np.<br>𝑉<br>𝑉1 =<br>384<br>48 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że jedna ze ścian bocznych ostrosłupa jest</li></ol>\n<p>trójkątem równobocznym i wykorzystuje to do obliczenia wysokości ściany bocznej, to<br>otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:</li></ol>\n<p>a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej<br>b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa<br>c) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦<br>d) uwzględnienie we wzorze na objętość ostrosłupa połowy długości krawędzi<br>podstawy<br>i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać<br>1 punkt za całe rozwiązanie, o ile nie nabył praw do innej liczby punktów.<br>Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a) - d), to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający jedynie zapisze lub obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta</li></ol>\n<p>prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 i 4, to otrzymuje 0 punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie obliczy wysokość ściany bocznej ostrosłupa opuszczoną</li></ol>\n<p>z wierzchołka podstawy na krawędź boczną, to otrzymuje 3 punkty.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przyjmujemy oznaczenia:<br>𝛼 - miara kąta pomiędzy wysokością ściany bocznej a podstawą,<br>𝑎 - długość krawędzi podstawy,<br>𝐻 - wysokość ostrosłupa,<br>ℎ𝑏 - wysokość ściany bocznej ostrosłupa,<br>𝑉 - objętość ostrosłupa,<br>𝑃𝑝 - pole podstawy ostrosłupa.<br>Zauważamy, że 𝛼∈(0°, 90°) oraz 𝑎&gt; 0, 𝐻&gt; 0 i ℎ𝑏&gt; 0.<br>Ponieważ 𝑂 jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, więc |𝑂𝐸| =<br>1<br>2 𝑎.<br>W trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy<br>tg 𝛼= |𝑆𝑂|<br>|𝑂𝐸| = 𝐻<br>1<br>2 𝑎<br>= 4<br>3<br>Zatem |𝑆𝑂| = 4𝑥 oraz |𝑂𝐸| = 3𝑥 (zobacz rysunek)<br>Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:<br>|𝑆𝐸|2 = |𝑆𝑂|2 + |𝑂𝐸|2<br>(ℎ𝑏)2 = 𝐻2 + (1<br>2 𝑎)<br>2<br>(ℎ𝑏)2 = (4𝑥)2 + (3𝑥)2 = 16𝑥2 + 9𝑥2 = 25𝑥2<br>ℎ𝑏= 5𝑥<br>Ponadto<br>𝑉= 1<br>3 ∙𝑃𝑝∙𝐻= 1<br>3 ∙𝑎2 ∙𝐻= 1<br>3 ∙(6𝑥)2 ∙4𝑥= 1<br>3 ∙36𝑥2 ∙4𝑥= 48𝑥3<br>Stąd, że 𝑉= 384, otrzymujemy<br>48𝑥3 = 384<br>𝑥3 = 8<br>𝑥= 2<br>Obliczamy wysokość ℎ𝑏 ściany bocznej ostrosłupa:<br>ℎ𝑏= 5𝑥= 10<br>𝛼<br>∶<br>∶<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝑆<br>𝑂<br>ℎ𝑏<br>4𝑥<br>3𝑥<br>6𝑥<br>𝐸<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób II<br>Przyjmujemy oznaczenia:<br>𝛼 - miara kąta pomiędzy wysokością ściany bocznej a podstawą,<br>𝑎 - długość krawędzi podstawy,<br>𝐻 - wysokość ostrosłupa,<br>ℎ𝑏 - wysokość ściany bocznej ostrosłupa,<br>𝑉 - objętość ostrosłupa,<br>𝑃𝑝 - pole podstawy ostrosłupa.<br>Zauważamy, że 𝛼∈(0°, 90°) oraz 𝑎&gt; 0, 𝐻&gt; 0 i ℎ𝑏&gt; 0.<br>Ponieważ 𝑂 jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, więc |𝑂𝐸| =<br>1<br>2 𝑎.<br>W trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy<br>tg 𝛼=<br>|𝑆𝑂|<br>|𝑂𝐸| = 𝐻<br>1<br>2 𝑎<br>= 4<br>3<br>Zatem<br>𝐻= 4<br>3 ⋅1<br>2 𝑎= 2<br>3 𝑎<br>Ponadto<br>𝑉= 1<br>3 ∙𝑃𝑝∙𝐻= 1<br>3 ∙𝑎2 ∙𝐻= 1<br>3 ∙𝑎2 ∙2<br>3 𝑎= 2<br>9 𝑎3<br>Stąd, że 𝑉= 384, otrzymujemy<br>2<br>9 𝑎3 = 384<br>𝛼<br>∶<br>∶<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝑆<br>𝑂<br>ℎ𝑏<br>𝐻<br>1<br>2<br>𝑎<br>𝑎<br>𝐸<br>𝑎3 = 384 ∶2<br>9 = 384 ∙9<br>2 = 1728<br>𝑎= 12<br>𝐻= 2<br>3 𝑎= 2<br>3 ∙12 = 8<br>Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość ℎ𝑏 ściany bocznej ostrosłupa:<br>|𝑆𝐸|2 = |𝑆𝑂|2 + |𝑂𝐸|2<br>(ℎ𝑏)2 = 𝐻2 + (1<br>2 𝑎)<br>2<br>(ℎ𝑏)2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100<br>ℎ𝑏= 10<br>Sposób III<br>Przyjmujemy oznaczenia:<br>𝛼 - miara kąta pomiędzy wysokością ściany bocznej a podstawą,<br>𝑎 - długość krawędzi podstawy,<br>𝐻 - wysokość ostrosłupa,<br>ℎ𝑏 - wysokość ściany bocznej ostrosłupa,<br>𝑉 - objętość ostrosłupa,<br>𝑃𝑝 - pole podstawy ostrosłupa.<br>Zauważamy, że 𝛼∈(0°, 90°) oraz 𝑎&gt; 0, 𝐻&gt; 0 i ℎ𝑏&gt; 0.<br>Ponieważ 𝑂 jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, więc |𝑂𝐸| =<br>1<br>2 𝑎.<br>𝛼<br>∶<br>∶<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝑆<br>𝑂<br>ℎ𝑏<br>𝐻<br>1<br>2<br>𝑎<br>𝑎<br>𝐸<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Z treści zadania wiemy, że tg 𝛼=<br>4<br>3 , zatem<br>sin𝛼<br>cos 𝛼=<br>4<br>3 . Stąd sin 𝛼=<br>4<br>3 ⋅cos 𝛼.<br>Wykorzystując tę zależność oraz tożsamość sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 otrzymujemy<br>(4<br>3 cos 𝛼)<br>2</p>\n<ul><li>cos2 𝛼= 1</li></ul>\n<p>16<br>9 cos2 𝛼+ cos2 𝛼= 1<br>25<br>9 cos2 𝛼= 1<br>cos2 𝛼= 9<br>25<br>Stąd cos 𝛼=<br>3<br>5 , ponieważ 𝛼 jest kątem ostrym.<br>Zatem sin 𝛼=<br>4<br>3 ⋅cos 𝛼=<br>4<br>3 ⋅<br>3<br>5 =<br>4<br>5<br>Z trójkąta prostokątnego 𝐴𝑂𝑆 otrzymujemy<br>sin 𝛼=<br>𝐻<br>ℎ𝑏 oraz cos 𝛼=<br>1<br>2𝑎<br>ℎ𝑏<br>Zatem<br>𝐻<br>ℎ𝑏=<br>4<br>5 oraz<br>1<br>2𝑎<br>ℎ𝑏=<br>3<br>5<br>𝐻=<br>4<br>5 ℎ𝑏 oraz 𝑎=<br>6<br>5 ℎ𝑏<br>Ponadto<br>𝑉= 1<br>3 ∙𝑃𝑝∙𝐻= 1<br>3 ∙𝑎2 ∙𝐻= 1<br>3 ∙(6<br>5 ℎ𝑏)<br>2<br>∙4<br>5 ℎ𝑏= 1<br>3 ⋅36<br>25 ℎ𝑏<br>2 ⋅4<br>5 ℎ𝑏= 48<br>125 ℎ𝑏<br>3<br>Stąd, że 𝑉= 384, otrzymujemy<br>48<br>125 ℎ𝑏<br>3 = 384<br>ℎ𝑏<br>3 = 384 ∶48<br>125 = 384 ⋅125<br>48 = 1000<br>ℎ𝑏= 10<br>Sposób IV<br>Rozważmy ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝑆1 o wysokości 4<br>i krawędzi podstawy długości 6.<br>Objętość tego ostrosłupa jest równa<br>𝑉1 = 1<br>3 ⋅62 ⋅4 = 48<br>Ostrosłup ten jest podobny do danego ostrosłupa, a stosunek ich objętości jest równy<br>sześcianowi skali podobieństwa. Zatem<br>𝑘3 = 𝑉<br>𝑉1<br>= 384<br>48 = 8<br>Stąd 𝑘= 2.<br>Ponieważ wysokość 𝑆1𝐸1 ściany bocznej ostrosłupa 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝑆1 jest równa 5, więc<br>szukana wysokość ściany bocznej danego ostrosłupa jest równa 5 ⋅2 = 10.<br>𝛼<br>∶<br>∶<br>𝐴1<br>𝐵1<br>𝐶1<br>𝐷1<br>𝑆1<br>𝑂1<br>5<br>4<br>3<br>6<br>𝐸1<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Niech a oznacza długość boku kwadratowej podstawy, H - wysokość ostrosłupa, a l - wysokość ściany bocznej.</p>\n<p>Niech O będzie środkiem podstawy, a M środkiem jednego z jej boków. Wtedy</p>\n<p>OM=(a)/(2).</p>\n<p>Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy jest kątem między odcinkami SM i OM . Z treści:</p>\n<p>tanα=(4)/(3).</p>\n<p>W trójkącie prostokątnym SOM :</p>\n<p>tanα=(SO)/(OM)=(H)/(a/2).</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>(H)/(a/2)=(4)/(3),</p>\n<p>H=(4)/(3)·(a)/(2)=(2a)/(3).</p>\n<p>Objętość ostrosłupa:</p>\n<p>V=(1)/(3)P_pH.</p>\n<p>Ponieważ podstawa jest kwadratem, P_p=a^2 . Podstawiamy:</p>\n<p>384=(1)/(3)a^2·(2a)/(3)=(2a^3)/(9).</p>\n<p>Mnożymy przez 9 :</p>\n<p>3456=2a^3,</p>\n<p>a^3=1728,</p>\n<p>a=12.</p>\n<p>Obliczamy wysokość ostrosłupa:</p>\n<p>H=(2a)/(3)=(2·12)/(3)=8.</p>\n<p>W trójkącie prostokątnym SOM szukana wysokość ściany bocznej spełnia:</p>\n<p>l^2=H^2+ ((a)/(2) )^2.</p>\n<p>Podstawiamy:</p>\n<p>l^2=8^2+6^2=64+36=100.</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>l=10.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$h_{b} = 10$</p>"}]}