{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"30","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-4)\nZgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu\nrównoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć\ndługość 12 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być\nrówna 18 dm.\nOblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole\npowierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.\n30.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nZgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 12dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 18dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia długości krótszej podstawy trapezu o największym polu\ni obliczenie największego pola trapezu oraz poprawne wyniki:\n𝑏= 3 dm, 𝑃= 112,5 dm2.\n3 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na pole trapezu w zależności od zmiennej 𝑏 oraz\nprawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: 𝑏= 3\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru na pole trapezu w zależności od zmiennej ℎ oraz\nprawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: ℎ= 15,\nALBO\n- zapisanie poprawnej nierówności między średnią geometryczną i średnią\narytmetyczną dla liczb dodatnich, np. (12 + 𝑏) i (18 -𝑏)\n√(12 + 𝑏)(18 -𝑏) ≤\n12+𝑏+18-𝑏\n2\n,\nALBO\n- wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃 oraz obliczenie jej miejsca zerowego, np.\n𝑃′(𝑏) = -𝑏+ 3, 𝑏= 3.\n2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na pole trapezu w zależności od jednej zmiennej:\n𝑃(𝑏) =\n1\n2 (12 + 𝑏)(18 -𝑏) lub 𝑃(ℎ) =\n1\n2 (30 -ℎ)ℎ.\n1 pkt - zapisanie związku między krótszą podstawą a wysokością trapezu: 𝑏+ ℎ= 18\noraz zapisanie wzoru na pole trapezu w zależności od dwóch zmiennych:\n𝑃(𝑏) =\n1\n2 (12 + 𝑏)ℎ.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze pole trapezu jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej, ale otrzyma wartość\npierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres funkcji 𝑃, która leży\npoza dziedziną funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający zapisze pole trapezu jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej, a następnie obliczy\nwartości tej funkcji dla pierwszej współrzędnej wierzchołka i dwóch argumentów leżących\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nsymetrycznie względem pierwszej współrzędnej wierzchołka i nie odwoła się do własności\nwykresu funkcji kwadratowej, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający nie zapisze pola trapezu jako funkcji jednej zmiennej, a jedynie oblicza\nwartości pola dla wybranych par liczb 𝑏 oraz ℎ i na tej podstawie wskazuje największą\nwartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej\nliczby punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nSposób I\nPrzyjmujemy oznaczenia:\n𝑎= 12 - dłuższa podstawa trapezu,\n𝑏 - krótsza podstawa trapezu,\nℎ - wysokość trapezu.\nZ warunków zadania otrzymujemy:\n𝑏+ ℎ= 18\nStąd wyznaczamy ℎ:\nℎ= 18 -𝑏\nPole trapezu wyrażamy jako funkcję zmiennej 𝑏:\n𝑃(𝑏) = 1\n2 (12 + 𝑏)(18 -𝑏) = -1\n2 (𝑏+ 12)(𝑏-18)\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Z warunków zadania wynika, że:\n𝑏> 0 oraz ℎ= 18 -𝑏> 0 oraz 𝑏< 12\nZatem\n𝑏> 0 oraz 𝑏< 18 oraz 𝑏< 12\nZmienna 𝑏 może przyjmować wartość z przedziału (0, 12).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy\npierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= -12 + 18\n2\n= 6\n2 = 3 ∈(0, 12)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 3.\nDla 𝑏= 3 pole tego trapezu jest równe:\n𝑃(3) = 1\n2 (12 + 3)(18 -3) = 112,5\nNajwiększe pole równe 112,5 dm2 ma trapez, którego krótsza podstawa ma 3 dm.\nSposób II\nPrzyjmujemy oznaczenia:\n𝑎= 12 - dłuższa podstawa trapezu,\n𝑏 - krótsza podstawa trapezu,\nℎ - wysokość trapezu.\nZ warunków zadania otrzymujemy:\n𝑏+ ℎ= 18\nStąd wyznaczamy 𝑏:\n𝑏= 18 -ℎ\nPole trapezu wyrażamy jako funkcję zmiennej ℎ:\n𝑃(ℎ) = 1\n2 (12 + 18 -ℎ)ℎ= 1\n2 (30 -ℎ)ℎ\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Z warunków zadania wynika, że:\nℎ> 0 oraz 𝑏= 18 -ℎ> 0 oraz 𝑏= 18 -ℎ< 12\nZatem\nℎ> 0 oraz ℎ< 18 oraz ℎ> 6\nZmienna ℎ może przyjmować wartość z przedziału (6, 18).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy\npierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= 30 + 0\n2\n= 15 ∈(6, 18)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 15.\nDla ℎ= 15 pole tego trapezu jest równe:\n𝑃(15) = 1\n2 (30 -15)15 = 112,5\nObliczamy długość krótszej podstawy trapezu:\n𝑏= 18 -15 = 3\nNajwiększe pole równe 112,5 dm2 ma trapez, którego krótsza podstawa ma 3 dm.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nPrzyjmujemy oznaczenia:\n𝑎= 12 - dłuższa podstawa trapezu,\n𝑏 - krótsza podstawa trapezu,\nℎ - wysokość trapezu.\nZ warunków zadania otrzymujemy:\n𝑏+ ℎ= 18\nStąd wyznaczamy ℎ:\nℎ= 18 -𝑏\nPole trapezu wyrażamy jako funkcję zmiennej 𝑏:\n𝑃(𝑏) = 1\n2 (12 + 𝑏)(18 -𝑏)\nZ nierówności między średnią geometryczną i średnią arytmetyczną dla liczb dodatnich\n(12 + 𝑏) i (18 -𝑏) otrzymujemy\n√(12 + 𝑏)(18 -𝑏) ≤12 + 𝑏+ 18 -𝑏\n2\n√(12 + 𝑏)(18 -𝑏) ≤15\nStąd\n(12 + 𝑏)(18 -𝑏) ≤225\nprzy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 12 + 𝑏= 18 -𝑏, czyli dla 𝑏= 3.\nWtedy pole trapezu jest największe i równe 𝑃(3) =\n1\n2 ⋅225 = 112,5.","solution":"Niech x oznacza krótszą podstawę. Wysokość wynosi 18-x , więc\nP(x)=(12+x)/(2)(18-x)=-(1)/(2)x^2+3x+108.\nFunkcja osiąga maksimum dla\nx=-(3)/(2(-frac12))=3.\nWtedy\nP_max=(12+3)/(2)·15=112 , 5 dm^2.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 30. (0-4)<br>Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu<br>równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć<br>długość 12 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być<br>równa 18 dm.<br>Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole<br>powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.<br>30.<br>0-1-<br>2-3-4</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 12dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 18dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 30. (0-4)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>XIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne<br>w sytuacjach dających się opisać funkcją<br>kwadratową.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia długości krótszej podstawy trapezu o największym polu<br>i obliczenie największego pola trapezu oraz poprawne wyniki:<br>𝑏= 3 dm, 𝑃= 112,5 dm2.<br>3 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na pole trapezu w zależności od zmiennej 𝑏 oraz<br>prawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: 𝑏= 3<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie poprawnego wzoru na pole trapezu w zależności od zmiennej ℎ oraz</li></ul>\n<p>prawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: ℎ= 15,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie poprawnej nierówności między średnią geometryczną i średnią</li></ul>\n<p>arytmetyczną dla liczb dodatnich, np. (12 + 𝑏) i (18 -𝑏)<br>√(12 + 𝑏)(18 -𝑏) ≤<br>12+𝑏+18-𝑏<br>2<br>,<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃 oraz obliczenie jej miejsca zerowego, np.</li></ul>\n<p>𝑃′(𝑏) = -𝑏+ 3, 𝑏= 3.<br>2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na pole trapezu w zależności od jednej zmiennej:<br>𝑃(𝑏) =<br>1<br>2 (12 + 𝑏)(18 -𝑏) lub 𝑃(ℎ) =<br>1<br>2 (30 -ℎ)ℎ.<br>1 pkt - zapisanie związku między krótszą podstawą a wysokością trapezu: 𝑏+ ℎ= 18<br>oraz zapisanie wzoru na pole trapezu w zależności od dwóch zmiennych:<br>𝑃(𝑏) =<br>1<br>2 (12 + 𝑏)ℎ.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze pole trapezu jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej, ale otrzyma wartość</li></ol>\n<p>pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres funkcji 𝑃, która leży<br>poza dziedziną funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze pole trapezu jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej, a następnie obliczy</li></ol>\n<p>wartości tej funkcji dla pierwszej współrzędnej wierzchołka i dwóch argumentów leżących<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>symetrycznie względem pierwszej współrzędnej wierzchołka i nie odwoła się do własności<br>wykresu funkcji kwadratowej, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie zapisze pola trapezu jako funkcji jednej zmiennej, a jedynie oblicza</li></ol>\n<p>wartości pola dla wybranych par liczb 𝑏 oraz ℎ i na tej podstawie wskazuje największą<br>wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej<br>liczby punktów.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Sposób I<br>Przyjmujemy oznaczenia:<br>𝑎= 12 - dłuższa podstawa trapezu,<br>𝑏 - krótsza podstawa trapezu,<br>ℎ - wysokość trapezu.<br>Z warunków zadania otrzymujemy:<br>𝑏+ ℎ= 18<br>Stąd wyznaczamy ℎ:<br>ℎ= 18 -𝑏<br>Pole trapezu wyrażamy jako funkcję zmiennej 𝑏:<br>𝑃(𝑏) = 1<br>2 (12 + 𝑏)(18 -𝑏) = -1<br>2 (𝑏+ 12)(𝑏-18)<br>Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Z warunków zadania wynika, że:<br>𝑏&gt; 0 oraz ℎ= 18 -𝑏&gt; 0 oraz 𝑏&lt; 12<br>Zatem<br>𝑏&gt; 0 oraz 𝑏&lt; 18 oraz 𝑏&lt; 12<br>Zmienna 𝑏 może przyjmować wartość z przedziału (0, 12).<br>Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy<br>pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:<br>𝑝= -12 + 18<br>2<br>= 6<br>2 = 3 ∈(0, 12)<br>Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 3.<br>Dla 𝑏= 3 pole tego trapezu jest równe:<br>𝑃(3) = 1<br>2 (12 + 3)(18 -3) = 112,5<br>Największe pole równe 112,5 dm2 ma trapez, którego krótsza podstawa ma 3 dm.<br>Sposób II<br>Przyjmujemy oznaczenia:<br>𝑎= 12 - dłuższa podstawa trapezu,<br>𝑏 - krótsza podstawa trapezu,<br>ℎ - wysokość trapezu.<br>Z warunków zadania otrzymujemy:<br>𝑏+ ℎ= 18<br>Stąd wyznaczamy 𝑏:<br>𝑏= 18 -ℎ<br>Pole trapezu wyrażamy jako funkcję zmiennej ℎ:<br>𝑃(ℎ) = 1<br>2 (12 + 18 -ℎ)ℎ= 1<br>2 (30 -ℎ)ℎ<br>Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Z warunków zadania wynika, że:<br>ℎ&gt; 0 oraz 𝑏= 18 -ℎ&gt; 0 oraz 𝑏= 18 -ℎ&lt; 12<br>Zatem<br>ℎ&gt; 0 oraz ℎ&lt; 18 oraz ℎ&gt; 6<br>Zmienna ℎ może przyjmować wartość z przedziału (6, 18).<br>Wykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy<br>pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:<br>𝑝= 30 + 0<br>2<br>= 15 ∈(6, 18)<br>Zatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 15.<br>Dla ℎ= 15 pole tego trapezu jest równe:<br>𝑃(15) = 1<br>2 (30 -15)15 = 112,5<br>Obliczamy długość krótszej podstawy trapezu:<br>𝑏= 18 -15 = 3<br>Największe pole równe 112,5 dm2 ma trapez, którego krótsza podstawa ma 3 dm.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób III<br>Przyjmujemy oznaczenia:<br>𝑎= 12 - dłuższa podstawa trapezu,<br>𝑏 - krótsza podstawa trapezu,<br>ℎ - wysokość trapezu.<br>Z warunków zadania otrzymujemy:<br>𝑏+ ℎ= 18<br>Stąd wyznaczamy ℎ:<br>ℎ= 18 -𝑏<br>Pole trapezu wyrażamy jako funkcję zmiennej 𝑏:<br>𝑃(𝑏) = 1<br>2 (12 + 𝑏)(18 -𝑏)<br>Z nierówności między średnią geometryczną i średnią arytmetyczną dla liczb dodatnich<br>(12 + 𝑏) i (18 -𝑏) otrzymujemy<br>√(12 + 𝑏)(18 -𝑏) ≤12 + 𝑏+ 18 -𝑏<br>2<br>√(12 + 𝑏)(18 -𝑏) ≤15<br>Stąd<br>(12 + 𝑏)(18 -𝑏) ≤225<br>przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 12 + 𝑏= 18 -𝑏, czyli dla 𝑏= 3.<br>Wtedy pole trapezu jest największe i równe 𝑃(3) =<br>1<br>2 ⋅225 = 112,5.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Niech x oznacza krótszą podstawę. Wysokość wynosi 18-x , więc<br>P(x)=(12+x)/(2)(18-x)=-(1)/(2)x^2+3x+108.<br>Funkcja osiąga maksimum dla<br>x=-(3)/(2(-frac12))=3.<br>Wtedy<br>P_max=(12+3)/(2)·15=112 , 5 dm^2.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$b = 3 \\text{ dm}, P = 112,5 \\text{ dm}^{2}$</p>"}]}