{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej 𝒏 liczba 𝟑𝒏𝟐+ 𝟒𝒏+ 𝟏 jest\npodzielna przez 𝟒.\n5.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba 3n^2+4n+1 jest podzielna przez 4.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia nie trudniejsze niż dowód\npodzielności przez 24 iloczynu czterech\nkolejnych liczb naturalnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - założenie, że 𝑛= 2𝑙+ 1 oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do\npostaci 4(3𝑙2 + 5𝑙+ 2) oraz zapisanie, że 𝑙 jest liczbą całkowitą lub, że suma\n3𝑙2 + 5𝑙+ 2 jest liczbą całkowitą\nALBO\n- stwierdzenie, że składnik 4𝑛 jest podzielny przez 4, oraz założenie, że 𝑛= 2𝑙+ 1\noraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 1 do postaci 4(3𝑙2 + 3𝑙+ 1) i zapisanie,\nże 𝑙 jest liczbą całkowitą lub, że suma 3𝑙2 + 3𝑙+ 1 jest liczbą całkowitą,\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci (3𝑛+ 1)(𝑛+ 1) oraz\nstwierdzenie, że wyrażenie (3𝑛+ 1)(𝑛+ 1) jest iloczynem dwóch liczb parzystych,\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 4(𝑛2 + 𝑛) + (1 -𝑛)(1 + 𝑛)\noraz stwierdzenie, że wyrażenie 4(𝑛2 + 𝑛) + (1 -𝑛)(1 + 𝑛) jest sumą dwóch\nliczb podzielnych przez 4,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 2(𝑛2 + 𝑛) + (𝑛+ 1)2\noraz stwierdzenie, że wyrażenie 2(𝑛2 + 𝑛) + (𝑛+ 1)2 jest sumą dwóch liczb\npodzielnych przez 4,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 4𝑙+ 1, tj. przekształcenie wyrażenia\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 4(12𝑙2 + 10𝑙+ 2) i zapisanie, że 𝑙 jest liczbą całkowitą\nlub, że suma 12𝑙2 + 10𝑙+ 2 jest liczbą całkowitą oraz rozpatrzenie przypadku, gdy\n𝑛= 4𝑙+ 3, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci\n4(12𝑙2 + 22𝑙+ 10) i zapisanie, że 𝑙 jest liczbą całkowitą lub, że suma\n12𝑙2 + 22𝑙+ 10 jest liczbą całkowitą.\n1 pkt - założenie, że 𝑛= 2𝑙+ 1 oraz zapisanie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 w postaci\n3(4𝑙2 + 4𝑙+ 1) + 4(2𝑙+ 1) + 1\nALBO\n- stwierdzenie, że składnik 4𝑛 jest podzielny przez 4, oraz założenie, że 𝑛= 2𝑙+ 1\noraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 1 do postaci 3(4𝑙2 + 4𝑙+ 1) + 1,\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci (3𝑛+ 1)(𝑛+ 1),\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 4(𝑛2 + 𝑛) + (1 -𝑛)(1 + 𝑛),\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 2(𝑛2 + 𝑛) + (𝑛+ 1)2,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 4𝑙+ 1, tj. przekształcenie wyrażenia\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 4(12𝑙2 + 10𝑙+ 2) i zapisanie, że 𝑙 jest liczbą całkowitą\nlub, że suma 12𝑙2 + 10𝑙+ 2 jest liczbą całkowitą,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 4𝑙+ 3, tj. przekształcenie wyrażenia\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 4(12𝑙2 + 22𝑙+ 10) i zapisanie, że 𝑙 jest liczbą\ncałkowitą lub, że suma 12𝑙2 + 22𝑙+ 10 jest liczbą całkowitą.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ liczba 𝑛 jest nieparzysta, więc zapisujemy ją w postaci 𝑛= 2𝑙+ 1, gdzie 𝑙∈ℤ.\nWówczas badana liczba ma postać\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 3(2𝑙+ 1)2 + 4(2𝑙+ 1) + 1 = 3(4𝑙2 + 4𝑙+ 1) + 8𝑙+ 4 + 1\n= 12𝑙2 + 12𝑙+ 3 + 8𝑙+ 5 = 12𝑙2 + 20𝑙+ 8 = 4(3𝑙2 + 5𝑙+ 2)\nPonieważ 𝑙∈ℤ, więc również 3𝑙2 + 5𝑙+ 2 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn\n4(3𝑙2 + 5𝑙+ 2) jest podzielny przez 4. To należało wykazać.\nSposób II\nLiczba 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 jest sumą trzech składników. Składnik 4𝑛 jest podzielny przez 4\ndla dowolnej liczby całkowitej 𝑛. Wystarczy zatem udowodnić, że liczba 3𝑛2 + 1 jest\npodzielna przez 4 dla dowolnej nieparzystej liczby 𝑛. Ponieważ liczba 𝑛 jest nieparzysta,\nwięc zapisujemy ją w postaci 𝑛= 2𝑙+ 1, gdzie 𝑙∈ℤ. Wówczas liczba 3𝑛2 + 1 ma\npostać\n3𝑛2 + 1 = 3(2𝑙+ 1)2 + 1 = 3(4𝑙2 + 4𝑙+ 1) + 1 = 12𝑙2 + 12𝑙+ 3 + 1\n= 12𝑙2 + 12𝑙+ 4 = 4(3𝑙2 + 3𝑙+ 1)\nPonieważ 𝑙∈ℤ, więc również 3𝑙2 + 3𝑙+ 1 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn\n4(3𝑙2 + 3𝑙+ 1) jest podzielny przez 4. To należało wykazać.\nSposób III\nObliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 oraz jego pierwiastki\nΔ = 42 -4 ∙3 ∙1 = 16 -12 = 4\n𝑛1 = -4 + 2\n6\n= -2\n6 = -1\n3\n𝑛2 = -4 -2\n6\n= -6\n6 = -1\nNastępnie zapisujemy liczbę 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 w postaci iloczynu\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 3 (𝑛+ 1\n3) (𝑛+ 1) = (3𝑛+ 1)(𝑛+ 1)\nLiczba 𝑛 jest nieparzysta, zatem liczby 3𝑛+ 1 oraz 𝑛+ 1 są parzyste (suma dwóch liczb\nnieparzystych). Stąd iloczyn (3𝑛+ 1)(𝑛+ 1) jest liczbą podzielną przez 2 ⋅2, czyli przez\n4. To należało wykazać.\nSposób IV\nZapisujemy liczbę 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 w postaci sumy dwóch liczb podzielnych przez 4\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 4𝑛2 -𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 4𝑛2 + 4𝑛+ 1 -𝑛2 = 4(𝑛2 + 𝑛) + (1 -𝑛)(1 + 𝑛)\nLiczba 4(𝑛2 + 𝑛) jest podzielna przez 4 dla dowolnej liczby całkowitej 𝑛.\nLiczba 𝑛 jest nieparzysta, zatem liczby 1 -𝑛 oraz 1 + 𝑛 są parzyste (różnica oraz suma\ndwóch liczb nieparzystych). Stąd iloczyn (1 -𝑛)(1 + 𝑛) jest liczbą podzielną przez 2 ⋅2,\nczyli przez 4. Zatem liczba 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 jest podzielna prze 4 jako suma dwóch liczb\npodzielnych przez 4.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób V\nRozważmy dwa przypadki: gdy 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1,\noraz gdy 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3.\nJeśli 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1, to możemy ją zapisać\nw postaci 𝑛= 4𝑙+ 1, gdzie 𝑙∈ℤ. Wówczas badana liczba ma postać\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 3(4𝑙+ 1)2 + 4(4𝑙+ 1) + 1 = 3(16𝑙2 + 8𝑙+ 1) + 16𝑙+ 4 + 1\n= 48𝑙2 + 24𝑙+ 3 + 16𝑙+ 5 = 48𝑙2 + 40𝑙+ 8 = 4(12𝑙2 + 10𝑙+ 2)\nPonieważ 𝑙∈ℤ, więc suma 12𝑙2 + 10𝑙+ 2 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn\n4(12𝑙2 + 10𝑙+ 2) jest podzielny przez 4.\nJeśli 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to możemy ją zapisać\nw postaci 𝑛= 4𝑙+ 3, gdzie 𝑙∈ℤ. Wówczas badana liczba ma postać\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 3(4𝑙+ 3)2 + 4(4𝑙+ 3) + 1 = 3(16𝑙2 + 24𝑙+ 9) + 16𝑙+ 12 + 1\n= 48𝑙2 + 72𝑙+ 27 + 16𝑙+ 13 = 48𝑙2 + 88𝑙+ 40 = 4(12𝑙2 + 22𝑙+ 10)\nPonieważ 𝑙∈ℤ, więc suma 12𝑙2 + 22𝑙+ 10 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn\n4(12𝑙2 + 22𝑙+ 10) jest podzielny przez 4.","solution":"Ponieważ n jest liczbą nieparzystą, możemy zapisać\n\nn=2k+1,\n\ngdzie k∈mathbb Z .\n\nPodstawiamy tę postać do wyrażenia:\n\n3n^2+4n+1=3(2k+1)^2+4(2k+1)+1.\n\nKorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia\n\n(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\n\nOtrzymujemy:\n\n(2k+1)^2=4k^2+4k+1.\n\nZatem\n\n3n^2+4n+1=3(4k^2+4k+1)+8k+4+1.\n\nUsuwamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne:\n\n3n^2+4n+1=12k^2+12k+3+8k+4+1,\n\n3n^2+4n+1=12k^2+20k+8.\n\nWyłączamy 4 przed nawias:\n\n3n^2+4n+1=4(3k^2+5k+2).\n\nPonieważ k∈mathbb Z , to także\n\n3k^2+5k+2∈mathbb Z.\n\nWyrażenie 3n^2+4n+1 jest więc iloczynem liczby 4 i liczby całkowitej, a zatem jest podzielne przez 4 .","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-2)<br>Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej 𝒏 liczba 𝟑𝒏𝟐+ 𝟒𝒏+ 𝟏 jest<br>podzielna przez 𝟒.<br>5.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba 3n^2+4n+1 jest podzielna przez 4.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące<br>podzielności liczb całkowitych i reszt<br>z dzielenia nie trudniejsze niż dowód<br>podzielności przez 24 iloczynu czterech<br>kolejnych liczb naturalnych.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - założenie, że 𝑛= 2𝑙+ 1 oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do<br>postaci 4(3𝑙2 + 5𝑙+ 2) oraz zapisanie, że 𝑙 jest liczbą całkowitą lub, że suma<br>3𝑙2 + 5𝑙+ 2 jest liczbą całkowitą<br>ALBO</p>\n<ul><li>stwierdzenie, że składnik 4𝑛 jest podzielny przez 4, oraz założenie, że 𝑛= 2𝑙+ 1</li></ul>\n<p>oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 1 do postaci 4(3𝑙2 + 3𝑙+ 1) i zapisanie,<br>że 𝑙 jest liczbą całkowitą lub, że suma 3𝑙2 + 3𝑙+ 1 jest liczbą całkowitą,<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci (3𝑛+ 1)(𝑛+ 1) oraz</li></ul>\n<p>stwierdzenie, że wyrażenie (3𝑛+ 1)(𝑛+ 1) jest iloczynem dwóch liczb parzystych,<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 4(𝑛2 + 𝑛) + (1 -𝑛)(1 + 𝑛)</li></ul>\n<p>oraz stwierdzenie, że wyrażenie 4(𝑛2 + 𝑛) + (1 -𝑛)(1 + 𝑛) jest sumą dwóch<br>liczb podzielnych przez 4,<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 2(𝑛2 + 𝑛) + (𝑛+ 1)2</li></ul>\n<p>oraz stwierdzenie, że wyrażenie 2(𝑛2 + 𝑛) + (𝑛+ 1)2 jest sumą dwóch liczb<br>podzielnych przez 4,<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 4𝑙+ 1, tj. przekształcenie wyrażenia</li></ul>\n<p>3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 4(12𝑙2 + 10𝑙+ 2) i zapisanie, że 𝑙 jest liczbą całkowitą<br>lub, że suma 12𝑙2 + 10𝑙+ 2 jest liczbą całkowitą oraz rozpatrzenie przypadku, gdy<br>𝑛= 4𝑙+ 3, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci<br>4(12𝑙2 + 22𝑙+ 10) i zapisanie, że 𝑙 jest liczbą całkowitą lub, że suma<br>12𝑙2 + 22𝑙+ 10 jest liczbą całkowitą.<br>1 pkt - założenie, że 𝑛= 2𝑙+ 1 oraz zapisanie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 w postaci<br>3(4𝑙2 + 4𝑙+ 1) + 4(2𝑙+ 1) + 1<br>ALBO</p>\n<ul><li>stwierdzenie, że składnik 4𝑛 jest podzielny przez 4, oraz założenie, że 𝑛= 2𝑙+ 1</li></ul>\n<p>oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 1 do postaci 3(4𝑙2 + 4𝑙+ 1) + 1,<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci (3𝑛+ 1)(𝑛+ 1),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 4(𝑛2 + 𝑛) + (1 -𝑛)(1 + 𝑛),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 2(𝑛2 + 𝑛) + (𝑛+ 1)2,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 4𝑙+ 1, tj. przekształcenie wyrażenia</li></ul>\n<p>3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 4(12𝑙2 + 10𝑙+ 2) i zapisanie, że 𝑙 jest liczbą całkowitą<br>lub, że suma 12𝑙2 + 10𝑙+ 2 jest liczbą całkowitą,<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 4𝑙+ 3, tj. przekształcenie wyrażenia</li></ul>\n<p>3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 4(12𝑙2 + 22𝑙+ 10) i zapisanie, że 𝑙 jest liczbą<br>całkowitą lub, że suma 12𝑙2 + 22𝑙+ 10 jest liczbą całkowitą.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Ponieważ liczba 𝑛 jest nieparzysta, więc zapisujemy ją w postaci 𝑛= 2𝑙+ 1, gdzie 𝑙∈ℤ.<br>Wówczas badana liczba ma postać<br>3𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 3(2𝑙+ 1)2 + 4(2𝑙+ 1) + 1 = 3(4𝑙2 + 4𝑙+ 1) + 8𝑙+ 4 + 1<br>= 12𝑙2 + 12𝑙+ 3 + 8𝑙+ 5 = 12𝑙2 + 20𝑙+ 8 = 4(3𝑙2 + 5𝑙+ 2)<br>Ponieważ 𝑙∈ℤ, więc również 3𝑙2 + 5𝑙+ 2 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn<br>4(3𝑙2 + 5𝑙+ 2) jest podzielny przez 4. To należało wykazać.<br>Sposób II<br>Liczba 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 jest sumą trzech składników. Składnik 4𝑛 jest podzielny przez 4<br>dla dowolnej liczby całkowitej 𝑛. Wystarczy zatem udowodnić, że liczba 3𝑛2 + 1 jest<br>podzielna przez 4 dla dowolnej nieparzystej liczby 𝑛. Ponieważ liczba 𝑛 jest nieparzysta,<br>więc zapisujemy ją w postaci 𝑛= 2𝑙+ 1, gdzie 𝑙∈ℤ. Wówczas liczba 3𝑛2 + 1 ma<br>postać<br>3𝑛2 + 1 = 3(2𝑙+ 1)2 + 1 = 3(4𝑙2 + 4𝑙+ 1) + 1 = 12𝑙2 + 12𝑙+ 3 + 1<br>= 12𝑙2 + 12𝑙+ 4 = 4(3𝑙2 + 3𝑙+ 1)<br>Ponieważ 𝑙∈ℤ, więc również 3𝑙2 + 3𝑙+ 1 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn<br>4(3𝑙2 + 3𝑙+ 1) jest podzielny przez 4. To należało wykazać.<br>Sposób III<br>Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 oraz jego pierwiastki<br>Δ = 42 -4 ∙3 ∙1 = 16 -12 = 4<br>𝑛1 = -4 + 2<br>6<br>= -2<br>6 = -1<br>3<br>𝑛2 = -4 -2<br>6<br>= -6<br>6 = -1<br>Następnie zapisujemy liczbę 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 w postaci iloczynu<br>3𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 3 (𝑛+ 1</p>\n<ol><li>(𝑛+ 1) = (3𝑛+ 1)(𝑛+ 1)</li></ol>\n<p>Liczba 𝑛 jest nieparzysta, zatem liczby 3𝑛+ 1 oraz 𝑛+ 1 są parzyste (suma dwóch liczb<br>nieparzystych). Stąd iloczyn (3𝑛+ 1)(𝑛+ 1) jest liczbą podzielną przez 2 ⋅2, czyli przez</p>\n<ol><li>To należało wykazać.</li></ol>\n<p>Sposób IV<br>Zapisujemy liczbę 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 w postaci sumy dwóch liczb podzielnych przez 4<br>3𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 4𝑛2 -𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 4𝑛2 + 4𝑛+ 1 -𝑛2 = 4(𝑛2 + 𝑛) + (1 -𝑛)(1 + 𝑛)<br>Liczba 4(𝑛2 + 𝑛) jest podzielna przez 4 dla dowolnej liczby całkowitej 𝑛.<br>Liczba 𝑛 jest nieparzysta, zatem liczby 1 -𝑛 oraz 1 + 𝑛 są parzyste (różnica oraz suma<br>dwóch liczb nieparzystych). Stąd iloczyn (1 -𝑛)(1 + 𝑛) jest liczbą podzielną przez 2 ⋅2,<br>czyli przez 4. Zatem liczba 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 jest podzielna prze 4 jako suma dwóch liczb<br>podzielnych przez 4.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób V<br>Rozważmy dwa przypadki: gdy 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1,<br>oraz gdy 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3.<br>Jeśli 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1, to możemy ją zapisać<br>w postaci 𝑛= 4𝑙+ 1, gdzie 𝑙∈ℤ. Wówczas badana liczba ma postać<br>3𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 3(4𝑙+ 1)2 + 4(4𝑙+ 1) + 1 = 3(16𝑙2 + 8𝑙+ 1) + 16𝑙+ 4 + 1<br>= 48𝑙2 + 24𝑙+ 3 + 16𝑙+ 5 = 48𝑙2 + 40𝑙+ 8 = 4(12𝑙2 + 10𝑙+ 2)<br>Ponieważ 𝑙∈ℤ, więc suma 12𝑙2 + 10𝑙+ 2 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn<br>4(12𝑙2 + 10𝑙+ 2) jest podzielny przez 4.<br>Jeśli 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to możemy ją zapisać<br>w postaci 𝑛= 4𝑙+ 3, gdzie 𝑙∈ℤ. Wówczas badana liczba ma postać<br>3𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 3(4𝑙+ 3)2 + 4(4𝑙+ 3) + 1 = 3(16𝑙2 + 24𝑙+ 9) + 16𝑙+ 12 + 1<br>= 48𝑙2 + 72𝑙+ 27 + 16𝑙+ 13 = 48𝑙2 + 88𝑙+ 40 = 4(12𝑙2 + 22𝑙+ 10)<br>Ponieważ 𝑙∈ℤ, więc suma 12𝑙2 + 22𝑙+ 10 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn<br>4(12𝑙2 + 22𝑙+ 10) jest podzielny przez 4.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Ponieważ n jest liczbą nieparzystą, możemy zapisać</p>\n<p>n=2k+1,</p>\n<p>gdzie k∈mathbb Z .</p>\n<p>Podstawiamy tę postać do wyrażenia:</p>\n<p>3n^2+4n+1=3(2k+1)^2+4(2k+1)+1.</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia</p>\n<p>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.</p>\n<p>Otrzymujemy:</p>\n<p>(2k+1)^2=4k^2+4k+1.</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>3n^2+4n+1=3(4k^2+4k+1)+8k+4+1.</p>\n<p>Usuwamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne:</p>\n<p>3n^2+4n+1=12k^2+12k+3+8k+4+1,</p>\n<p>3n^2+4n+1=12k^2+20k+8.</p>\n<p>Wyłączamy 4 przed nawias:</p>\n<p>3n^2+4n+1=4(3k^2+5k+2).</p>\n<p>Ponieważ k∈mathbb Z , to także</p>\n<p>3k^2+5k+2∈mathbb Z.</p>\n<p>Wyrażenie 3n^2+4n+1 jest więc iloczynem liczby 4 i liczby całkowitej, a zatem jest podzielne przez 4 .</p>"}]}