{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝟐𝒙𝟑+ 𝟑𝒙𝟐= 𝟏𝟎𝒙+ 𝟏𝟓\nZapisz obliczenia.\n9.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż równanie 2x^3+3x²=10x+15.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIII.1) przekształca równania i nierówności w\nsposób równoważny;\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […]\ntakich, które dają się doprowadzić do\npostaci iloczynowej […] metodą\ngrupowania.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:\n(-√5), (-3\n2 ), √5 .\n2 pkt - przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci 𝑊(𝑥) = 0, gdzie\n𝑊 jest iloczynem wielomianów stopnia co najwyżej drugiego oraz rozwiązanie\njednego z równań wynikającego z tego rozkładu, np.\n(2𝑥+ 3)(𝑥2 -5) = 0 i 𝑥= -\n3\n2\nALBO\n- przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci 𝑊(𝑥) = 0, gdzie\n𝑊 jest wielomianem rozłożonym na czynniki liniowe, np.\n𝑊(𝑥) = (2𝑥+ 3)(𝑥-√5)(𝑥+ √5) ,\nALBO\n- przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci 𝑊(𝑥) = 0, gdzie\n𝑊 jest wielomianem stopnia trzeciego oraz obliczenie jednego z pierwiastków\nwielomianu 𝑊 oraz poprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni\ndwumian, np.\n𝑥= -\n3\n2 i (2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15): (𝑥+\n3\n2) = 2𝑥2 -10 ,\nALBO\n- przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci alternatywy równań\noraz rozwiązanie jednego z nich, tj. zapisanie:\n(2𝑥+ 3 = 0, 𝑥2 -5 = 0) oraz 𝑥= -\n3\n2\nalbo\n(2𝑥+ 3 = 0, 𝑥2 -5 = 0) oraz (𝑥= -√5 , 𝑥= √5) ,\nalbo\n(2𝑥+ 3 = 0, 𝑥-√5 = 0, 𝑥+ √5 = 0) oraz 𝑥= -√5 ,\nalbo\n(2𝑥+ 3 = 0, 𝑥-√5 = 0, 𝑥+ √5 = 0) oraz 𝑥= √5 ,\nalbo\n(2𝑥+ 3 = 0, 𝑥-√5 = 0, 𝑥+ √5 = 0) oraz 𝑥= -\n3\n2 .\n1 pkt - przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci 𝑊(𝑥) = 0, gdzie\n𝑊 jest iloczynem wielomianów stopnia co najwyżej drugiego, np.\n𝑊(𝑥) = (2𝑥+ 3)(𝑥2 -5)\nALBO\n- zapisanie jednego rozwiązania wymiernego równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 lub\ndwóch rozwiązań niewymiernych tego równania, jeśli te rozwiązania nie zostały\notrzymane w wyniku zastosowania błędnej metody,\nALBO\n- przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci alternatywy równań,\n(np. 2𝑥+ 3 = 0, 𝑥2 = 5), przy czym alternatywa musi wynikać z poprawnego\nwnioskowania.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania 𝑥= √5 oraz 𝑥= -√5 w wyniku\ndzielenia obustronnie równania przez dwumian (2𝑥+ 3) z podaniem odpowiednich\nzałożeń, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający uzyska dwa poprawne rozwiązania 𝑥= √5 oraz 𝑥= -√5 w wyniku\ndzielenia obustronnie równania przez dwumian (2𝑥+ 3) bez podania odpowiednich\nzałożeń lub w wyniku zauważenia, że obie strony równania 𝑥2(2𝑥+ 3) = 5(2𝑥+ 3)\nzawierają ten sam czynnik 2𝑥+ 3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako\nnierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału/ sumy przedziałów), to otrzymuje\n2 punkty za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci 𝑊(𝑥) = 0 zapisuje czynnik\n(2𝑥+ 3) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie\n(za zapisanie alternatywy równań oraz za rozwiązanie równań tej alternatywy).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równanie równoważnie, stosując metodę grupowania wyrazów:\n2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15\n2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15 = 0\n𝑥2(2𝑥+ 3) -5(2𝑥+ 3) = 0\n(2𝑥+ 3)(𝑥2 -5) = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(2𝑥+ 3)(𝑥-√5)(𝑥+ √5) = 0\n2𝑥+ 3 = 0 lub 𝑥-√5 = 0 lub 𝑥+ √5 = 0\n𝑥= -3\n2 lub 𝑥= √5 lub 𝑥= -√5\nRozwiązaniami równania są liczby: (-√5) , (-\n3\n2), √5 .\nSposób II\nPrzekształcamy równanie równoważnie, stosując metodę grupowania wyrazów:\n2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15\n2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15 = 0\n2𝑥(𝑥2 -5) + 3(𝑥2 -5) = 0\n(2𝑥+ 3)(𝑥2 -5) = 0\n(2𝑥+ 3)(𝑥-√5)(𝑥+ √5) = 0\n2𝑥+ 3 = 0 lub 𝑥-√5 = 0 lub 𝑥+ √5 = 0\n𝑥= -3\n2 lub 𝑥= √5 lub 𝑥= -√5\nRozwiązaniami równania są liczby: (-√5) , (-\n3\n2), √5 .\nSposób III\nPrzekształcamy równanie równoważnie:\n2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15\n2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15 = 0\nObliczamy 𝑊(-\n3\n2) = 0 i stwierdzamy, że liczba (-\n3\n2) jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15.\nZatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian 𝑥+\n3\n2. Dzielimy wielomian 𝑊 przez\ndwumian 𝑥+\n3\n2 i otrzymujemy\n(2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15): (𝑥+ 3\n2) = 2𝑥2 -10\nZatem 𝑊(𝑥) = (𝑥+\n3\n2) (2𝑥2 -10) = 2 (𝑥+\n3\n2) (𝑥2 -5) = 2 (𝑥+\n3\n2) (𝑥-√5)(𝑥+ √5).\nObliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊:\n2 (𝑥+ 3\n2) (𝑥-√5)(𝑥+ √5) = 0\n𝑥+ 3\n2 = 0 lub 𝑥-√5 = 0 lub 𝑥+ √5 = 0\n𝑥= -3\n2 lub 𝑥= √5 lub 𝑥= -√5\nRozwiązaniami równania są liczby: (-√5) , (-\n3\n2), √5 .\nSposób IV\nPrzekształcamy równanie do postaci alternatywy dwóch równań\n2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15\n𝑥2(2𝑥+ 3) = 5(2𝑥+ 3)\nZatem\n2𝑥+ 3 = 0 lub 𝑥2 = 5\n𝑥= -3\n2 lub 𝑥= √5 lub 𝑥= -√5\nRozwiązaniami równania są liczby: (-√5) , (-\n3\n2), √5 .\nSposób V\nPrzekształcamy równanie równoważnie\n2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15\n𝑥2(2𝑥+ 3) = 5(2𝑥+ 3)\nZatem 𝑥= -\n3\n2 jest rozwiązaniem tego równania.\nRozwiązujemy równanie 𝑥2(2𝑥+ 3) = 5(2𝑥+ 3) w zbiorze (-∞, -\n3\n2) ∪(-\n3\n2 , +∞)\n𝑥2(2𝑥+ 3) = 5(2𝑥+ 3) /: (2𝑥+ 3)\n𝑥2 = 5\n𝑥= √5 lub 𝑥= -√5\nRozwiązaniami równania są liczby: (-√5) , (-\n3\n2), √5 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Rozwiązujemy równanie\n\n2x^3+3x^2-10x-15=0.\n\nGrupujemy wyrazy w dwie pary:\n\n(2x^3+3x^2)+(-10x-15)=0.\n\nZ pierwszej pary wyłączamy x^2 , a z drugiej -5 :\n\nx^2(2x+3)-5(2x+3)=0.\n\nW obu składnikach występuje wspólny czynnik 2x+3 , więc:\n\n(2x+3)(x^2-5)=0.\n\nIloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru:\n\n2x+3=0\n\nlub\n\nx^2-5=0.\n\nZ pierwszego równania:\n\nx=-(3)/(2).\n\nZ drugiego równania:\n\nx^2=5,\n\nczyli\n\nx=-√(5) lub x=√(5).\n\nZatem\n\nx∈ \\ -√(5),-(3)/(2),√(5) \\ .","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Wielomiany, rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-3)<br>Rozwiąż równanie<br>𝟐𝒙𝟑+ 𝟑𝒙𝟐= 𝟏𝟎𝒙+ 𝟏𝟓<br>Zapisz obliczenia.<br>9.<br>0-1-<br>2-3</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Rozwiąż równanie 2x^3+3x²=10x+15.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>III.1) przekształca równania i nierówności w<br>sposób równoważny;<br>III.5) rozwiązuje równania wielomianowe<br>postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […]<br>takich, które dają się doprowadzić do<br>postaci iloczynowej […] metodą<br>grupowania.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:<br>(-√5), (-3<br>2 ), √5 .<br>2 pkt - przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci 𝑊(𝑥) = 0, gdzie<br>𝑊 jest iloczynem wielomianów stopnia co najwyżej drugiego oraz rozwiązanie<br>jednego z równań wynikającego z tego rozkładu, np.<br>(2𝑥+ 3)(𝑥2 -5) = 0 i 𝑥= -<br>3<br>2<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci 𝑊(𝑥) = 0, gdzie</li></ul>\n<p>𝑊 jest wielomianem rozłożonym na czynniki liniowe, np.<br>𝑊(𝑥) = (2𝑥+ 3)(𝑥-√5)(𝑥+ √5) ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci 𝑊(𝑥) = 0, gdzie</li></ul>\n<p>𝑊 jest wielomianem stopnia trzeciego oraz obliczenie jednego z pierwiastków<br>wielomianu 𝑊 oraz poprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni<br>dwumian, np.<br>𝑥= -<br>3<br>2 i (2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15): (𝑥+<br>3</p>\n<ol><li>= 2𝑥2 -10 ,</li></ol>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci alternatywy równań</li></ul>\n<p>oraz rozwiązanie jednego z nich, tj. zapisanie:<br>(2𝑥+ 3 = 0, 𝑥2 -5 = 0) oraz 𝑥= -<br>3<br>2<br>albo<br>(2𝑥+ 3 = 0, 𝑥2 -5 = 0) oraz (𝑥= -√5 , 𝑥= √5) ,<br>albo<br>(2𝑥+ 3 = 0, 𝑥-√5 = 0, 𝑥+ √5 = 0) oraz 𝑥= -√5 ,<br>albo<br>(2𝑥+ 3 = 0, 𝑥-√5 = 0, 𝑥+ √5 = 0) oraz 𝑥= √5 ,<br>albo<br>(2𝑥+ 3 = 0, 𝑥-√5 = 0, 𝑥+ √5 = 0) oraz 𝑥= -<br>3<br>2 .<br>1 pkt - przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci 𝑊(𝑥) = 0, gdzie<br>𝑊 jest iloczynem wielomianów stopnia co najwyżej drugiego, np.<br>𝑊(𝑥) = (2𝑥+ 3)(𝑥2 -5)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie jednego rozwiązania wymiernego równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 lub</li></ul>\n<p>dwóch rozwiązań niewymiernych tego równania, jeśli te rozwiązania nie zostały<br>otrzymane w wyniku zastosowania błędnej metody,<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci alternatywy równań,</li></ul>\n<p>(np. 2𝑥+ 3 = 0, 𝑥2 = 5), przy czym alternatywa musi wynikać z poprawnego<br>wnioskowania.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za</li></ol>\n<p>całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania 𝑥= √5 oraz 𝑥= -√5 w wyniku</li></ol>\n<p>dzielenia obustronnie równania przez dwumian (2𝑥+ 3) z podaniem odpowiednich<br>założeń, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający uzyska dwa poprawne rozwiązania 𝑥= √5 oraz 𝑥= -√5 w wyniku</li></ol>\n<p>dzielenia obustronnie równania przez dwumian (2𝑥+ 3) bez podania odpowiednich<br>założeń lub w wyniku zauważenia, że obie strony równania 𝑥2(2𝑥+ 3) = 5(2𝑥+ 3)<br>zawierają ten sam czynnik 2𝑥+ 3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako</li></ol>\n<p>nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału/ sumy przedziałów), to otrzymuje<br>2 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci 𝑊(𝑥) = 0 zapisuje czynnik</li></ol>\n<p>(2𝑥+ 3) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie<br>(za zapisanie alternatywy równań oraz za rozwiązanie równań tej alternatywy).<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przekształcamy równanie równoważnie, stosując metodę grupowania wyrazów:<br>2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15<br>2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15 = 0<br>𝑥2(2𝑥+ 3) -5(2𝑥+ 3) = 0<br>(2𝑥+ 3)(𝑥2 -5) = 0<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>(2𝑥+ 3)(𝑥-√5)(𝑥+ √5) = 0<br>2𝑥+ 3 = 0 lub 𝑥-√5 = 0 lub 𝑥+ √5 = 0<br>𝑥= -3<br>2 lub 𝑥= √5 lub 𝑥= -√5<br>Rozwiązaniami równania są liczby: (-√5) , (-<br>3<br>2), √5 .<br>Sposób II<br>Przekształcamy równanie równoważnie, stosując metodę grupowania wyrazów:<br>2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15<br>2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15 = 0<br>2𝑥(𝑥2 -5) + 3(𝑥2 -5) = 0<br>(2𝑥+ 3)(𝑥2 -5) = 0<br>(2𝑥+ 3)(𝑥-√5)(𝑥+ √5) = 0<br>2𝑥+ 3 = 0 lub 𝑥-√5 = 0 lub 𝑥+ √5 = 0<br>𝑥= -3<br>2 lub 𝑥= √5 lub 𝑥= -√5<br>Rozwiązaniami równania są liczby: (-√5) , (-<br>3<br>2), √5 .<br>Sposób III<br>Przekształcamy równanie równoważnie:<br>2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15<br>2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15 = 0<br>Obliczamy 𝑊(-<br>3</p>\n<ol><li>= 0 i stwierdzamy, że liczba (-</li></ol>\n<p>3</p>\n<ol><li>jest pierwiastkiem wielomianu</li></ol>\n<p>𝑊(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15.<br>Zatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian 𝑥+<br>3</p>\n<ol><li>Dzielimy wielomian 𝑊 przez</li></ol>\n<p>dwumian 𝑥+<br>3<br>2 i otrzymujemy<br>(2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15): (𝑥+ 3</p>\n<ol><li>= 2𝑥2 -10</li></ol>\n<p>Zatem 𝑊(𝑥) = (𝑥+<br>3</p>\n<ol><li>(2𝑥2 -10) = 2 (𝑥+</li></ol>\n<p>3</p>\n<ol><li>(𝑥2 -5) = 2 (𝑥+</li></ol>\n<p>3</p>\n<ol><li>(𝑥-√5)(𝑥+ √5).</li></ol>\n<p>Obliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊:<br>2 (𝑥+ 3</p>\n<ol><li>(𝑥-√5)(𝑥+ √5) = 0</li></ol>\n<p>𝑥+ 3<br>2 = 0 lub 𝑥-√5 = 0 lub 𝑥+ √5 = 0<br>𝑥= -3<br>2 lub 𝑥= √5 lub 𝑥= -√5<br>Rozwiązaniami równania są liczby: (-√5) , (-<br>3<br>2), √5 .<br>Sposób IV<br>Przekształcamy równanie do postaci alternatywy dwóch równań<br>2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15<br>𝑥2(2𝑥+ 3) = 5(2𝑥+ 3)<br>Zatem<br>2𝑥+ 3 = 0 lub 𝑥2 = 5<br>𝑥= -3<br>2 lub 𝑥= √5 lub 𝑥= -√5<br>Rozwiązaniami równania są liczby: (-√5) , (-<br>3<br>2), √5 .<br>Sposób V<br>Przekształcamy równanie równoważnie<br>2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15<br>𝑥2(2𝑥+ 3) = 5(2𝑥+ 3)<br>Zatem 𝑥= -<br>3<br>2 jest rozwiązaniem tego równania.<br>Rozwiązujemy równanie 𝑥2(2𝑥+ 3) = 5(2𝑥+ 3) w zbiorze (-∞, -<br>3</p>\n<ol><li>∪(-</li></ol>\n<p>3<br>2 , +∞)<br>𝑥2(2𝑥+ 3) = 5(2𝑥+ 3) /: (2𝑥+ 3)<br>𝑥2 = 5<br>𝑥= √5 lub 𝑥= -√5<br>Rozwiązaniami równania są liczby: (-√5) , (-<br>3<br>2), √5 .<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Rozwiązujemy równanie</p>\n<p>2x^3+3x^2-10x-15=0.</p>\n<p>Grupujemy wyrazy w dwie pary:</p>\n<p>(2x^3+3x^2)+(-10x-15)=0.</p>\n<p>Z pierwszej pary wyłączamy x^2 , a z drugiej -5 :</p>\n<p>x^2(2x+3)-5(2x+3)=0.</p>\n<p>W obu składnikach występuje wspólny czynnik 2x+3 , więc:</p>\n<p>(2x+3)(x^2-5)=0.</p>\n<p>Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru:</p>\n<p>2x+3=0</p>\n<p>lub</p>\n<p>x^2-5=0.</p>\n<p>Z pierwszego równania:</p>\n<p>x=-(3)/(2).</p>\n<p>Z drugiego równania:</p>\n<p>x^2=5,</p>\n<p>czyli</p>\n<p>x=-√(5) lub x=√(5).</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>x∈ \\ -√(5),-(3)/(2),√(5) \\ .</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$-\\sqrt{5}, -\\dfrac{3}{2}, \\sqrt{5}$</p>"}]}