{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nNa osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nZbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności\nA. |𝑥-3,5| ≥1,5\nB. |𝑥-1,5| ≥3,5\nC. |𝑥-3,5| ≤1,5\nD. |𝑥-1,5| ≤3,5\nNa osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów. [rysunek] Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności A. |x-3,5| ≥ 1,5 B. |x-1,5| ≥ 3,5 C. |x-3,5| ≤ 1,5 D. |x-1,5| ≤ 3,5","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nI.7) stosuje interpretację geometryczną\ni algebraiczną wartości bezwzględnej,\nrozwiązuje równania i nierówności typu: […]\n|𝑥+ 3| ≥4.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nD\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nTrzeba znaleźć nierówność z modułem, której zbiorem rozwiązań jest suma dwóch domkniętych półprostych: $x \\leq -2$ oraz $x \\geq 5$.\n\nZnajdź środek odcinka między końcami. Końce to $-2$ i $5$. Środek:\n\n$$s = \\frac{-2 + 5}{2} = \\frac{3}{2} = 1{,}5$$\n\nWyznacz \"promień\" — połowę odległości między końcami.\n\n$$r = \\frac{5 - (-2)}{2} = \\frac{7}{2} = 3{,}5$$\n\nZinterpretuj geometrycznie. Zaznaczone na osi zbiory $x \\leq -2$ oraz $x \\geq 5$ to liczby, których odległość od środka $1{,}5$ jest co najmniej $3{,}5$:\n\n$$|x - 1{,}5| \\geq 3{,}5$$\n\nTo odpowiedź B.\n\nSprawdź pozostałe odpowiedzi:\n- A. $|x - 3{,}5| \\geq 1{,}5$ → środek $3{,}5$, promień $1{,}5$ → $x \\leq 2$ lub $x \\geq 5$. Zły środek.\n- C. $|x - 3{,}5| \\leq 1{,}5$ → przedział $\\langle 2, 5 \\rangle$. Zła nierówność.\n- D. $|x - 1{,}5| \\leq 3{,}5$ → przedział $\\langle -2, 5 \\rangle$. To dopełnienie zaznaczonego zbioru.\n\nPo co to umieć\n\nWartość bezwzględna jako \"odległość od liczby\" pojawia się w prawie każdym arkuszu maturalnym. Klucz do tego typu zadania: środek + promień. Każdy odcinek $\\langle a, b \\rangle$ można zapisać jako $|x - \\frac{a+b}{2}| \\leq \\frac{b-a}{2}$, a jego dopełnienie z $\\geq$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pominięcie środka przedziału. Środek to $(-2+5)/2 = 1{,}5$, a nie $3{,}5$. Inny błąd: zła orientacja nierówności (≤ zamiast ≥ — zaznaczono dopełnienie odcinka, nie sam odcinek).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"wartość bezwzględna, oś liczbowa, suma przedziałów, bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
A. |𝑥-3,5| ≥1,5
B. |𝑥-1,5| ≥3,5
C. |𝑥-3,5| ≤1,5
D. |𝑥-1,5| ≤3,5
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów. [rysunek] Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności A. |x-3,5| ≥ 1,5 B. |x-1,5| ≥ 3,5 C. |x-3,5| ≤ 1,5 D. |x-1,5| ≤ 3,5

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 20241
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
I.7) stosuje interpretację geometryczną
i algebraiczną wartości bezwzględnej,
rozwiązuje równania i nierówności typu: […]
|𝑥+ 3| ≥4.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
B
D
1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla
egzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1246).
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: B

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

Trzeba znaleźć nierówność z modułem, której zbiorem rozwiązań jest suma dwóch domkniętych półprostych: $x \\leq -2$ oraz $x \\geq 5$.

\n

Znajdź środek odcinka między końcami. Końce to $-2$ i $5$. Środek:

\n

$$s = \\frac{-2 + 5}{2} = \\frac{3}{2} = 1{,}5$$

\n

Wyznacz "promień" — połowę odległości między końcami.

\n

$$r = \\frac{5 - (-2)}{2} = \\frac{7}{2} = 3{,}5$$

\n

Zinterpretuj geometrycznie. Zaznaczone na osi zbiory $x \\leq -2$ oraz $x \\geq 5$ to liczby, których odległość od środka $1{,}5$ jest co najmniej $3{,}5$:

\n

$$|x - 1{,}5| \\geq 3{,}5$$

\n

To odpowiedź B.

\n

Sprawdź pozostałe odpowiedzi:

\n\n

Po co to umieć

\n

Wartość bezwzględna jako "odległość od liczby" pojawia się w prawie każdym arkuszu maturalnym. Klucz do tego typu zadania: środek + promień. Każdy odcinek $\\langle a, b \\rangle$ można zapisać jako $|x - \\frac{a+b}{2}| \\leq \\frac{b-a}{2}$, a jego dopełnienie z $\\geq$.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: pominięcie środka przedziału. Środek to $(-2+5)/2 = 1{,}5$, a nie $3{,}5$. Inny błąd: zła orientacja nierówności (≤ zamiast ≥ — zaznaczono dopełnienie odcinka, nie sam odcinek).

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

Wzór: \\(m(t) = 4 \\cdot \\left(\\frac{81}{100}\\right)^t\\)

\n

Masa po raz pierwszy spada poniżej \\(1{,}5\\) g po \\(t = 5\\) pełnych dobach.

\n

Sposób 1 - Model geometryczny + logarytm dziesiętny

\n
Krok 1 - Wyznaczenie wzoru funkcji
\n

Na początku mamy \\(m(0) = 4\\) g.

\n

Po każdej dobie ubywa \\(19\\%\\) masy, więc pozostaje \\(81\\%\\):

\n

\\[m(t+1) = m(t) \\cdot 0{,}81\\]

\n

To jest ciąg geometryczny z pierwszym wyrazem \\(a_1 = 4\\) i ilorazem \\(q = 0{,}81\\):

\n

\\[m(0) = 4\\]
\\[m(1) = 4 \\cdot 0{,}81\\]
\\[m(2) = 4 \\cdot 0{,}81^2\\]
\\[\\vdots\\]

\n

Wzór ogólny:

\n

\\[\\boxed{m(t) = 4 \\cdot \\left(\\frac{81}{100}\\right)^t}\\]

\n

dla każdej liczby całkowitej \\(t \\geq 0\\).

\n
Krok 2 - Kiedy \\(m(t) < 1{,}5\\)?
\n

Szukamy najmniejszego całkowitego \\(t\\) takiego, że:

\n

\\[4 \\cdot \\left(\\frac{81}{100}\\right)^t < 1{,}5\\]

\n

Dzielimy obie strony przez \\(4\\):

\n

\\[\\left(\\frac{81}{100}\\right)^t < \\frac{1{,}5}{4} = \\frac{3}{8}\\]

\n

Logarytmujemy obustronnie (logarytm dziesiętny):

\n

\\[t \\cdot \\log\\!\\left(\\frac{81}{100}\\right) < \\log\\!\\left(\\frac{3}{8}\\right)\\]

\n

Ponieważ \\(\\log\\!\\left(\\frac{81}{100}\\right) < 0\\), dzieląc przez liczbę ujemną odwracamy nierówność:

\n

\\[t > \\frac{\\log\\!\\left(\\frac{3}{8}\\right)}{\\log\\!\\left(\\frac{81}{100}\\right)}\\]

\n

Obliczamy licznik i mianownik:

\n

\\[\\log\\!\\left(\\frac{3}{8}\\right) = \\log 3 - \\log 8 = \\log 3 - 3\\log 2 \\approx 0{,}4771 - 3 \\cdot 0{,}3010 = 0{,}4771 - 0{,}9031 = -0{,}4260\\]

\n

\\[\\log\\!\\left(\\frac{81}{100}\\right) = \\log 81 - \\log 100 = 4\\log 3 - 2 \\approx 4 \\cdot 0{,}4771 - 2 = 1{,}9084 - 2 = -0{,}0916\\]

\n

\\[t > \\frac{-0{,}4260}{-0{,}0916} \\approx 4{,}65\\]

\n

Ponieważ \\(t\\) musi być całkowite, najmniejsze spełniające warunek to \\(t = 5\\).

\n

Odpowiedź: po \\(5\\) pełnych dobach.

\n

Sposób 2 - Sprawdzanie kolejnych wartości (weryfikacja)

\n

Zamiast rozwiązywać nierówność, sprawdzamy kolejne doby:

\n

| \\(t\\) | \\(m(t) = 4 \\cdot 0{,}81^t\\) | \\(m(t) < 1{,}5\\)? |
| 0 | \\(4{,}0000\\) g | nie |
| 1 | \\(4 \\cdot 0{,}81 = 3{,}2400\\) g | nie |
| 2 | \\(4 \\cdot 0{,}81^2 = 2{,}6244\\) g | nie |
| 3 | \\(4 \\cdot 0{,}81^3 \\approx 2{,}1257\\) g | nie |
| 4 | \\(4 \\cdot 0{,}81^4 \\approx 1{,}7218\\) g | nie |
| 5 | \\(4 \\cdot 0{,}81^5 \\approx 1{,}3947\\) g | tak! |

\n

\\(m(4) \\approx 1{,}72 > 1{,}5\\) - jeszcze nie spada.

\n

\\(m(5) \\approx 1{,}39 < 1{,}5\\) - po raz pierwszy poniżej \\(1{,}5\\) g.

\n

Wynik potwierdzony: \\(\\boldsymbol{t = 5}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:

\n

\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]

\n

W naszym zadaniu przyjęliśmy \\(t = 0, 1, 2, \\ldots\\), więc wzór przyjmuje postać:

\n

\\[m(t) = m(0) \\cdot q^t = 4 \\cdot 0{,}81^t\\]

\n

(indeksowanie od \\(t = 0\\), nie od \\(n = 1\\) - pamiętaj o tej różnicy).

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6) - własność logarytmu potęgi:

\n

\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]

\n

Użyliśmy jej przy logarytmowaniu nierówności \\(0{,}81^t < 0{,}375\\), co dało \\(t \\cdot \\log(0{,}81) < \\log(0{,}375)\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: „Ubywa \\(19\\%\\)" oznacza, że zostaje \\(81\\%\\), czyli iloraz ciągu to \\(q = 0{,}81\\), nie \\(0{,}19\\). Pomylenie tych wartości to najczęstszy błąd - daje zupełnie inny wzór.
\n
⚠️ Uwaga: Przy logarytmowaniu nierówności przez liczbę ujemną (tu: \\(\\log 0{,}81 < 0\\)) musisz odwrócić znak nierówności. Pominięcie tego kroku prowadzi do wyniku \\(t < 4{,}65\\), czyli błędnej odpowiedzi \\(t = 4\\).
\n
⚠️ Uwaga: Pytanie brzmi „po ilu pełnych dobach masa będzie po raz pierwszy mniejsza od \\(1{,}5\\) g". Wynik \\(t > 4{,}65\\) wskazuje na \\(t = 5\\) jako pierwszą całkowitą odpowiedź - nie zaokrąglamy w dół do \\(4\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(m(t) = 4 \\cdot 0{,}81^{t}\\); masa będzie po raz pierwszy mniejsza od \\(1{,}5\\) grama po \\(5\\) pełnych dobach.

\n
Sposób 1 (przez ciąg geometryczny)
\n

Krok 1. Wyznaczamy wzór funkcji.

\n

Skoro po każdej dobie ubywa \\(19\\%\\) masy z poprzedniej doby, to pozostaje \\(100\\% - 19\\% = 81\\% = 0{,}81\\) masy z poprzedniej doby. Stąd kolejne wartości masy tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \\(q = 0{,}81\\).

\n

Ponieważ \\(m(0) = 4\\), więc:
\\[m(t) = 4 \\cdot 0{,}81^{t}\\]

\n

Krok 2. Wyznaczamy liczbę dób.

\n

Szukamy najmniejszej liczby całkowitej \\(t \\geq 0\\), dla której \\(m(t) < 1{,}5\\), czyli:
\\[4 \\cdot 0{,}81^{t} < 1{,}5\\]

\n

Sprawdzamy kolejne wartości (ciąg jest malejący):

\n\n

Zatem masa będzie po raz pierwszy mniejsza od \\(1{,}5\\) grama po \\(5\\) pełnych dobach.

\n
Sposób 2 (przez logarytm)
\n

Rozwiązujemy nierówność \\(4 \\cdot 0{,}81^{t} < 1{,}5\\):
\\[0{,}81^{t} < \\dfrac{1{,}5}{4} = 0{,}375\\]

\n

Logarytmując (logarytm dziesiętny), ponieważ \\(\\log 0{,}81 < 0\\):
\\[t \\log 0{,}81 < \\log 0{,}375\\]
\\[t > \\dfrac{\\log 0{,}375}{\\log 0{,}81} \\approx \\dfrac{-0{,}4260}{-0{,}0915} \\approx 4{,}66\\]

\n

Najmniejsza liczba całkowita spełniająca tę nierówność to \\(t = 5\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Gdy ubywa \\(p\\%\\) danej wielkości, pozostaje \\((100 - p)\\%\\) - czyli mnoży się przez \\(1 - p/100\\). To natychmiast daje iloraz ciągu geometrycznego. Potem wystarczy policzyć kolejne wyrazy lub użyć logarytmów.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie - zauważ, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów $(-\\infty;-2]\\cup[5;\\infty)$

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Zaznaczony zbiór to

\n

(-∞,-2]∪[5,∞).

\n

Jego środek ma współrzędną

\n

(-2+5)/(2)=1 , 5,

\n

a odległość od środka do każdego końca wynosi 3 , 5 . Zatem

\n

|x-1 , 5|≥ 3 , 5.

"}]}