{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie\nwspółrzędnych (𝑥, 𝑦) jednego z niżej zapisanych układów równań A-D.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nUkładem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest\nA. { 𝑦= -𝑥+ 2\n𝑦= -2𝑥+ 1\nB. { 𝑦= 𝑥-2\n𝑦= -2𝑥-1\nC. { 𝑦= 𝑥-2\n𝑦= 2𝑥+ 1\nD. { 𝑦= -𝑥+ 2\n𝑦= 2𝑥-1\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n\nMMAP-P0_100\nNa rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) jednego z niżej zapisanych układów równań A-D. [rysunek] Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest A. {y=-x+2; y=-2x+1 B. {y=x-2; y=-2x-1 C. {y=x-2; y=2x+1 D. {y=-x+2; y=2x-1","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIV.1) rozwiązuje układy równań liniowych\nz dwiema niewiadomymi, podaje\ninterpretację geometryczną układów\noznaczonych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nC","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nTrzeba odczytać z wykresu równania obu prostych i znaleźć pasujący układ.\n\nProsta opadająca (z lewej-góry do prawej-dołu). Przechodzi przez $(0, 2)$ i $(2, 0)$.\n\n- Punkt przecięcia z osią $y$: $b = 2$\n- Współczynnik kierunkowy: $a = \\frac{0 - 2}{2 - 0} = -1$\n\nRównanie: $y = -x + 2$\n\nProsta rosnąca (z lewej-dołu do prawej-góry). Przechodzi przez $(0, -1)$ i np. $(1, 1)$.\n\n- Punkt przecięcia z osią $y$: $b = -1$\n- Współczynnik kierunkowy: $a = \\frac{1 - (-1)}{1 - 0} = 2$\n\nRównanie: $y = 2x - 1$\n\nZbierz układ:\n\n$$\\begin{cases} y = -x + 2 \\\\ y = 2x - 1 \\end{cases}$$\n\nTo odpowiedź D.\n\nSprawdzenie: Punkt przecięcia prostych: $-x + 2 = 2x - 1 \\Rightarrow 3 = 3x \\Rightarrow x = 1, y = 1$. Z wykresu też widać punkt przecięcia w $(1, 1)$. ✓\n\nPo co to umieć\n\nCzytanie wykresów funkcji liniowej to fundament. Z dwóch punktów odczytujesz równanie $y = ax + b$:\n- $b$ — punkt przecięcia z osią $y$ (gdzie $x = 0$)\n- $a$ — przyrost $y$ na jednostkę przyrostu $x$ (kąt nachylenia)\n\nPamiętaj: $a > 0$ ↗ rosnąca, $a < 0$ ↘ opadająca, $a = 0$ pozioma.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie znaku współczynnika kierunkowego. Prosta opadająca ma $a < 0$, rosnąca ma $a > 0$. Drugi błąd: pomylenie wyrazu wolnego (punktu przecięcia z osią $y$) ze współrzędną $x$ punktu przecięcia z osią $x$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"układ równań liniowych, interpretacja geometryczna, Układy równań, uklady_rownan","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie<br>współrzędnych (𝑥, 𝑦) jednego z niżej zapisanych układów równań A-D.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest<br>A. { 𝑦= -𝑥+ 2<br>𝑦= -2𝑥+ 1<br>B. { 𝑦= 𝑥-2<br>𝑦= -2𝑥-1<br>C. { 𝑦= 𝑥-2<br>𝑦= 2𝑥+ 1<br>D. { 𝑦= -𝑥+ 2<br>𝑦= 2𝑥-1<br>1 2 3 4<br>-1<br>-2<br>5<br>0<br>𝑥<br>-5 -4 -3<br>1<br>2<br>3<br>4<br>𝑦<br>5<br>-1<br>-2<br>-3</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) jednego z niżej zapisanych układów równań A-D. [rysunek] Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest A. {y=-x+2; y=-2x+1 B. {y=x-2; y=-2x-1 C. {y=x-2; y=2x+1 D. {y=-x+2; y=2x-1</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>IV.1) rozwiązuje układy równań liniowych<br>z dwiema niewiadomymi, podaje<br>interpretację geometryczną układów<br>oznaczonych […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>D<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: D</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Trzeba odczytać z wykresu równania obu prostych i znaleźć pasujący układ.</p>\n<p>Prosta opadająca (z lewej-góry do prawej-dołu). Przechodzi przez $(0, 2)$ i $(2, 0)$.</p>\n<ul><li>Punkt przecięcia z osią $y$: $b = 2$</li><li>Współczynnik kierunkowy: $a = \\frac{0 - 2}{2 - 0} = -1$</li></ul>\n<p>Równanie: $y = -x + 2$</p>\n<p>Prosta rosnąca (z lewej-dołu do prawej-góry). Przechodzi przez $(0, -1)$ i np. $(1, 1)$.</p>\n<ul><li>Punkt przecięcia z osią $y$: $b = -1$</li><li>Współczynnik kierunkowy: $a = \\frac{1 - (-1)}{1 - 0} = 2$</li></ul>\n<p>Równanie: $y = 2x - 1$</p>\n<p>Zbierz układ:</p>\n<p>$$\\begin{cases} y = -x + 2 \\\\ y = 2x - 1 \\end{cases}$$</p>\n<p>To odpowiedź D.</p>\n<p>Sprawdzenie: Punkt przecięcia prostych: $-x + 2 = 2x - 1 \\Rightarrow 3 = 3x \\Rightarrow x = 1, y = 1$. Z wykresu też widać punkt przecięcia w $(1, 1)$. ✓</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Czytanie wykresów funkcji liniowej to fundament. Z dwóch punktów odczytujesz równanie $y = ax + b$:</p>\n<ul><li>$b$ — punkt przecięcia z osią $y$ (gdzie $x = 0$)</li><li>$a$ — przyrost $y$ na jednostkę przyrostu $x$ (kąt nachylenia)</li></ul>\n<p>Pamiętaj: $a &gt; 0$ ↗ rosnąca, $a &lt; 0$ ↘ opadająca, $a = 0$ pozioma.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie znaku współczynnika kierunkowego. Prosta opadająca ma $a &lt; 0$, rosnąca ma $a &gt; 0$. Drugi błąd: pomylenie wyrazu wolnego (punktu przecięcia z osią $y$) ze współrzędną $x$ punktu przecięcia z osią $x$.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{8a(4+\\sqrt{10})}{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie boku K₂ i ilorazu ciągu, wzór na sumę</h4>\n<p><strong>Krok 1: Długość boku kwadratu K₂</strong></p>\n<p>Bok kwadratu K₁ ma długość \\(a\\). Podział boku w stosunku \\(1:3\\) daje odcinki:<br>\\[\\frac{1}{4}a \\quad \\text{i} \\quad \\frac{3}{4}a\\]</p>\n<p>Bok kwadratu K₂ to przekątna małego prostokąta z ramionami \\(\\frac{a}{4}\\) i \\(\\frac{3a}{4}\\). Z twierdzenia Pitagorasa:<br>\\[b_2 = \\sqrt{\\left(\\frac{a}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{3a}{4}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{a^2}{16} + \\frac{9a^2}{16}} = \\sqrt{\\frac{10a^2}{16}} = \\frac{a\\sqrt{10}}{4}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Obwody K₁ i K₂</strong></p>\n<p>\\[O_1 = 4a, \\qquad O_2 = 4 \\cdot \\frac{a\\sqrt{10}}{4} = a\\sqrt{10}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Iloraz ciągu</strong></p>\n<p>Każdy kolejny kwadrat powstaje tą samą metodą (stosunek \\(1:3\\)), więc iloraz jest stały:<br>\\[q = \\frac{O_2}{O_1} = \\frac{a\\sqrt{10}}{4a} = \\frac{\\sqrt{10}}{4}\\]</p>\n<p>Sprawdzenie zbieżności: \\(q = \\frac{\\sqrt{10}}{4} \\approx \\frac{3{,}162}{4} \\approx 0{,}79 &lt; 1\\) ✓ - szereg jest zbieżny.</p>\n<p><strong>Krok 4: Suma nieskończonego ciągu geometrycznego</strong></p>\n<p>\\[S = \\frac{O_1}{1 - q} = \\frac{4a}{1 - \\dfrac{\\sqrt{10}}{4}} = \\frac{4a}{\\dfrac{4 - \\sqrt{10}}{4}} = \\frac{16a}{4 - \\sqrt{10}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 5: Racjonalizacja mianownika</strong></p>\n<p>Mnożymy licznik i mianownik przez \\((4 + \\sqrt{10})\\):<br>\\[S = \\frac{16a \\cdot (4 + \\sqrt{10})}{(4 - \\sqrt{10})(4 + \\sqrt{10})} = \\frac{16a(4 + \\sqrt{10})}{16 - 10} = \\frac{16a(4 + \\sqrt{10})}{6}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{S = \\frac{8a(4 + \\sqrt{10})}{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podobieństwo pól i geometrię wektora</h4>\n<p><strong>Sprawdzamy iloraz inną metodą - przez współczynnik podobieństwa boków.</strong></p>\n<p>Każdy kwadrat K\\(_{n+1}\\) jest podobny do K\\(_n\\) ze współczynnikiem podobieństwa \\(k\\):<br>\\[k = \\frac{b_{n+1}}{b_n} = \\frac{\\dfrac{a_n\\sqrt{10}}{4}}{a_n} = \\frac{\\sqrt{10}}{4}\\]</p>\n<p>Iloraz ciągu obwodów równa się ilorazowi ciągu boków (obwód = 4 · bok), więc:<br>\\[q = k = \\frac{\\sqrt{10}}{4}\\]</p>\n<p>To potwierdza wynik z Kroku 3.</p>\n<p><strong>Weryfikacja liczbowa</strong> dla \\(a = 4\\):</p>\n<p>| \\(n\\) | Bok K\\(_n\\) | Obwód O\\(_n\\) |<br>| 1 | 4 | 16 |<br>| 2 | \\(\\sqrt{10}\\) | \\(4\\sqrt{10} \\approx 12{,}65\\) |<br>| 3 | \\(\\frac{10}{4} = 2{,}5\\) | 10 |</p>\n<p>Suma: \\(S = \\frac{16}{1 - \\frac{\\sqrt{10}}{4}} = \\frac{64}{4 - \\sqrt{10}} \\approx \\frac{64}{0{,}838} \\approx 76{,}4\\)</p>\n<p>Wzór: \\(\\frac{8 \\cdot 4 \\cdot (4 + \\sqrt{10})}{3} = \\frac{32(4 + \\sqrt{10})}{3} \\approx \\frac{32 \\cdot 7{,}162}{3} \\approx 76{,}4\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - pierwiastek z sumy kwadratów:<br>\\[\\sqrt{\\left(\\frac{a}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{3a}{4}\\right)^2} = \\frac{a\\sqrt{10}}{4}\\]<br>Użyty w Kroku 1 do wyznaczenia boku kwadratu K₂.</p>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - suma nieskończonego ciągu geometrycznego (gdy \\(|q| &lt; 1\\)):<br>\\[S = \\frac{a_1}{1 - q}\\]<br>Użyty w Kroku 4 do obliczenia sumy wszystkich obwodów.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria - Twierdzenie Pitagorasa, s. 15)</strong>:<br>\\[c^2 = a^2 + b^2\\]<br>Użyty przy obliczaniu boku K₂ z prostokąta o ramionach \\(\\frac{a}{4}\\) i \\(\\frac{3a}{4}\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Stosunek \\(1:3\\) NIE oznacza, że odcinki mają długości \\(a\\) i \\(3a\\). Oznacza, że bok długości \\(a\\) jest dzielony na części \\(\\frac{a}{4}\\) i \\(\\frac{3a}{4}\\) (suma = \\(a\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo zapomnieć o racjonalizacji mianownika i zostawić wynik \\(\\frac{16a}{4 - \\sqrt{10}}\\) - jest poprawny, ale niestandardowy. Wymagana forma to \\(\\frac{8a(4+\\sqrt{10})}{3}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Iloraz \\(q \\approx 0{,}79 &lt; 1\\) - trzeba to sprawdzić! Gdyby podział był np. w stosunku \\(3:1\\) (czyli \\(\\frac{3a}{4}\\) i \\(\\frac{a}{4}\\) zamienione), iloraz byłby taki sam - ale gdyby proporcja była inna, mogłoby wyjść \\(q \\geq 1\\) i szereg by się rozchodził.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(L = \\dfrac{4a}{1 - \\frac{\\sqrt{10}}{4}} = \\dfrac{8(4 + \\sqrt{10})a}{3}\\).</p>\n<h5>Sposób 1</h5>\n<p><strong>Krok 1. Obliczamy długość boku kwadratu \\(K_{2}\\).</strong></p>\n<p>Jeśli bok \\(K_{1}\\) ma długość \\(a\\), to każdy wierzchołek \\(K_{2}\\) dzieli go na odcinki długości \\(\\tfrac{1}{4}a\\) i \\(\\tfrac{3}{4}a\\). Z twierdzenia Pitagorasa:<br>\\[a_{2} = \\sqrt{\\left(\\tfrac{1}{4}a\\right)^{2} + \\left(\\tfrac{3}{4}a\\right)^{2}} = \\sqrt{\\tfrac{1}{16}a^{2} + \\tfrac{9}{16}a^{2}} = \\sqrt{\\tfrac{10}{16}}a = \\dfrac{\\sqrt{10}}{4}a\\]</p>\n<p><strong>Krok 2. Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego.</strong></p>\n<p>Boki tworzą ciąg geometryczny o ilorazie:<br>\\[q = \\dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \\dfrac{\\sqrt{10}}{4}\\]</p>\n<p>Obwody \\(L_{n} = 4a_{n}\\) też tworzą ciąg geometryczny o tym samym ilorazie.</p>\n<p><strong>Krok 3. Sprawdzamy warunek zbieżności.</strong></p>\n<p>\\(|q| = \\tfrac{\\sqrt{10}}{4} &lt; 1\\), bo \\(\\sqrt{10} &lt; 4\\) (\\(10 &lt; 16\\)). Szereg jest zbieżny.</p>\n<p><strong>Krok 4. Obliczamy sumę nieskończonego szeregu.</strong></p>\n<p>Pierwszy wyraz: \\(L_{1} = 4a\\). Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego:<br>\\[L = \\dfrac{L_{1}}{1 - q} = \\dfrac{4a}{1 - \\dfrac{\\sqrt{10}}{4}} = \\dfrac{4a \\cdot 4}{4 - \\sqrt{10}} = \\dfrac{16a}{4 - \\sqrt{10}}\\]</p>\n<p>Racjonalizujemy mnożąc przez \\(\\tfrac{4 + \\sqrt{10}}{4 + \\sqrt{10}}\\):<br>\\[L = \\dfrac{16a(4 + \\sqrt{10})}{16 - 10} = \\dfrac{16(4 + \\sqrt{10})a}{6} = \\dfrac{8(4 + \\sqrt{10})a}{3}\\]</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>\\(4\\) pkt - poprawna metoda i wynik \\(L = \\tfrac{4a}{1 - \\frac{\\sqrt{10}}{4}}\\) (lub \\(\\tfrac{8(4+\\sqrt{10})a}{3}\\)).</li><li>\\(3\\) pkt - zapisanie \\(L = 4a\\left(1 + \\tfrac{\\sqrt{10}}{4} + \\tfrac{5}{8} + \\ldots\\right)\\).</li><li>\\(2\\) pkt - obliczenie ilorazu \\(q = \\tfrac{\\sqrt{10}}{4}\\).</li><li>\\(1\\) pkt - obliczenie \\(a_{2} = \\tfrac{\\sqrt{10}}{4}a\\).</li><li>Błąd rachunkowy dający \\(q \\notin (0,1)\\) - max \\(1\\) punkt.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Gdy każdy kolejny obiekt jest konstruowany z poprzedniego w ten sam sposób - powstaje ciąg geometryczny. Iloraz obliczamy z pierwszych dwóch elementów, reszta to automatycznie szereg geometryczny.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, zauważ, że punkt o współrzędnych $(1,1)$ jest zgodnie z interpretacją geometryczną rozwiązaniem podanego układu równań.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>W równaniu prostej</p>\n<p>y=ax+b</p>\n<p>współczynnik a decyduje o kierunku nachylenia prostej:</p>\n<ul><li>gdy a&gt;0 , prosta jest rosnąca,</li><li>gdy a&lt;0 , prosta jest malejąca.</li></ul>\n<p>Na rysunku jedna prosta jest malejąca, ma współczynnik kierunkowy -1 i przecina oś Oy w punkcie 2 :</p>\n<p>y=-x+2.</p>\n<p>Druga prosta jest rosnąca, ma współczynnik kierunkowy 2 i przecina oś Oy w punkcie -1 :</p>\n<p>y=2x-1.</p>\n<p>Poprawna jest odpowiedź D.</p>"}]}