{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-2)\nDany jest prostokąt o bokach długości 𝑎 i 𝑏, gdzie 𝑎> 𝑏. Obwód tego prostokąta jest\nrówny 30. Jeden z boków prostokąta jest o 5 krótszy od drugiego.\nUzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami\nA-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.\nZależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań\noznaczonych literami: oraz\nA. { 2𝑎𝑏= 30\n𝑎-𝑏= 5\nB. { 2𝑎+ 𝑏= 30\n𝑎= 5𝑏\nC. { 2(𝑎+ 𝑏) = 30\n𝑏= 𝑎-5\nD. { 2𝑎+ 2𝑏= 30\n𝑏= 5𝑎\nE. { 2𝑎+ 2𝑏= 30\n𝑎-𝑏= 5\nF. { 𝑎+ 𝑏= 30\n𝑎= 𝑏+ 5\n11.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDany jest prostokąt o bokach długości a i b, gdzie a>b. Obwód tego prostokąta jest równy 30. Jeden z boków prostokąta jest o 5 krótszy od drugiego. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami: ............. oraz ............. . A. {2ab=30; a-b=5 B. {2a+b=30; a=5b C. {2(a+b)=30; b=a-5 D. {2a+2b=30; b=5a E. {2a+2b=30; a-b=5 F. {a+b=30; a=b+5.","answer":"CE","answer_text":"Zadanie 11. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIV.2) stosuje układy równań do\nrozwiązywania zadań tekstowych.\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.\n1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nCE\nAD","solution":"Odpowiedź: C, E\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nTrzeba zidentyfikować dwa układy spośród A–F, które poprawnie opisują dane.\n\nZapisz fakty:\n- Obwód prostokąta: $2a + 2b = 30$, równoważnie $2(a + b) = 30$, czyli $a + b = 15$.\n- $a > b$ i jeden bok jest o $5$ krótszy: $a - b = 5$, równoważnie $b = a - 5$.\n\nSprawdź każdą odpowiedź:\n\nOdp. | Obwód | Różnica | Status\nA | $2ab = 30$ (to pole!) | $a - b = 5$ ✓ | ❌ błędny obwód\nB | $2a + b = 30$ (jeden bok dwa razy) | $a = 5b$ ❌ | ❌\nC | $2(a+b) = 30$ ✓ | $b = a - 5$ ✓ | ✅\nD | $2a + 2b = 30$ ✓ | $b = 5a$ ❌ (sprzeczne z $a > b$) | ❌\nE | $2a + 2b = 30$ ✓ | $a - b = 5$ ✓ | ✅\nF | $a + b = 30$ ❌ (powinno być $15$) | $a = b + 5$ ✓ | ❌\n\nWybierz: C i E.\n\nPo co to umieć\n\nModelowanie tekstu w język matematyczny — najtrudniejsza umiejętność na maturze podstawowej. Klucz: zapisz każdy fakt z treści jako równanie, potem dopiero szukaj odpowiedzi w opcjach. Tu są dwa fakty (obwód, różnica boków) → dwa równania w układzie.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: zapis $a + b = 30$ zamiast $2a + 2b = 30$ — zapomnienie, że obwód to suma WSZYSTKICH czterech boków, a prostokąt ma dwa boki $a$ i dwa boki $b$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"układ równań, obwód prostokąta, modelowanie, Układy równań, uklady_rownan","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-2)
Dany jest prostokąt o bokach długości 𝑎 i 𝑏, gdzie 𝑎> 𝑏. Obwód tego prostokąta jest
równy 30. Jeden z boków prostokąta jest o 5 krótszy od drugiego.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami
A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań
oznaczonych literami: oraz
A. { 2𝑎𝑏= 30
𝑎-𝑏= 5
B. { 2𝑎+ 𝑏= 30
𝑎= 5𝑏
C. { 2(𝑎+ 𝑏) = 30
𝑏= 𝑎-5
D. { 2𝑎+ 2𝑏= 30
𝑏= 5𝑎
E. { 2𝑎+ 2𝑏= 30
𝑎-𝑏= 5
F. { 𝑎+ 𝑏= 30
𝑎= 𝑏+ 5
11.
0-1-2

\n

MMAP-P0_100
Dany jest prostokąt o bokach długości a i b, gdzie a>b. Obwód tego prostokąta jest równy 30. Jeden z boków prostokąta jest o 5 krótszy od drugiego. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami: ............. oraz ............. . A. {2ab=30; a-b=5 B. {2a+b=30; a=5b C. {2(a+b)=30; b=a-5 D. {2a+2b=30; b=5a E. {2a+2b=30; a-b=5 F. {a+b=30; a=b+5.

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
IV.2) stosuje układy równań do
rozwiązywania zadań tekstowych.
Zasady oceniania
2 pkt - wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.
1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
CE
AD

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: C, E

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

Trzeba zidentyfikować dwa układy spośród A–F, które poprawnie opisują dane.

\n

Zapisz fakty:

\n\n

Sprawdź każdą odpowiedź:

\n

Odp. | Obwód | Różnica | Status
A | $2ab = 30$ (to pole!) | $a - b = 5$ ✓ | ❌ błędny obwód
B | $2a + b = 30$ (jeden bok dwa razy) | $a = 5b$ ❌ | ❌
C | $2(a+b) = 30$ ✓ | $b = a - 5$ ✓ | ✅
D | $2a + 2b = 30$ ✓ | $b = 5a$ ❌ (sprzeczne z $a > b$) | ❌
E | $2a + 2b = 30$ ✓ | $a - b = 5$ ✓ | ✅
F | $a + b = 30$ ❌ (powinno być $15$) | $a = b + 5$ ✓ | ❌

\n

Wybierz: C i E.

\n

Po co to umieć

\n

Modelowanie tekstu w język matematyczny — najtrudniejsza umiejętność na maturze podstawowej. Klucz: zapisz każdy fakt z treści jako równanie, potem dopiero szukaj odpowiedzi w opcjach. Tu są dwa fakty (obwód, różnica boków) → dwa równania w układzie.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: zapis $a + b = 30$ zamiast $2a + 2b = 30$ — zapomnienie, że obwód to suma WSZYSTKICH czterech boków, a prostokąt ma dwa boki $a$ i dwa boki $b$.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(m \\in \\left(\\dfrac{11}{5},\\, \\dfrac{9}{4}\\right)\\)

\n

Sposób 1 - Wzory Viète'a + analiza nierówności

\n
Krok 1: Warunek na dwa różne pierwiastki rzeczywiste (\\(\\Delta > 0\\))
\n

Równanie \\(x^2 + 4x - \\dfrac{m-3}{m-2} = 0\\) ma \\(a=1\\), \\(b=4\\), \\(c = -\\dfrac{m-3}{m-2}\\).

\n

\\[
\\Delta = 16 + \\frac{4(m-3)}{m-2} > 0
\\]

\n

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

\n

\\[
\\frac{16(m-2) + 4(m-3)}{m-2} > 0 \\implies \\frac{20m - 44}{m-2} > 0 \\implies \\frac{5m-11}{m-2} > 0
\\]

\n

Iloraz jest dodatni, gdy oba czynniki mają ten sam znak:

\n

| Przedział | \\(5m-11\\) | \\(m-2\\) | Iloraz |
| \\(m < 2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |
| \\(2 < m < \\frac{11}{5}\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✗ |
| \\(m > \\frac{11}{5}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |

\n

Warunek 1: \\(m < 2\\) lub \\(m > \\dfrac{11}{5}\\)

\n
Krok 2: Wzory Viète'a
\n

Z wzorów Viète'a dla \\(x^2 + 4x - \\dfrac{m-3}{m-2} = 0\\):

\n

\\[
x_1 + x_2 = -4, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = -\\frac{m-3}{m-2}
\\]

\n
Krok 3: Wyrażenie \\(x_1^3 + x_2^3\\) przez sumy elementarne
\n

Używamy tożsamości algebraicznej:

\n

\\[
x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1+x_2)
\\]

\n

Podstawiamy:

\n

\\[
x_1^3 + x_2^3 = (-4)^3 - 3 \\cdot \\left(-\\frac{m-3}{m-2}\\right) \\cdot (-4)
= -64 - \\frac{12(m-3)}{m-2}
\\]

\n
Krok 4: Warunek \\(x_1^3 + x_2^3 > -28\\)
\n

\\[
-64 - \\frac{12(m-3)}{m-2} > -28
\\]

\n

\\[
-\\frac{12(m-3)}{m-2} > 36
\\]

\n

\\[
\\frac{12(m-3)}{m-2} < -36
\\]

\n

Dodajemy \\(36\\) do lewej strony (przenosimy na lewo):

\n

\\[
\\frac{12(m-3) + 36(m-2)}{m-2} < 0
\\]

\n

\\[
\\frac{12m - 36 + 36m - 72}{m-2} < 0 \\implies \\frac{48m - 108}{m-2} < 0 \\implies \\frac{4m-9}{m-2} < 0
\\]

\n

Iloraz ujemny, gdy czynniki mają różne znaki:

\n

| Przedział | \\(4m-9\\) | \\(m-2\\) | Iloraz |
| \\(m < 2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✗ |
| \\(2 < m < \\frac{9}{4}\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✓ |
| \\(m > \\frac{9}{4}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✗ |

\n

Warunek 2: \\(2 < m < \\dfrac{9}{4}\\)

\n
Krok 5: Część wspólna warunków
\n

\\[
\\underbrace{\\left(m < 2 \\text{ lub } m > \\tfrac{11}{5}\\right)}{\\Delta > 0} \\cap \\underbrace{\\left(2 < m < \\tfrac{9}{4}\\right)}{x_1^3+x_2^3 > -28}
\\]

\n\n

\\[
\\boxed{m \\in \\left(\\frac{11}{5},\\, \\frac{9}{4}\\right)}
\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja granicznych wartości i kontrolna substitucja

\n

Granica dolna \\(m = \\frac{11}{5} = 2{,}2\\): Delta = 0, równanie ma podwójny pierwiastek - nie dwa różne. Granica wykluczona.

\n

Granica górna \\(m = \\frac{9}{4} = 2{,}25\\): Sprawdzamy:

\n

\\[
x_1^3 + x_2^3 = -64 - \\frac{12\\left(\\frac{9}{4}-3\\right)}{\\frac{9}{4}-2} = -64 - \\frac{12 \\cdot \\left(-\\frac{3}{4}\\right)}{\\frac{1}{4}} = -64 - \\frac{-9}{\\frac{1}{4}} = -64 + 36 = -28
\\]

\n

Otrzymujemy dokładnie \\(-28\\), a potrzeba ostrej nierówności. Granica wykluczona.

\n

Punkt środkowy \\(m = 2{,}22\\): \\(\\frac{11}{5} < 2{,}22 < \\frac{9}{4}\\)

\n

\\[
x_1^3 + x_2^3 = -64 - \\frac{12(2{,}22 - 3)}{2{,}22 - 2} = -64 - \\frac{12 \\cdot (-0{,}78)}{0{,}22} = -64 + \\frac{9{,}36}{0{,}22} \\approx -64 + 42{,}5 \\approx -21{,}5 > -28 \\checkmark
\\]

\n

Punkt spoza przedziału \\(m = 3\\): \\(m > \\frac{9}{4}\\), powinno nie spełniać warunku:

\n

\\[
x_1^3 + x_2^3 = -64 - \\frac{12(3-3)}{3-2} = -64 - 0 = -64 < -28 \\text{ ✗ (poprawnie wykluczone)}
\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i warunek na dwa różne pierwiastki:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad \\Delta > 0 \\Rightarrow \\text{dwa różne pierwiastki rzeczywiste}\\]
Użyte w Kroku 1.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 8-9) - wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyte w Kroku 2 do wyznaczenia sumy i iloczynu pierwiastków.

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - tożsamość algebraiczna:
\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]
Przekształcona do formy: \\(x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1+x_2)\\). Użyta w Kroku 3.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu \\(c\\) z postaci ogólnej \\(x^2 + 4x - \\frac{m-3}{m-2} = 0\\) pamiętaj, że \\(c = -\\frac{m-3}{m-2}\\) (z minusem!). Mylenie znaku to najczęstszy błąd przy stosowaniu wzorów Viète'a.
\n
⚠️ Uwaga: Dwa warunki muszą być spełnione jednocześnie - zarówno \\(\\Delta > 0\\) (istnienie dwóch pierwiastków), jak i nierówność na \\(x_1^3 + x_2^3\\). Pominięcie warunku na deltę daje za szeroki zbiór.
\n
⚠️ Uwaga: Granice przedziału \\(\\frac{11}{5}\\) i \\(\\frac{9}{4}\\) są wykluczone - w \\(m = \\frac{11}{5}\\) delta jest zerowa (jeden pierwiastek), a w \\(m = \\frac{9}{4}\\) nierówność staje się równością. Odpowiedź to przedział otwarty.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(m \\in \\left(\\dfrac{11}{5}, \\dfrac{9}{4}\\right)\\).

\n
Sposób 1 (wzory Viète'a)
\n

Etap I. Warunek istnienia dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych: \\(\\Delta > 0\\).

\n

\\[\\Delta = 16 - 4 \\cdot \\left(-\\dfrac{m-3}{m-2}\\right) = 16 + \\dfrac{4(m-3)}{m-2} = \\dfrac{16(m-2) + 4(m-3)}{m-2} = \\dfrac{20m - 44}{m-2}\\]

\n

\\(\\Delta > 0 \\iff \\dfrac{20m - 44}{m-2} > 0 \\iff (20m - 44)(m - 2) > 0 \\iff 20\\left(m - \\tfrac{11}{5}\\right)(m - 2) > 0\\)

\n

Stąd: \\(m \\in (-\\infty, 2) \\cup \\left(\\tfrac{11}{5}, +\\infty\\right)\\).

\n

Etap II. Warunek \\(x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > -28\\).

\n

Ze wzorów Viète'a: \\(x_{1} + x_{2} = -4\\), \\(x_{1} \\cdot x_{2} = -\\dfrac{m-3}{m-2}\\).

\n

Tożsamość: \\(x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2})^{3} - 3x_{1}x_{2}(x_{1} + x_{2})\\).

\n

\\[x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (-4)^{3} - 3 \\cdot \\left(-\\dfrac{m-3}{m-2}\\right) \\cdot (-4) = -64 - \\dfrac{12(m-3)}{m-2}\\]

\n

Warunek:
\\[-64 - \\dfrac{12(m-3)}{m-2} > -28\\]
\\[-\\dfrac{12(m-3)}{m-2} > 36\\]
\\[\\dfrac{m-3}{m-2} < -3\\]
\\[\\dfrac{m-3}{m-2} + 3 < 0\\]
\\[\\dfrac{m-3 + 3(m-2)}{m-2} < 0\\]
\\[\\dfrac{4m - 9}{m-2} < 0\\]
\\[(4m - 9)(m - 2) < 0\\]

\n

Stąd: \\(m \\in \\left(2, \\tfrac{9}{4}\\right)\\).

\n

Etap III. Część wspólna warunków.

\n

Z Etapu I: \\(m \\in (-\\infty, 2) \\cup \\left(\\tfrac{11}{5}, +\\infty\\right)\\).

\n

Z Etapu II: \\(m \\in \\left(2, \\tfrac{9}{4}\\right)\\).

\n

Część wspólna: \\(m \\in \\left(\\dfrac{11}{5}, \\dfrac{9}{4}\\right)\\) (ponieważ \\(\\tfrac{11}{5} = 2{,}2 < \\tfrac{9}{4} = 2{,}25\\)).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Tożsamość \\(a^{3} + b^{3} = (a+b)^{3} - 3ab(a+b)\\) pozwala wyrazić \\(x_{1}^{3} + x_{2}^{3}\\) tylko przez sumę i iloczyn pierwiastków - a te znamy ze wzorów Viète'a. Zawsze przechodzimy do parametru, nigdy nie liczymy samych \\(x_{1}, x_{2}\\).

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Obwód prostokąta jest równy 30 , więc

\n

2(a+b)=30,

\n

czyli równoważnie

\n

2a+2b=30.

\n

Ponieważ a>b , krótszy bok spełnia

\n

b=a-5,

\n

równoważnie

\n

a-b=5.

\n

Warunki zapisano w układach C oraz E.

"}]}