{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) narysowano wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥)\n(zobacz rysunek).\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Dziedziną funkcji f jest zbiór A. <-6,5> B. (-6,5) C. (-3,5> D. <-3,5>","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nOdczytaj dziedzinę funkcji $f$ z wykresu.\n\nCo to jest dziedzina? Dziedzina to zbiór wszystkich $x$, dla których funkcja jest określona. Patrzymy na rzut wykresu na oś $x$ (oś pozioma).\n\nZnajdź skrajne wartości $x$ na wykresie.\n\n- Lewy skrajny punkt: $x = -6$ (zamknięte kółko — należy)\n- Prawy skrajny punkt: $x = 5$ (zamknięte kółko — należy)\n\nSprawdź odcinki:\n- $x \\in \\langle -6, -3 \\rangle$ — funkcja określona (pozioma)\n- $x \\in \\langle -1, 1 \\rangle$ — funkcja określona (skośna)\n- $x \\in \\langle 2, 5 \\rangle$ — funkcja określona (opadająca)\n\nUwaga: otwarte kółka między odcinkami nie wykluczają $x$ z dziedziny, tylko zaznaczają nieciągłość funkcji w danym punkcie. Wartość $f(x)$ w tych punktach może być zdefiniowana przez sąsiedni odcinek.\n\nDziedzina: $\\langle -6, 5 \\rangle$\n\nPo co to umieć\n\nDziedzina funkcji z wykresu = rzut wykresu na oś $x$. Reguła: kółko zamknięte ⇒ należy, kółko otwarte ⇒ nie należy. Ale jeśli ten sam $x$ ma wartość zdefiniowaną przez inny odcinek (np. sąsiedni), to wciąż należy do dziedziny.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie dziedziny ze zbiorem wartości. Dziedzina = wszystkie wartości $x$, dla których funkcja jest określona (oś pozioma). Zbiór wartości = wszystkie wartości $y$ (oś pionowa).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcja, dziedzina, czytanie wykresu","page_from":12,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12.<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) narysowano wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥)<br>(zobacz rysunek).<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Dziedziną funkcji f jest zbiór A. &lt;-6,5&gt; B. (-6,5) C. (-3,5&gt; D. &lt;-3,5&gt;</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: A</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Odczytaj dziedzinę funkcji $f$ z wykresu.</p>\n<p>Co to jest dziedzina? Dziedzina to zbiór wszystkich $x$, dla których funkcja jest określona. Patrzymy na rzut wykresu na oś $x$ (oś pozioma).</p>\n<p>Znajdź skrajne wartości $x$ na wykresie.</p>\n<ul><li>Lewy skrajny punkt: $x = -6$ (zamknięte kółko — należy)</li><li>Prawy skrajny punkt: $x = 5$ (zamknięte kółko — należy)</li></ul>\n<p>Sprawdź odcinki:</p>\n<ul><li>$x \\in \\langle -6, -3 \\rangle$ — funkcja określona (pozioma)</li><li>$x \\in \\langle -1, 1 \\rangle$ — funkcja określona (skośna)</li><li>$x \\in \\langle 2, 5 \\rangle$ — funkcja określona (opadająca)</li></ul>\n<p>Uwaga: otwarte kółka między odcinkami nie wykluczają $x$ z dziedziny, tylko zaznaczają nieciągłość funkcji w danym punkcie. Wartość $f(x)$ w tych punktach może być zdefiniowana przez sąsiedni odcinek.</p>\n<p>Dziedzina: $\\langle -6, 5 \\rangle$</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Dziedzina funkcji z wykresu = rzut wykresu na oś $x$. Reguła: kółko zamknięte ⇒ należy, kółko otwarte ⇒ nie należy. Ale jeśli ten sam $x$ ma wartość zdefiniowaną przez inny odcinek (np. sąsiedni), to wciąż należy do dziedziny.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie dziedziny ze zbiorem wartości. Dziedzina = wszystkie wartości $x$, dla których funkcja jest określona (oś pozioma). Zbiór wartości = wszystkie wartości $y$ (oś pionowa).</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(k = -3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podstawienie warunku \\(f(1) = 2\\)</h4>\n<p>Mamy wzór funkcji:<br>\\[f(x) = \\frac{x - k}{x^2 + 1}\\]</p>\n<p>Warunek \\(f(1) = 2\\) oznacza, że <strong>podstawiamy \\(x = 1\\) i przyrównujemy do \\(2\\)</strong>:<br>\\[f(1) = \\frac{1 - k}{1^2 + 1} = 2\\]</p>\n<p>Obliczamy mianownik:<br>\\[\\frac{1 - k}{2} = 2\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(2\\):<br>\\[1 - k = 4\\]</p>\n<p>Przenosimy \\(k\\) na prawą stronę:<br>\\[-k = 4 - 1 = 3\\]<br>\\[\\boxed{k = -3}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: A</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy dla \\(k = -3\\) rzeczywiście \\(f(1) = 2\\).</p>\n<p>Wzór funkcji z \\(k = -3\\):<br>\\[f(x) = \\frac{x - (-3)}{x^2 + 1} = \\frac{x + 3}{x^2 + 1}\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(x = 1\\):<br>\\[f(1) = \\frac{1 + 3}{1^2 + 1} = \\frac{4}{2} = 2 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza - <strong>\\(k = -3\\) jest poprawne</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości do wzoru funkcji i rozwiązanie prostego równania liniowego.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| B: \\(k = 3\\) | Uczeń zapisał \\(\\frac{1-k}{2} = 2\\), dostał \\(1 - k = 4\\), ale <strong>pomylił znak</strong> przy przenoszeniu: zamiast \\(k = -3\\) napisał \\(k = 3\\) |<br>| C: \\(k = -4\\) | Uczeń zapomniał podnieść \\(1^2 = 1\\) i policzył mianownik jako \\(1 + 1 = 1\\) zamiast \\(2\\), dostając \\(1 - k = 2\\), a potem \\(k = -1\\) - lub pomylił mianownik jako \\(1\\): \\(1 - k = 2 \\Rightarrow k = -1\\). Inny błąd: obliczył \\(1^2 + 1 = 4\\) (biorąc \\(2^2\\) zamiast \\(1^2\\)), co daje \\(\\frac{1-k}{4} = 2 \\Rightarrow 1 - k = 8 \\Rightarrow k = -7\\) - nie ma w liście, więc typowo: pomyłka znaku plus przeniesienie 1 na złą stronę: \\(-k = 4+1=5 \\Rightarrow k = -5\\) - nie ma. Najbardziej naturalny błąd do \\(-4\\): \\(\\frac{1-k}{2} = 2\\), ale uczeń bierze \\(1-k = 4+1 = 5 \\Rightarrow k = -4\\) (dodaje 1 zamiast odejmuje) |<br>| D: \\(k = 4\\) | Połączenie dwóch błędów: zły znak i przekształcenie - uczeń dostał \\(k = 3\\), a następnie pomylił się jeszcze raz, lub pominął \\(x-k\\) i policzył \\(\\frac{k}{2} = 2 \\Rightarrow k = 4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to zgubienie znaku minus. Z równania \\(1 - k = 4\\) wynika \\(k = -3\\), <strong>nie</strong> \\(k = 3\\)! Uważaj na przenoszenie - \\(-k = 3\\) oznacza \\(k = -3\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że \\(1^2 = 1\\), więc mianownik \\(x^2 + 1\\) dla \\(x = 1\\) to \\(1 + 1 = 2\\), a <strong>nie</strong> \\(1\\). Pominięcie potęgowania to częsty błąd przy pośpiechu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze na koniec <strong>sprawdź wynik</strong> wstawiając obliczone \\(k\\) z powrotem do wzoru - Sposób 2 pokazuje, jak szybko to zrobić. Zajmuje 10 sekund, a eliminuje ryzyko błędu znaku.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie</h5>\n<p>Z warunku \\(f(1) = 2\\):<br>\\[\\dfrac{1 - k}{1^{2} + 1} = 2 \\iff \\dfrac{1 - k}{2} = 2 \\iff 1 - k = 4 \\iff k = -3.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi</h5>\n<ul><li>A: \\(k = -3\\): \\(f(1) = \\tfrac{1-(-3)}{2} = \\tfrac{4}{2} = 2\\) ✓.</li><li>B: \\(k = 3\\): \\(f(1) = \\tfrac{-2}{2} = -1\\) ✗.</li><li>C: \\(k = -4\\): \\(f(1) = \\tfrac{5}{2}\\) ✗.</li><li>D: \\(k = 4\\): \\(f(1) = \\tfrac{-3}{2}\\) ✗.</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B.</strong> Znak odwrócony - zdający zapomniał minus przed \\(k\\).</li><li><strong>C, D.</strong> Zdający pomylił mianownik \\(x^{2}+1 = 2\\) z \\(1\\) lub użył złego równania.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> przy wartościach funkcji \\(f(a) = b\\) zawsze po prostu wstawiaj \\(a\\) w miejsce \\(x\\) i rozwiązuj jako równanie liniowe w parametrze.</p>"}]}