{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"12.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDziedziną funkcji 𝑓 jest zbiór\nA. [-6, 5]\nB. (-6, 5)\nC. (-3, 5]\nD. [-3, 5]\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Dziedziną funkcji f jest zbiór A. <-6,5> B. (-6,5) C. (-3,5> D. <-3,5>","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: wyrażenie redukuje się do \\(x^4 + x^2 - 6x\\)\n\nZadanie polega na uproszczeniu dwóch kluczowych części: **wyrażenia \\(81^{\\log_3 x}\\)** oraz **współczynnika \\(\\dfrac{2 \\cdot \\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3}\\)**. Gdy oba okażą się równe odpowiednio \\(x^4\\) i \\(1\\), teza wynika natychmiast.\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie uproszczenie każdego składnika\n\n**Krok 1: Uproszczenie \\(81^{\\log_3 x}\\)**\n\nZauważamy, że \\(81 = 3^4\\), więc:\n\\[81^{\\log_3 x} = \\left(3^4\\right)^{\\log_3 x} = 3^{4 \\cdot \\log_3 x}\\]\n\nKorzystamy z własności logarytmu: \\(r \\cdot \\log_a b = \\log_a b^r\\):\n\\[3^{4 \\cdot \\log_3 x} = 3^{\\log_3 x^4}\\]\n\nTeraz stosujemy fundamentalną własność \\(a^{\\log_a b} = b\\):\n\\[\\boxed{3^{\\log_3 x^4} = x^4}\\]\n\n**Krok 2: Uproszczenie \\(\\dfrac{2 \\cdot \\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3}\\)**\n\nRozkładamy \\(\\log_2\\sqrt{27}\\):\n\\[\\log_2\\sqrt{27} = \\log_2 27^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\log_2 27 = \\frac{1}{2}\\log_2 3^3 = \\frac{1}{2} \\cdot 3\\log_2 3 = \\frac{3}{2}\\log_2 3\\]\n\nPodstawiamy do współczynnika:\n\\[\\frac{2 \\cdot \\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{2 \\cdot \\dfrac{3}{2}\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\cdot \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2\\]\n\nKorzystamy ze wzoru na zmianę podstawy: \\(\\log_3 2 = \\dfrac{1}{\\log_2 3}\\), więc:\n\\[\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = \\log_2 3 \\cdot \\frac{1}{\\log_2 3} = \\boxed{1}\\]\n\n**Krok 3: Złożenie wyniku**\n\nPodstawiamy obie uproszczone wartości do wyjściowego wyrażenia:\n\\[81^{\\log_3 x} + \\frac{2 \\cdot \\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3} \\cdot x^2 - 6x = x^4 + 1 \\cdot x^2 - 6x = x^4 + x^2 - 6x\\]\n\n**Co kończy dowód.** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości (jako sprawdzenie)\n\nSprawdzamy dla \\(x = 3\\), czy lewa i prawa strona są równe.\n\n**Lewa strona:**\n\n\\[81^{\\log_3 3} + \\frac{2 \\cdot \\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3} \\cdot 9 - 18\\]\n\nPonieważ \\(\\log_3 3 = 1\\):\n\\[81^1 = 81\\]\n\nWspółczynnik (wykazany w Sposobie 1 = 1):\n\\[81 + 1 \\cdot 9 - 18 = 81 + 9 - 18 = 72\\]\n\n**Prawa strona:**\n\\[3^4 + 3^2 - 6 \\cdot 3 = 81 + 9 - 18 = 72\\]\n\nWyniki zgodne: \\(72 = 72\\). ✓\n\n> **Uwaga:** Podstawienie konkretnej liczby **nie jest dowodem** - to tylko sprawdzenie. Pełnym dowodem jest Sposób 1 (przekształcenia ogólne dla każdego \\(x > 0\\)).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\n1. Własność potęgi logarytmu:\n\\[r \\cdot \\log_a b = \\log_a b^r\\]\nUżyta przy przekształceniu \\(4 \\cdot \\log_3 x = \\log_3 x^4\\).\n\n2. Definicja logarytmu / własność podstawowa:\n\\[a^{\\log_a b} = b\\]\nKluczowa przy zamianie \\(3^{\\log_3 x^4} = x^4\\).\n\n3. Zmiana podstawy logarytmu:\n\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}, \\quad \\text{stąd} \\quad \\log_a b = \\frac{1}{\\log_b a}\\]\nUżyta przy wykazaniu, że \\(\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = 1\\).\n\n4. Własność \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\):\n\\[\\log_2\\sqrt{27} = \\tfrac{1}{2}\\log_2 27 = \\tfrac{3}{2}\\log_2 3\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(81^{\\log_3 x}\\) łatwo pomylić kolejność: trzeba najpierw zamienić podstawę potęgi \\(81 = 3^4\\), a **dopiero potem** skorzystać z własności \\(a^{\\log_a b} = b\\). Błąd: próba liczenia \\(\\log_3 x\\) z osobna i podstawiania liczby.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_2\\sqrt{27} \\neq \\frac{1}{2}\\log_2 3\\). Poprawnie: \\(\\sqrt{27} = 27^{1/2} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}\\), więc \\(\\log_2\\sqrt{27} = \\frac{3}{2}\\log_2 3\\). Pominięcie trójki to najczęstszy błąd w tym zadaniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność \\(\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = 1\\) wynika ze zmiany podstawy. Można ją zapamiętać ogólnie: \\(\\log_a b \\cdot \\log_b a = 1\\) dla dowolnych poprawnych podstaw. Warto ten wzór mieć w głowie - pojawia się na maturze regularnie.\n\n**Poprawna odpowiedź:** Wykazujemy, że dane wyrażenie jest równe \\(x^{4} + x^{2} - 6x\\).\n\n### Sposób 1\n\n**Krok 1. Przekształcamy \\(81^{\\log_{3} x}\\).**\n\nKorzystamy z \\(81 = 3^{4}\\) i tożsamości \\(a^{\\log_{a} b} = b\\):\n\\[81^{\\log_{3} x} = (3^{4})^{\\log_{3} x} = 3^{4\\log_{3} x} = 3^{\\log_{3} x^{4}} = x^{4}\\]\n\n**Krok 2. Przekształcamy współczynnik przy \\(x^{2}\\).**\n\nObliczamy \\(\\log_{2}\\sqrt{27}\\):\n\\[\\log_{2}\\sqrt{27} = \\log_{2} 27^{1/2} = \\tfrac{1}{2}\\log_{2} 27 = \\tfrac{1}{2}\\log_{2} 3^{3} = \\tfrac{3}{2}\\log_{2} 3\\]\n\nWykorzystujemy wzór na zamianę podstawy: \\(\\log_{3} 2 = \\dfrac{1}{\\log_{2} 3}\\).\n\nZatem:\n\\[\\dfrac{2 \\cdot \\log_{2}\\sqrt{27} \\cdot \\log_{3} 2}{3} = \\dfrac{2 \\cdot \\tfrac{3}{2}\\log_{2} 3 \\cdot \\tfrac{1}{\\log_{2} 3}}{3} = \\dfrac{2 \\cdot \\tfrac{3}{2}}{3} = \\dfrac{3}{3} = 1\\]\n\n**Krok 3. Składamy wyrażenie.**\n\\[81^{\\log_{3} x} + \\dfrac{2 \\cdot \\log_{2}\\sqrt{27} \\cdot \\log_{3} 2}{3} \\cdot x^{2} - 6x = x^{4} + 1 \\cdot x^{2} - 6x = x^{4} + x^{2} - 6x\\]\n\nTo należało wykazać. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n\n- \\(2\\) pkt - poprawne przekształcenie wyrażenia do postaci \\(x^{4} + x^{2} - 6x\\).\n- \\(1\\) pkt - poprawne zastosowanie własności \\(a^{\\log_{a} b} = b\\), tj. przekształcenie \\(3^{\\log_{3} x^{4}}\\) (lub \\(\\left(3^{\\log_{3} x}\\right)^{4}\\)) do postaci \\(x^{4}\\) ALBO poprawne zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu.\n- \\(0\\) pkt - niepoprawna metoda.\n\n**Trik:** Każde wyrażenie typu \\(a^{b \\cdot \\log_{a} x}\\) zwija się do \\(x^{b}\\). Tutaj \\(81^{\\log_{3} x} = 3^{4\\log_{3} x} = x^{4}\\). Drugi trik: \\(\\log_{a} b \\cdot \\log_{b} a = 1\\) - iloczyn wzajemnie odwrotnych logarytmów.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-12.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-12.1.svg","topics":"Funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12.1. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dziedziną funkcji 𝑓 jest zbiór
A. [-6, 5]
B. (-6, 5)
C. (-3, 5]
D. [-3, 5]
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Dziedziną funkcji f jest zbiór A. <-6,5> B. (-6,5) C. (-3,5> D. <-3,5>

","answer_text_html":"

Zadanie 12.1. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie
\n

informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
V.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę
[…].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
A
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-12.1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: wyrażenie redukuje się do \\(x^4 + x^2 - 6x\\)

\n

Zadanie polega na uproszczeniu dwóch kluczowych części: wyrażenia \\(81^{\\log_3 x}\\) oraz współczynnika \\(\\dfrac{2 \\cdot \\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3}\\). Gdy oba okażą się równe odpowiednio \\(x^4\\) i \\(1\\), teza wynika natychmiast.

\n

Sposób 1 - bezpośrednie uproszczenie każdego składnika

\n

Krok 1: Uproszczenie \\(81^{\\log_3 x}\\)

\n

Zauważamy, że \\(81 = 3^4\\), więc:
\\[81^{\\log_3 x} = \\left(3^4\\right)^{\\log_3 x} = 3^{4 \\cdot \\log_3 x}\\]

\n

Korzystamy z własności logarytmu: \\(r \\cdot \\log_a b = \\log_a b^r\\):
\\[3^{4 \\cdot \\log_3 x} = 3^{\\log_3 x^4}\\]

\n

Teraz stosujemy fundamentalną własność \\(a^{\\log_a b} = b\\):
\\[\\boxed{3^{\\log_3 x^4} = x^4}\\]

\n

Krok 2: Uproszczenie \\(\\dfrac{2 \\cdot \\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3}\\)

\n

Rozkładamy \\(\\log_2\\sqrt{27}\\):
\\[\\log_2\\sqrt{27} = \\log_2 27^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\log_2 27 = \\frac{1}{2}\\log_2 3^3 = \\frac{1}{2} \\cdot 3\\log_2 3 = \\frac{3}{2}\\log_2 3\\]

\n

Podstawiamy do współczynnika:
\\[\\frac{2 \\cdot \\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{2 \\cdot \\dfrac{3}{2}\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\cdot \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2\\]

\n

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy: \\(\\log_3 2 = \\dfrac{1}{\\log_2 3}\\), więc:
\\[\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = \\log_2 3 \\cdot \\frac{1}{\\log_2 3} = \\boxed{1}\\]

\n

Krok 3: Złożenie wyniku

\n

Podstawiamy obie uproszczone wartości do wyjściowego wyrażenia:
\\[81^{\\log_3 x} + \\frac{2 \\cdot \\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3} \\cdot x^2 - 6x = x^4 + 1 \\cdot x^2 - 6x = x^4 + x^2 - 6x\\]

\n

Co kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości (jako sprawdzenie)

\n

Sprawdzamy dla \\(x = 3\\), czy lewa i prawa strona są równe.

\n

Lewa strona:

\n

\\[81^{\\log_3 3} + \\frac{2 \\cdot \\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3} \\cdot 9 - 18\\]

\n

Ponieważ \\(\\log_3 3 = 1\\):
\\[81^1 = 81\\]

\n

Współczynnik (wykazany w Sposobie 1 = 1):
\\[81 + 1 \\cdot 9 - 18 = 81 + 9 - 18 = 72\\]

\n

Prawa strona:
\\[3^4 + 3^2 - 6 \\cdot 3 = 81 + 9 - 18 = 72\\]

\n

Wyniki zgodne: \\(72 = 72\\). ✓

\n
Uwaga: Podstawienie konkretnej liczby nie jest dowodem - to tylko sprawdzenie. Pełnym dowodem jest Sposób 1 (przekształcenia ogólne dla każdego \\(x > 0\\)).
\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)

\n
  1. Własność potęgi logarytmu:
\n

\\[r \\cdot \\log_a b = \\log_a b^r\\]
Użyta przy przekształceniu \\(4 \\cdot \\log_3 x = \\log_3 x^4\\).

\n
  1. Definicja logarytmu / własność podstawowa:
\n

\\[a^{\\log_a b} = b\\]
Kluczowa przy zamianie \\(3^{\\log_3 x^4} = x^4\\).

\n
  1. Zmiana podstawy logarytmu:
\n

\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}, \\quad \\text{stąd} \\quad \\log_a b = \\frac{1}{\\log_b a}\\]
Użyta przy wykazaniu, że \\(\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = 1\\).

\n
  1. Własność \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\):
\n

\\[\\log_2\\sqrt{27} = \\tfrac{1}{2}\\log_2 27 = \\tfrac{3}{2}\\log_2 3\\]

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(81^{\\log_3 x}\\) łatwo pomylić kolejność: trzeba najpierw zamienić podstawę potęgi \\(81 = 3^4\\), a dopiero potem skorzystać z własności \\(a^{\\log_a b} = b\\). Błąd: próba liczenia \\(\\log_3 x\\) z osobna i podstawiania liczby.
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\log_2\\sqrt{27} \\neq \\frac{1}{2}\\log_2 3\\). Poprawnie: \\(\\sqrt{27} = 27^{1/2} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}\\), więc \\(\\log_2\\sqrt{27} = \\frac{3}{2}\\log_2 3\\). Pominięcie trójki to najczęstszy błąd w tym zadaniu!
\n
⚠️ Uwaga: Własność \\(\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = 1\\) wynika ze zmiany podstawy. Można ją zapamiętać ogólnie: \\(\\log_a b \\cdot \\log_b a = 1\\) dla dowolnych poprawnych podstaw. Warto ten wzór mieć w głowie - pojawia się na maturze regularnie.
\n

Poprawna odpowiedź: Wykazujemy, że dane wyrażenie jest równe \\(x^{4} + x^{2} - 6x\\).

\n
Sposób 1
\n

Krok 1. Przekształcamy \\(81^{\\log_{3} x}\\).

\n

Korzystamy z \\(81 = 3^{4}\\) i tożsamości \\(a^{\\log_{a} b} = b\\):
\\[81^{\\log_{3} x} = (3^{4})^{\\log_{3} x} = 3^{4\\log_{3} x} = 3^{\\log_{3} x^{4}} = x^{4}\\]

\n

Krok 2. Przekształcamy współczynnik przy \\(x^{2}\\).

\n

Obliczamy \\(\\log_{2}\\sqrt{27}\\):
\\[\\log_{2}\\sqrt{27} = \\log_{2} 27^{1/2} = \\tfrac{1}{2}\\log_{2} 27 = \\tfrac{1}{2}\\log_{2} 3^{3} = \\tfrac{3}{2}\\log_{2} 3\\]

\n

Wykorzystujemy wzór na zamianę podstawy: \\(\\log_{3} 2 = \\dfrac{1}{\\log_{2} 3}\\).

\n

Zatem:
\\[\\dfrac{2 \\cdot \\log_{2}\\sqrt{27} \\cdot \\log_{3} 2}{3} = \\dfrac{2 \\cdot \\tfrac{3}{2}\\log_{2} 3 \\cdot \\tfrac{1}{\\log_{2} 3}}{3} = \\dfrac{2 \\cdot \\tfrac{3}{2}}{3} = \\dfrac{3}{3} = 1\\]

\n

Krok 3. Składamy wyrażenie.
\\[81^{\\log_{3} x} + \\dfrac{2 \\cdot \\log_{2}\\sqrt{27} \\cdot \\log_{3} 2}{3} \\cdot x^{2} - 6x = x^{4} + 1 \\cdot x^{2} - 6x = x^{4} + x^{2} - 6x\\]

\n

To należało wykazać. \\(\\blacksquare\\)

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Każde wyrażenie typu \\(a^{b \\cdot \\log_{a} x}\\) zwija się do \\(x^{b}\\). Tutaj \\(81^{\\log_{3} x} = 3^{4\\log_{3} x} = x^{4}\\). Drugi trik: \\(\\log_{a} b \\cdot \\log_{b} a = 1\\) - iloczyn wzajemnie odwrotnych logarytmów.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, zbiór $[-6, 5]$ obejmuje wszystkie wartości od $-6$ do $5$, w tym $-6$ i $5$, co jest zgodne z zakresem dziedziny funkcji $f$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Z wykresu odczytujemy, że funkcja jest określona dla wszystkich argumentów od -6 do 5 , wraz z końcami. Zatem

\n

D_f=[-6,5].

"}]}