{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"12.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 w przedziale [-4, 1] jest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 5\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n-6\n\nMMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 12.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nnajwiększe […] wartości funkcji (o ile\nistnieją) w danym przedziale domkniętym\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(-4\\)\n\nNajmniejsza wartość funkcji \\(f\\) wynosi \\(\\mathbf{-4}\\) i jest osiągana dla \\(x = 1\\).\n\n## Sposób 1 - Uproszczenie wzoru + pochodna\n\n### Krok 1: Zweryfikuj wskazówkę - uprość każdy składnik\n\n**Składnik 1:** \\(81^{\\log_3 x}\\)\n\nPonieważ \\(81 = 3^4\\):\n\\[81^{\\log_3 x} = (3^4)^{\\log_3 x} = 3^{4 \\log_3 x} = 3^{\\log_3 x^4} = x^4\\]\n\n**Składnik 2:** Współczynnik przy \\(x^2\\)\n\nOblicz \\(\\log_2 \\sqrt{27}\\):\n\\[\\log_2 \\sqrt{27} = \\log_2 27^{1/2} = \\tfrac{1}{2}\\log_2 3^3 = \\tfrac{3}{2}\\log_2 3\\]\n\nPodstaw do współczynnika:\n\\[\\frac{2 \\cdot \\tfrac{3}{2}\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\cdot \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2\\]\n\nWzór na zmianę podstawy: \\(\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = \\dfrac{\\log 3}{\\log 2} \\cdot \\dfrac{\\log 2}{\\log 3} = 1\\)\n\n**Wniosek:** Współczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(1\\), zatem:\n\\[\\boxed{f(x) = x^4 + x^2 - 6x}\\]\n\n### Krok 2: Wyznacz minimum - metoda pochodnej\n\nPochodna:\n\\[f'(x) = 4x^3 + 2x - 6\\]\n\nPrzyrównaj do zera:\n\\[4x^3 + 2x - 6 = 0 \\implies 2x^3 + x - 3 = 0\\]\n\nSprawdź \\(x = 1\\): \\(2(1)^3 + 1 - 3 = 0\\) ✓\n\nWyłącz czynnik \\((x-1)\\):\n\\[2x^3 + x - 3 = (x - 1)(2x^2 + 2x + 3)\\]\n\nCzynnik \\(2x^2 + 2x + 3\\) ma \\(\\Delta = 4 - 24 = -20 < 0\\), więc **nie ma pierwiastków rzeczywistych**.\n\nDla \\(x > 0\\) mamy \\(2x^2 + 2x + 3 > 0\\), zatem jedyne miejsce zerowe \\(f'(x)\\) dla \\(x > 0\\) to \\(x = 1\\).\n\n### Krok 3: Potwierdź, że to minimum\n\nSprawdź znak \\(f'(x)\\):\n- Dla \\(0 < x < 1\\): np. \\(f'(0{,}5) = 4(0{,}125) + 1 - 6 = 0{,}5 + 1 - 6 = -4{,}5 < 0\\) → funkcja maleje\n- Dla \\(x > 1\\): np. \\(f'(2) = 32 + 4 - 6 = 30 > 0\\) → funkcja rośnie\n\nFunkcja maleje przed \\(x = 1\\) i rośnie po \\(x = 1\\) - to **globalne minimum** na \\((0, +\\infty)\\).\n\n### Krok 4: Oblicz wartość minimalną\n\n\\[f(1) = 1^4 + 1^2 - 6 \\cdot 1 = 1 + 1 - 6 = \\mathbf{-4}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: granice + potwierdzenie globalności\n\nSprawdźmy, że \\(-4\\) to faktycznie minimum globalne (a nie tylko lokalne):\n\n**Zachowanie na brzegach dziedziny \\((0, +\\infty)\\):**\n\nGdy \\(x \\to 0^+\\):\n\\[f(x) = x^4 + x^2 - 6x \\to 0 + 0 - 0 = 0 > -4\\]\n\nGdy \\(x \\to +\\infty\\):\n\\[f(x) \\approx x^4 \\to +\\infty\\]\n\nFunkcja jest ciągła na \\((0, +\\infty)\\), startuje od \\(0\\) (przy \\(x \\to 0^+\\)), dąży do \\(+\\infty\\), a po drodze ma **dokładnie jeden punkt krytyczny** \\(x = 1\\) - musi on być minimum globalnym.\n\n**Alternatywna weryfikacja przez drugą pochodną:**\n\\[f''(x) = 12x^2 + 2, \\quad f''(1) = 14 > 0\\]\n\nWynik: **minimum lokalne (i globalne)** w \\(x = 1\\), wartość \\(-4\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6):**\n\n\\[\\log_a(x^r) = r \\cdot \\log_a x\\]\n\nUżyliśmy do obliczenia \\(\\log_2 \\sqrt{27} = \\tfrac{3}{2}\\log_2 3\\).\n\n\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b} \\implies \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = 1\\]\n\nUżyliśmy do uproszczenia współczynnika (iloczyn logarytmów wzajemnych = 1).\n\n**Dział 2 (Potęgi, s. 4-5):**\n\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}, \\quad a^{\\log_a b} = b\\]\n\nUżyliśmy do uproszczenia \\(81^{\\log_3 x} = (3^4)^{\\log_3 x} = 3^{\\log_3 x^4} = x^4\\).\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33):**\n\n\\[[x^r]' = r \\cdot x^{r-1}\\]\n\nUżyliśmy do obliczenia \\(f'(x) = 4x^3 + 2x - 6\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(3^{\\log_3 x^4} = x^4\\) - to nie jest oczywiste! Korzystamy z definicji logarytmu: \\(a^{\\log_a b} = b\\). Bez tej zamiany cały wzór wygląda strasznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przyrównując \\(2x^3 + x - 3 = 0\\) - nie \"widać\" pierwiastka na pierwszy rzut oka. Zawsze warto sprawdzić \\(x = 1\\) i \\(x = -1\\) (i ewentualnie \\(x = \\tfrac{3}{2}\\)) metodą prób, bo przy \\(x=1\\) równanie ładnie zeruje się.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sama pochodna zeruje się w \\(x=1\\), ale należy **sprawdzić**, czy to minimum (a nie maximum czy punkt przegięcia). Tu \\(f'' (1) = 14 > 0\\) - minimum. Gdybyś pominął ten krok, mógłbyś oddać wynik bez uzasadnienia.\n\n**Poprawna odpowiedź:** Najmniejsza wartość funkcji \\(f\\) wynosi \\(-4\\), przyjmowana dla \\(x = 1\\).\n\n### Sposób 1 (pochodna)\n\n**Krok 1. Wyznaczamy pochodną.**\n\nDla \\(f(x) = x^{4} + x^{2} - 6x\\), \\(x > 0\\):\n\\[f'(x) = 4x^{3} + 2x - 6\\]\n\n**Krok 2. Szukamy miejsc zerowych pochodnej.**\n\\[4x^{3} + 2x - 6 = 0\\]\n\nZauważamy, że \\(x = 1\\) jest pierwiastkiem: \\(4 + 2 - 6 = 0\\). Dzielimy:\n\\[4x^{3} + 2x - 6 = (x - 1)(4x^{2} + 4x + 6)\\]\n\nSprawdzamy drugi czynnik: \\(\\Delta = 16 - 96 < 0\\), więc \\(4x^{2} + 4x + 6 > 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Jedyne miejsce zerowe to \\(x = 1\\).\n\n**Krok 3. Badamy znak pochodnej.**\n\\[f'(x) = (x-1) \\underbrace{(4x^{2} + 4x + 6)}_{> 0}\\]\n\n- dla \\(x \\in (0, 1)\\): \\(f'(x) < 0\\) - \\(f\\) malejąca\n- dla \\(x \\in (1, +\\infty)\\): \\(f'(x) > 0\\) - \\(f\\) rosnąca\n\nZatem \\(f\\) ma minimum lokalne (i globalne na \\((0, +\\infty)\\)) dla \\(x = 1\\).\n\n**Krok 4. Obliczamy najmniejszą wartość.**\n\\[f(1) = 1^{4} + 1^{2} - 6 \\cdot 1 = 1 + 1 - 6 = -4\\]\n\n### Uwagi o punktacji\n\n- \\(4\\) pkt - uzasadnienie, że \\(f\\) osiąga wartość najmniejszą dla \\(x = 1\\), i obliczenie \\(f(1) = -4\\).\n- \\(3\\) pkt - uzasadnienie (np. przez monotoniczność), że \\(f\\) osiąga wartość najmniejszą dla \\(x = 1\\).\n- \\(2\\) pkt - poprawne rozwiązanie \\(4x^{3} + 2x - 6 = 0\\): \\(x = 1\\).\n- \\(1\\) pkt - wyznaczenie pochodnej \\(f'(x) = 4x^{3} + 2x - 6\\).\n- Błąd przy wyznaczaniu pochodnej (pochodna nie jest wielomianem stopnia trzeciego) - \\(0\\) pkt.\n\n**Trik:** Dla wielomianu \\(f\\) na przedziale otwartym: (1) pochodna, (2) miejsca zerowe, (3) znak pochodnej lub analiza drugiej pochodnej. Gdy pochodna ma jeden pierwiastek i zmienia znak z \"\\(-\\)\" na \"\\(+\\)\" - mamy globalne minimum.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-12.2.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12.2. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Największa wartość funkcji 𝑓 w przedziale [-4, 1] jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 5
1
2
3
4
𝑦
5
-1
-2
-3
1 2 3 4
-1
-2
5
0
𝑥
-5 -4 -3
-6

\n

MMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 12.2. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie
\n

informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
V.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]
największe […] wartości funkcji (o ile
istnieją) w danym przedziale domkniętym
[…].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
C
B
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(-4\\)

\n

Najmniejsza wartość funkcji \\(f\\) wynosi \\(\\mathbf{-4}\\) i jest osiągana dla \\(x = 1\\).

\n

Sposób 1 - Uproszczenie wzoru + pochodna

\n
Krok 1: Zweryfikuj wskazówkę - uprość każdy składnik
\n

Składnik 1: \\(81^{\\log_3 x}\\)

\n

Ponieważ \\(81 = 3^4\\):
\\[81^{\\log_3 x} = (3^4)^{\\log_3 x} = 3^{4 \\log_3 x} = 3^{\\log_3 x^4} = x^4\\]

\n

Składnik 2: Współczynnik przy \\(x^2\\)

\n

Oblicz \\(\\log_2 \\sqrt{27}\\):
\\[\\log_2 \\sqrt{27} = \\log_2 27^{1/2} = \\tfrac{1}{2}\\log_2 3^3 = \\tfrac{3}{2}\\log_2 3\\]

\n

Podstaw do współczynnika:
\\[\\frac{2 \\cdot \\tfrac{3}{2}\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\cdot \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2\\]

\n

Wzór na zmianę podstawy: \\(\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = \\dfrac{\\log 3}{\\log 2} \\cdot \\dfrac{\\log 2}{\\log 3} = 1\\)

\n

Wniosek: Współczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(1\\), zatem:
\\[\\boxed{f(x) = x^4 + x^2 - 6x}\\]

\n
Krok 2: Wyznacz minimum - metoda pochodnej
\n

Pochodna:
\\[f'(x) = 4x^3 + 2x - 6\\]

\n

Przyrównaj do zera:
\\[4x^3 + 2x - 6 = 0 \\implies 2x^3 + x - 3 = 0\\]

\n

Sprawdź \\(x = 1\\): \\(2(1)^3 + 1 - 3 = 0\\) ✓

\n

Wyłącz czynnik \\((x-1)\\):
\\[2x^3 + x - 3 = (x - 1)(2x^2 + 2x + 3)\\]

\n

Czynnik \\(2x^2 + 2x + 3\\) ma \\(\\Delta = 4 - 24 = -20 < 0\\), więc nie ma pierwiastków rzeczywistych.

\n

Dla \\(x > 0\\) mamy \\(2x^2 + 2x + 3 > 0\\), zatem jedyne miejsce zerowe \\(f'(x)\\) dla \\(x > 0\\) to \\(x = 1\\).

\n
Krok 3: Potwierdź, że to minimum
\n

Sprawdź znak \\(f'(x)\\):

\n\n

Funkcja maleje przed \\(x = 1\\) i rośnie po \\(x = 1\\) - to globalne minimum na \\((0, +\\infty)\\).

\n
Krok 4: Oblicz wartość minimalną
\n

\\[f(1) = 1^4 + 1^2 - 6 \\cdot 1 = 1 + 1 - 6 = \\mathbf{-4}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja: granice + potwierdzenie globalności

\n

Sprawdźmy, że \\(-4\\) to faktycznie minimum globalne (a nie tylko lokalne):

\n

Zachowanie na brzegach dziedziny \\((0, +\\infty)\\):

\n

Gdy \\(x \\to 0^+\\):
\\[f(x) = x^4 + x^2 - 6x \\to 0 + 0 - 0 = 0 > -4\\]

\n

Gdy \\(x \\to +\\infty\\):
\\[f(x) \\approx x^4 \\to +\\infty\\]

\n

Funkcja jest ciągła na \\((0, +\\infty)\\), startuje od \\(0\\) (przy \\(x \\to 0^+\\)), dąży do \\(+\\infty\\), a po drodze ma dokładnie jeden punkt krytyczny \\(x = 1\\) - musi on być minimum globalnym.

\n

Alternatywna weryfikacja przez drugą pochodną:
\\[f''(x) = 12x^2 + 2, \\quad f''(1) = 14 > 0\\]

\n

Wynik: minimum lokalne (i globalne) w \\(x = 1\\), wartość \\(-4\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6):

\n

\\[\\log_a(x^r) = r \\cdot \\log_a x\\]

\n

Użyliśmy do obliczenia \\(\\log_2 \\sqrt{27} = \\tfrac{3}{2}\\log_2 3\\).

\n

\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b} \\implies \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = 1\\]

\n

Użyliśmy do uproszczenia współczynnika (iloczyn logarytmów wzajemnych = 1).

\n

Dział 2 (Potęgi, s. 4-5):

\n

\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}, \\quad a^{\\log_a b} = b\\]

\n

Użyliśmy do uproszczenia \\(81^{\\log_3 x} = (3^4)^{\\log_3 x} = 3^{\\log_3 x^4} = x^4\\).

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33):

\n

\\[[x^r]' = r \\cdot x^{r-1}\\]

\n

Użyliśmy do obliczenia \\(f'(x) = 4x^3 + 2x - 6\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(3^{\\log_3 x^4} = x^4\\) - to nie jest oczywiste! Korzystamy z definicji logarytmu: \\(a^{\\log_a b} = b\\). Bez tej zamiany cały wzór wygląda strasznie.
\n
⚠️ Uwaga: Przyrównując \\(2x^3 + x - 3 = 0\\) - nie "widać" pierwiastka na pierwszy rzut oka. Zawsze warto sprawdzić \\(x = 1\\) i \\(x = -1\\) (i ewentualnie \\(x = \\tfrac{3}{2}\\)) metodą prób, bo przy \\(x=1\\) równanie ładnie zeruje się.
\n
⚠️ Uwaga: Sama pochodna zeruje się w \\(x=1\\), ale należy sprawdzić, czy to minimum (a nie maximum czy punkt przegięcia). Tu \\(f'' (1) = 14 > 0\\) - minimum. Gdybyś pominął ten krok, mógłbyś oddać wynik bez uzasadnienia.
\n

Poprawna odpowiedź: Najmniejsza wartość funkcji \\(f\\) wynosi \\(-4\\), przyjmowana dla \\(x = 1\\).

\n
Sposób 1 (pochodna)
\n

Krok 1. Wyznaczamy pochodną.

\n

Dla \\(f(x) = x^{4} + x^{2} - 6x\\), \\(x > 0\\):
\\[f'(x) = 4x^{3} + 2x - 6\\]

\n

Krok 2. Szukamy miejsc zerowych pochodnej.
\\[4x^{3} + 2x - 6 = 0\\]

\n

Zauważamy, że \\(x = 1\\) jest pierwiastkiem: \\(4 + 2 - 6 = 0\\). Dzielimy:
\\[4x^{3} + 2x - 6 = (x - 1)(4x^{2} + 4x + 6)\\]

\n

Sprawdzamy drugi czynnik: \\(\\Delta = 16 - 96 < 0\\), więc \\(4x^{2} + 4x + 6 > 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Jedyne miejsce zerowe to \\(x = 1\\).

\n

Krok 3. Badamy znak pochodnej.
\\[f'(x) = (x-1) \\underbrace{(4x^{2} + 4x + 6)}_{> 0}\\]

\n\n

Zatem \\(f\\) ma minimum lokalne (i globalne na \\((0, +\\infty)\\)) dla \\(x = 1\\).

\n

Krok 4. Obliczamy najmniejszą wartość.
\\[f(1) = 1^{4} + 1^{2} - 6 \\cdot 1 = 1 + 1 - 6 = -4\\]

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Dla wielomianu \\(f\\) na przedziale otwartym: (1) pochodna, (2) miejsca zerowe, (3) znak pochodnej lub analiza drugiej pochodnej. Gdy pochodna ma jeden pierwiastek i zmienia znak z "\\(-\\)" na "\\(+\\)" - mamy globalne minimum.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, najwyższa wartość funkcji $f$ w przedziale $[-4, 1]$ wynosi $2$, co można ustalić korzystając z podanego wykresu.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Rozpatrujemy wartości funkcji dla

\n

x∈[-4,1].

\n

Najwyższy punkt wykresu w tym przedziale znajduje się dla argumentów

\n

x∈[-4,-3),

\n

a wartość funkcji jest tam równa

\n

2.

\n

Największa wartość funkcji w przedziale [-4,1] jest więc równa 2 .

"}]}