{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/12.3","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"12.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑓 jest malejąca w zbiorze\nA. [-6, -3)\nB. [-3, 1]\nC. (1, 2]\nD. [2, 5]\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Funkcja f jest malejąca w zbiorze A. <-6,-3) B. <-3,1> C. (1,2> D. <2,5>","answer":"D","answer_text":"Zadanie 12.3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nprzedziały monotoniczności […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nFunkcja \\(f\\) jest malejąca w zbiorze \\(\\langle 2, 5\\rangle\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: gdzie wykres „idzie w dół\"\n\n**Definicja:** Funkcja jest **malejąca** na przedziale, jeśli gdy \\(x\\) rośnie (przesuwamy się w prawo), wartości \\(f(x)\\) maleją (wykres opada).\n\nAnalizujemy wykres odcinek po odcinku, sprawdzając kierunek przebiegu:\n\n| Przedział | Zachowanie wykresu | Wniosek |\n| \\(\\langle -6, -3)\\) | wykres rośnie (idzie ku górze) | rosnąca ✗ |\n| \\(\\langle -3, 1\\rangle\\) | wykres przebiega poziomo lub rośnie | niemalejąca ✗ |\n| \\((1, 2\\rangle\\) | wykres rośnie stromo | rosnąca ✗ |\n| \\(\\langle 2, 5\\rangle\\) | wykres opada (idzie ku dołowi) | **malejąca ✓** |\n\n**Wniosek:** Jedyny przedział, na którym wykres konsekwentnie opada, to \\(\\langle 2, 5\\rangle\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez porównanie wartości\n\nFunkcja jest malejąca na przedziale \\(\\langle a, b \\rangle\\), gdy dla każdych \\(x_1, x_2 \\in \\langle a, b \\rangle\\) zachodzi:\n\\[x_1 < x_2 \\implies f(x_1) > f(x_2)\\]\n\nSprawdzamy dla odpowiedzi D na podstawie wykresu:\n- W \\(x = 2\\) funkcja osiąga **lokalne maksimum** (najwyższy punkt na tym fragmencie)\n- W \\(x = 5\\) funkcja osiąga niższą wartość niż w \\(x = 2\\)\n- Każdy punkt wykresu pomiędzy \\(x = 2\\) a \\(x = 5\\) leży niżej od poprzedniego\n\nZatem: \\(x_1 < x_2\\) i oba w \\(\\langle 2, 5\\rangle\\) \\(\\implies\\) \\(f(x_1) > f(x_2)\\). **Warunek spełniony.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji malejącej oraz odczyt z wykresu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do złego wyboru |\n| A | Na przedziale \\(\\langle -6, -3)\\) wykres **rośnie** - uczeń myli kierunek lub patrzy na ujemne wartości \\(y\\) i błędnie interpretuje je jako „malenie\" |\n| B | Na \\(\\langle -3, 1\\rangle\\) wykres jest **stały lub rosnący** - uczeń może mylić funkcję stałą z malejącą |\n| C | Na \\((1, 2\\rangle\\) wykres **rośnie stromo** aż do lokalnego maksimum w \\(x = 2\\) - uczeń myli punkt, od którego funkcja zaczyna maleć |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja malejąca to taka, gdzie wykres **opada** przy ruchu w prawo. Wiele osób myli to z ujemnymi wartościami funkcji - wartości mogą być ujemne, a funkcja nadal rosnąca!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zwróć uwagę na nawiasy w odpowiedziach - \\(\\langle 2, 5\\rangle\\) to przedział **domknięty** (z obu stron). Zwykle funkcja może być malejąca razem z końcami przedziału, chyba że w punkcie końcowym zachowanie jest inne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(x = 2\\) to **wierzchołek** (lokalne maksimum). Od tego miejsca wykres zaczyna opadać - to sygnał, że właśnie tu zaczyna się przedział malejący.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza monotoniczności\n- \\(\\langle -6, -3)\\): \\(f\\) stała (\\(y=2\\)) - nie malejąca.\n- \\(\\langle -3, 1\\rangle\\): \\(f\\) rosnąca (od \\(-3\\) do \\(1\\)).\n- \\((1, 2\\rangle\\): \\(f\\) stała (\\(y=5\\)).\n- \\(\\langle 2, 5\\rangle\\): \\(f\\) **malejąca** (od \\(5\\) do \\(3\\)) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(f\\) stała - funkcja stała nie jest malejąca.\n- **B.** \\(f\\) rosnąca.\n- **C.** \\(f\\) stała.\n\n**Definicja:** funkcja jest malejąca, gdy dla \\(x_1 < x_2\\) zachodzi \\(f(x_1) > f(x_2)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Analiza definicji funkcji malejącej\n\nFunkcja \\(f(x)\\) jest malejąca w zbiorze, jeśli dla każdego \\(x_1 < x_2\\) zachodzi \\(f(x_1) > f(x_2)\\). Innymi słowy, wartości funkcji rosną, gdy x rośnie. Zatem, jeśli \\(x_1 < x_2\\), to \\(f(x_1)\\) musi być większe niż \\(f(x_2)\\).\n\nRozważmy przedziały podane w odpowiedziach:\n\n* A. \\([-6, -3)\\): W tym przedziale, jeśli \\(x_1 < x_2\\), to \\(f(x_1)\\) może być mniejsze lub równe \\(f(x_2)\\), co narusza warunek malejącej funkcji.\n* B. \\([-3, 1]\\): Podobnie jak w przypadku A, nie spełnia warunku malejącej funkcji.\n* C. \\((1, 2]\\): Podobnie jak w przypadku A i B, nie spełnia warunku malejącej funkcji.\n* D. \\([2, 5]\\): Podobnie jak w przypadku A, B i C, nie spełnia warunku malejącej funkcji.\n\nW związku z tym, tylko przedział \\([-6, -3)\\) może być prawidłowy, ponieważ w tym przedziale funkcja jest malejąca.\n\n📖 Karta wzorów: \\[(1, 2]\\], strona 3\n\n### Sposób 2: Interpretacja wykresu funkcji\n\nZ wykresu funkcji \\(y = f(x)\\) widać, że funkcja jest malejąca w przedziale \\([-6, -3]\\). W tym przedziale, gdy \\(x\\) rośnie, \\(y\\) maleje. Zatem, funkcja spełnia warunek malejącej funkcji w tym przedziale.\n\n📖 Karta wzorów: \\[(1, 2]\\], strona 3\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. \\([-3, 1]\\)**: Na wykresie widać, że funkcja w tym przedziale rośnie, a nie maleje.\n* **C. \\((1, 2]\\)**: Na wykresie widać, że funkcja w tym przedziale rośnie, a nie maleje.\n* **D. \\([2, 5]\\)**: Na wykresie widać, że funkcja w tym przedziale rośnie, a nie maleje.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-12.3.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-12.3.svg","topics":"Funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12.3. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Funkcja 𝑓 jest malejąca w zbiorze<br>A. [-6, -3)<br>B. [-3, 1]<br>C. (1, 2]<br>D. [2, 5]<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Funkcja f jest malejąca w zbiorze A. &lt;-6,-3) B. &lt;-3,1&gt; C. (1,2&gt; D. &lt;2,5&gt;</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12.3. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>Zdający:<br>V.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]<br>przedziały monotoniczności […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>D<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-12.3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Funkcja \\(f\\) jest malejąca w zbiorze \\(\\langle 2, 5\\rangle\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt z wykresu: gdzie wykres „idzie w dół&quot;</h4>\n<p><strong>Definicja:</strong> Funkcja jest <strong>malejąca</strong> na przedziale, jeśli gdy \\(x\\) rośnie (przesuwamy się w prawo), wartości \\(f(x)\\) maleją (wykres opada).</p>\n<p>Analizujemy wykres odcinek po odcinku, sprawdzając kierunek przebiegu:</p>\n<p>| Przedział | Zachowanie wykresu | Wniosek |<br>| \\(\\langle -6, -3)\\) | wykres rośnie (idzie ku górze) | rosnąca ✗ |<br>| \\(\\langle -3, 1\\rangle\\) | wykres przebiega poziomo lub rośnie | niemalejąca ✗ |<br>| \\((1, 2\\rangle\\) | wykres rośnie stromo | rosnąca ✗ |<br>| \\(\\langle 2, 5\\rangle\\) | wykres opada (idzie ku dołowi) | <strong>malejąca ✓</strong> |</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> Jedyny przedział, na którym wykres konsekwentnie opada, to \\(\\langle 2, 5\\rangle\\).</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez porównanie wartości</h4>\n<p>Funkcja jest malejąca na przedziale \\(\\langle a, b \\rangle\\), gdy dla każdych \\(x_1, x_2 \\in \\langle a, b \\rangle\\) zachodzi:<br>\\[x_1 &lt; x_2 \\implies f(x_1) &gt; f(x_2)\\]</p>\n<p>Sprawdzamy dla odpowiedzi D na podstawie wykresu:</p>\n<ul><li>W \\(x = 2\\) funkcja osiąga <strong>lokalne maksimum</strong> (najwyższy punkt na tym fragmencie)</li><li>W \\(x = 5\\) funkcja osiąga niższą wartość niż w \\(x = 2\\)</li><li>Każdy punkt wykresu pomiędzy \\(x = 2\\) a \\(x = 5\\) leży niżej od poprzedniego</li></ul>\n<p>Zatem: \\(x_1 &lt; x_2\\) i oba w \\(\\langle 2, 5\\rangle\\) \\(\\implies\\) \\(f(x_1) &gt; f(x_2)\\). <strong>Warunek spełniony.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji malejącej oraz odczyt z wykresu.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do złego wyboru |<br>| A | Na przedziale \\(\\langle -6, -3)\\) wykres <strong>rośnie</strong> - uczeń myli kierunek lub patrzy na ujemne wartości \\(y\\) i błędnie interpretuje je jako „malenie&quot; |<br>| B | Na \\(\\langle -3, 1\\rangle\\) wykres jest <strong>stały lub rosnący</strong> - uczeń może mylić funkcję stałą z malejącą |<br>| C | Na \\((1, 2\\rangle\\) wykres <strong>rośnie stromo</strong> aż do lokalnego maksimum w \\(x = 2\\) - uczeń myli punkt, od którego funkcja zaczyna maleć |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Funkcja malejąca to taka, gdzie wykres <strong>opada</strong> przy ruchu w prawo. Wiele osób myli to z ujemnymi wartościami funkcji - wartości mogą być ujemne, a funkcja nadal rosnąca!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zwróć uwagę na nawiasy w odpowiedziach - \\(\\langle 2, 5\\rangle\\) to przedział <strong>domknięty</strong> (z obu stron). Zwykle funkcja może być malejąca razem z końcami przedziału, chyba że w punkcie końcowym zachowanie jest inne.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt \\(x = 2\\) to <strong>wierzchołek</strong> (lokalne maksimum). Od tego miejsca wykres zaczyna opadać - to sygnał, że właśnie tu zaczyna się przedział malejący.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Analiza monotoniczności</h5>\n<ul><li>\\(\\langle -6, -3)\\): \\(f\\) stała (\\(y=2\\)) - nie malejąca.</li><li>\\(\\langle -3, 1\\rangle\\): \\(f\\) rosnąca (od \\(-3\\) do \\(1\\)).</li><li>\\((1, 2\\rangle\\): \\(f\\) stała (\\(y=5\\)).</li><li>\\(\\langle 2, 5\\rangle\\): \\(f\\) <strong>malejąca</strong> (od \\(5\\) do \\(3\\)) ✓.</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> \\(f\\) stała - funkcja stała nie jest malejąca.</li><li><strong>B.</strong> \\(f\\) rosnąca.</li><li><strong>C.</strong> \\(f\\) stała.</li></ul>\n<p><strong>Definicja:</strong> funkcja jest malejąca, gdy dla \\(x_1 &lt; x_2\\) zachodzi \\(f(x_1) &gt; f(x_2)\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza definicji funkcji malejącej</h5>\n<p>Funkcja \\(f(x)\\) jest malejąca w zbiorze, jeśli dla każdego \\(x_1 &lt; x_2\\) zachodzi \\(f(x_1) &gt; f(x_2)\\). Innymi słowy, wartości funkcji rosną, gdy x rośnie. Zatem, jeśli \\(x_1 &lt; x_2\\), to \\(f(x_1)\\) musi być większe niż \\(f(x_2)\\).</p>\n<p>Rozważmy przedziały podane w odpowiedziach:</p>\n<ul><li>A. \\([-6, -3)\\): W tym przedziale, jeśli \\(x_1 &lt; x_2\\), to \\(f(x_1)\\) może być mniejsze lub równe \\(f(x_2)\\), co narusza warunek malejącej funkcji.</li><li>B. \\([-3, 1]\\): Podobnie jak w przypadku A, nie spełnia warunku malejącej funkcji.</li><li>C. \\((1, 2]\\): Podobnie jak w przypadku A i B, nie spełnia warunku malejącej funkcji.</li><li>D. \\([2, 5]\\): Podobnie jak w przypadku A, B i C, nie spełnia warunku malejącej funkcji.</li></ul>\n<p>W związku z tym, tylko przedział \\([-6, -3)\\) może być prawidłowy, ponieważ w tym przedziale funkcja jest malejąca.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: \\[(1, 2]\\], strona 3</p>\n<h5>Sposób 2: Interpretacja wykresu funkcji</h5>\n<p>Z wykresu funkcji \\(y = f(x)\\) widać, że funkcja jest malejąca w przedziale \\([-6, -3]\\). W tym przedziale, gdy \\(x\\) rośnie, \\(y\\) maleje. Zatem, funkcja spełnia warunek malejącej funkcji w tym przedziale.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: \\[(1, 2]\\], strona 3</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B. \\([-3, 1]\\)</strong>: Na wykresie widać, że funkcja w tym przedziale rośnie, a nie maleje.</li><li><strong>C. \\((1, 2]\\)</strong>: Na wykresie widać, że funkcja w tym przedziale rośnie, a nie maleje.</li><li><strong>D. \\([2, 5]\\)</strong>: Na wykresie widać, że funkcja w tym przedziale rośnie, a nie maleje.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, funkcja jest malejąca w zbiorze $[2, 5]$, ponieważ wraz ze wzrostem argumentów maleją jej wartości.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Na odcinku od x=2 do x=5 wykres opada wraz ze wzrostem argumentu. Funkcja jest tam malejąca.</p>"}]}