{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są pewnymi\nliczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok\nprzedstawiono fragment wykresu funkcji 𝑓\nw kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑎 oraz liczba 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 spełniają warunki:\nA. 𝑎> 0 i 𝑏> 0.\nB. 𝑎> 0 i 𝑏< 0.\nC. 𝑎< 0 i 𝑏> 0.\nD. 𝑎< 0 i 𝑏< 0.\n𝑦\n𝑥\n0\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n1\n1\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji f w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y). [rysunek] Liczba a oraz liczba b we wzorze funkcji f spełniają warunki: A. a>0 i b>0. B. a>0 i b<0. C. a<0 i b>0. D. a<0 i b<0.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.5) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nD","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz największą wartość funkcji $f$ na przedziale $\\langle -4, 1 \\rangle$.\n\nWytnij interesujący nas przedział z wykresu. Patrzymy tylko na $x \\in \\langle -4, 1 \\rangle$.\n\nW tym zakresie mamy:\n- $x \\in \\langle -4, -3 \\rangle$: na lewej poziomej części, $f(x) = 2$\n- $x \\in \\langle -1, 1 \\rangle$: na skośnej części, $f(x)$ rośnie od $-3$ do $1$\n\nZnajdź największą wartość $y$:\n\n- Lewa pozioma: $f = 2$ (stała)\n- Skośna: max $f(1) = 1$\n\nNajwiększe $f = 2$.\n\nWniosek: max $f$ w $\\langle -4, 1 \\rangle$ wynosi $2$.\n\nPo co to umieć\n\nZnaleźć największą wartość funkcji na przedziale = znaleźć najwyższy punkt wykresu dla danego zakresu $x$. Zawsze: (1) wybierz przedział na osi $x$, (2) zobacz wszystkie wartości $y$ dla tego $x$, (3) wybierz największe $y$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie wartości na osi $y$ z wartością na osi $x$. Najwyższy punkt wykresu nad osią $x = -4$ do $x = 1$ ma $y = 2$ (lewa pozioma część), nie $y = 5$ (która jest poza tym przedziałem $x$).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"funkcja, największa wartość, czytanie wykresu, Funkcja liniowa, funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem<br>𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są pewnymi<br>liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok<br>przedstawiono fragment wykresu funkcji 𝑓<br>w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba 𝑎 oraz liczba 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 spełniają warunki:<br>A. 𝑎&gt; 0 i 𝑏&gt; 0.<br>B. 𝑎&gt; 0 i 𝑏&lt; 0.<br>C. 𝑎&lt; 0 i 𝑏&gt; 0.<br>D. 𝑎&lt; 0 i 𝑏&lt; 0.<br>𝑦<br>𝑥<br>0<br>𝑦= 𝑓(𝑥)<br>1<br>1</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji f w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y). [rysunek] Liczba a oraz liczba b we wzorze funkcji f spełniają warunki: A. a&gt;0 i b&gt;0. B. a&gt;0 i b&lt;0. C. a&lt;0 i b&gt;0. D. a&lt;0 i b&lt;0.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>V.5) interpretuje współczynniki występujące<br>we wzorze funkcji liniowej.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: C</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Wyznacz największą wartość funkcji $f$ na przedziale $\\langle -4, 1 \\rangle$.</p>\n<p>Wytnij interesujący nas przedział z wykresu. Patrzymy tylko na $x \\in \\langle -4, 1 \\rangle$.</p>\n<p>W tym zakresie mamy:</p>\n<ul><li>$x \\in \\langle -4, -3 \\rangle$: na lewej poziomej części, $f(x) = 2$</li><li>$x \\in \\langle -1, 1 \\rangle$: na skośnej części, $f(x)$ rośnie od $-3$ do $1$</li></ul>\n<p>Znajdź największą wartość $y$:</p>\n<ul><li>Lewa pozioma: $f = 2$ (stała)</li><li>Skośna: max $f(1) = 1$</li></ul>\n<p>Największe $f = 2$.</p>\n<p>Wniosek: max $f$ w $\\langle -4, 1 \\rangle$ wynosi $2$.</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Znaleźć największą wartość funkcji na przedziale = znaleźć najwyższy punkt wykresu dla danego zakresu $x$. Zawsze: (1) wybierz przedział na osi $x$, (2) zobacz wszystkie wartości $y$ dla tego $x$, (3) wybierz największe $y$.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie wartości na osi $y$ z wartością na osi $x$. Najwyższy punkt wykresu nad osią $x = -4$ do $x = 1$ ma $y = 2$ (lewa pozioma część), nie $y = 5$ (która jest poza tym przedziałem $x$).</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(C = \\left(\\dfrac{11}{10},\\ -\\dfrac{3}{10}\\right)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Prosta przez A pod kątem α do AB, przecięcie z okręgiem</h4>\n<h5>Krok 1. Znajdź punkty A i B</h5>\n<p>Podstawiamy równanie prostej \\(l\\): \\(y = x - 2\\) do równania paraboli:<br>\\[x - 2 = 4x^2 - 7x + 1\\]<br>\\[4x^2 - 8x + 3 = 0\\]<br>\\[\\Delta = 64 - 48 = 16 \\implies x = \\frac{8 \\pm 4}{8}\\]</p>\n<p>\\[x_A = \\frac{1}{2},\\quad y_A = \\frac{1}{2} - 2 = -\\frac{3}{2} \\qquad\\Rightarrow\\qquad A = \\left(\\frac{1}{2},\\ -\\frac{3}{2}\\right)\\]<br>\\[x_B = \\frac{3}{2},\\quad y_B = \\frac{3}{2} - 2 = -\\frac{1}{2} \\qquad\\Rightarrow\\qquad B = \\left(\\frac{3}{2},\\ -\\frac{1}{2}\\right)\\]</p>\n<h5>Krok 2. Środek i promień okręgu</h5>\n<p>Środek \\(S\\) = środek odcinka \\(AB\\):<br>\\[S = \\left(\\frac{\\frac{1}{2}+\\frac{3}{2}}{2},\\ \\frac{-\\frac{3}{2}+(-\\frac{1}{2})}{2}\\right) = (1,\\ -1)\\]</p>\n<p>Promień:<br>\\[|AB| = \\sqrt{1^2 + 1^2} = \\sqrt{2},\\qquad r = \\frac{\\sqrt{2}}{2},\\qquad r^2 = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Równanie okręgu:<br>\\[(x-1)^2 + (y+1)^2 = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<h5>Krok 3. Wyznacz kierunek prostej AC</h5>\n<p>Wektor \\(\\vec{AB} = (1, 1)\\) ma nachylenie \\(45°\\) do osi \\(OX\\). Punkt \\(C\\) leży <strong>nad prostą</strong> \\(l\\), więc prosta \\(AC\\) jest obrócona <strong>przeciwnie do ruchu wskazówek zegara</strong> o kąt \\(\\alpha\\) względem kierunku \\(AB\\).</p>\n<p>Nachylenie prostej \\(AC\\) (prosta z kątem \\(45° + \\alpha\\) do osi \\(OX\\)):<br>\\[\\operatorname{tg}(45° + \\alpha) = \\frac{\\operatorname{tg}45° + \\operatorname{tg}\\alpha}{1 - \\operatorname{tg}45° \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha} = \\frac{1 + \\frac{1}{3}}{1 - 1 \\cdot \\frac{1}{3}} = \\frac{\\frac{4}{3}}{\\frac{2}{3}} = 2\\]</p>\n<p>Prosta przez \\(A = \\left(\\frac{1}{2}, -\\frac{3}{2}\\right)\\) o nachyleniu \\(2\\):<br>\\[y + \\frac{3}{2} = 2\\left(x - \\frac{1}{2}\\right) \\implies y = 2x - \\frac{5}{2}\\]</p>\n<h5>Krok 4. Wyznacz punkt C (przecięcie prostej AC z okręgiem)</h5>\n<p>Podstawiamy \\(y = 2x - \\frac{5}{2}\\) do równania okręgu:<br>\\[(x-1)^2 + \\left(2x - \\frac{5}{2} + 1\\right)^2 = \\frac{1}{2}\\]<br>\\[(x-1)^2 + \\left(2x - \\frac{3}{2}\\right)^2 = \\frac{1}{2}\\]<br>\\[x^2 - 2x + 1 + 4x^2 - 6x + \\frac{9}{4} = \\frac{1}{2}\\]<br>\\[5x^2 - 8x + \\frac{13}{4} = \\frac{2}{4}\\]<br>\\[20x^2 - 32x + 11 = 0\\]<br>\\[\\Delta = 1024 - 880 = 144 \\implies x = \\frac{32 \\pm 12}{40}\\]</p>\n<p>\\[x_1 = \\frac{1}{2} \\quad \\text{(punkt } A \\text{ - odrzucamy)},\\qquad x_2 = \\frac{11}{10}\\]</p>\n<p>\\[y_C = 2 \\cdot \\frac{11}{10} - \\frac{5}{2} = \\frac{22}{10} - \\frac{25}{10} = -\\frac{3}{10}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{C = \\left(\\frac{11}{10},\\ -\\frac{3}{10}\\right)}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja - C nad prostą l:</strong><br>\\[x_C - y_C - 2 = \\frac{11}{10} + \\frac{3}{10} - 2 = \\frac{14}{10} - \\frac{20}{10} = -\\frac{6}{10} &lt; 0 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja - C na okręgu:</strong><br>\\[\\left(\\frac{11}{10}-1\\right)^2 + \\left(-\\frac{3}{10}+1\\right)^2 = \\left(\\frac{1}{10}\\right)^2 + \\left(\\frac{7}{10}\\right)^2 = \\frac{1+49}{100} = \\frac{50}{100} = \\frac{1}{2} \\checkmark\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór na tangens kąta między dwiema prostymi</h4>\n<p>Kąt przy wierzchołku \\(A\\) to kąt między prostą \\(l\\) (nachylenie \\(a_1 = 1\\)) a prostą \\(AC\\) (szukane nachylenie \\(m\\)).</p>\n<p>Wzór na tangens kąta między prostymi:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\left|\\frac{m - a_1}{1 + m \\cdot a_1}\\right| = \\left|\\frac{m - 1}{1 + m}\\right| = \\frac{1}{3}\\]</p>\n<p>Mamy dwa przypadki:</p>\n<p><strong>Przypadek 1</strong> (C nad linią \\(l\\), obrót przeciwnie do wskazówek zegara):<br>\\[\\frac{m-1}{1+m} = \\frac{1}{3} \\implies 3m - 3 = 1 + m \\implies m = 2\\]</p>\n<p><strong>Przypadek 2</strong> (C pod linią \\(l\\) - odrzucamy wg treści):<br>\\[\\frac{m-1}{1+m} = -\\frac{1}{3} \\implies 3m - 3 = -1 - m \\implies m = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Dla \\(m = 2\\) prosta \\(AC\\) to \\(y = 2x - \\frac{5}{2}\\), a dalej - identycznie jak w Sposobie 1.</p>\n<p>\\[\\boxed{C = \\left(\\frac{11}{10},\\ -\\frac{3}{10}\\right)}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie okręgu o środku \\((a,b)\\) i promieniu \\(r\\):<br>\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]<br>Użyliśmy tego do zapisania równania okręgu \\(\\mathcal{O}\\) ze środkiem \\(S = (1,-1)\\) i promieniu \\(r^2 = \\frac{1}{2}\\).</p>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)</strong> - długość odcinka:<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]<br>Użyliśmy do obliczenia długości \\(|AB| = \\sqrt{2}\\) i promienia okręgu.</p>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - miejsca zerowe trójmianu:<br>\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a},\\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]<br>Użyliśmy w kroku 1 (wyznaczenie A, B) oraz w kroku 4 (wyznaczenie C).</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 13)</strong> - tangens sumy kątów:<br>\\[\\operatorname{tg}(\\alpha + \\beta) = \\frac{\\operatorname{tg}\\alpha + \\operatorname{tg}\\beta}{1 - \\operatorname{tg}\\alpha \\cdot \\operatorname{tg}\\beta}\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia nachylenia prostej \\(AC\\) jako \\(\\operatorname{tg}(45°+\\alpha) = 2\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po wyznaczeniu dwóch punktów przecięcia prostej \\(AC\\) z okręgiem, jeden z nich to zawsze punkt \\(A\\) - trzeba go odrzucić i wziąć drugi.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Są dwa możliwe kierunki obrotu kąta \\(\\alpha\\) od kierunku \\(AB\\) - jeden daje punkt nad prostą \\(l\\), drugi pod. Zawsze sprawdź warunek \\(x - y - 2 &lt; 0\\) dla punktu C.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(AB\\) jest <strong>średnicą</strong> okręgu, więc każdy kąt wpisany oparty na tej cięciwie wynosi \\(90°\\) (twierdzenie Talesa). Gdyby treść pytała o \\(\\angle ACB\\), odpowiedź to natychmiast \\(90°\\) - bez liczenia!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(C = \\left(\\dfrac{11}{10}, -\\dfrac{3}{10}\\right)\\).</p>\n<h5>Sposób 1 (przez proste \\(AC\\) i \\(BC\\))</h5>\n<p><strong>Krok 1. Obliczamy punkty przecięcia \\(A\\) i \\(B\\).</strong></p>\n<p>Układ \\(\\begin{cases} y = 4x^{2} - 7x + 1 \\\\ x - y - 2 = 0 \\end{cases}\\):<br>\\[x - (4x^{2} - 7x + 1) - 2 = 0 \\implies -4x^{2} + 8x - 3 = 0 \\implies 4x^{2} - 8x + 3 = 0\\]<br>\\[(2x - 1)(2x - 3) = 0 \\implies x = \\tfrac{1}{2} \\text{ lub } x = \\tfrac{3}{2}\\]</p>\n<p>Stąd \\(A = \\left(\\tfrac{1}{2}, -\\tfrac{3}{2}\\right)\\), \\(B = \\left(\\tfrac{3}{2}, -\\tfrac{1}{2}\\right)\\).</p>\n<p><strong>Krok 2. Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \\(AC\\).</strong></p>\n<p>Prosta \\(l\\) ma równanie \\(y = x - 2\\) - współczynnik kierunkowy \\(1 = \\text{tg}\\,45^{\\circ}\\), więc \\(l\\) jest nachylona pod kątem \\(45^{\\circ}\\) do osi \\(Ox\\).</p>\n<p>Kąt między prostą \\(AC\\) a osią \\(Ox\\) jest równy \\(\\alpha + 45^{\\circ}\\). Z tożsamości \\(\\text{tg}(\\alpha + 45^{\\circ}) = \\dfrac{\\tan\\alpha + 1}{1 - \\tan\\alpha}\\):<br>\\[\\text{tg}(\\alpha + 45^{\\circ}) = \\dfrac{\\tfrac{1}{3} + 1}{1 - \\tfrac{1}{3}} = \\dfrac{\\tfrac{4}{3}}{\\tfrac{2}{3}} = 2\\]</p>\n<p>Prosta \\(AC\\): \\(y - (-\\tfrac{3}{2}) = 2(x - \\tfrac{1}{2})\\), czyli \\(y = 2x - \\dfrac{5}{2}\\).</p>\n<p><strong>Krok 3. Wyznaczamy prostą \\(BC\\).</strong></p>\n<p>Ponieważ \\(AB\\) jest średnicą okręgu \\(\\mathcal{O}\\), kąt \\(ACB\\) jest prosty (kąt wpisany oparty na średnicy). Zatem \\(AC \\perp BC\\), więc współczynnik kierunkowy \\(a_{BC} = -\\tfrac{1}{2}\\).</p>\n<p>Prosta \\(BC\\): \\(y - (-\\tfrac{1}{2}) = -\\tfrac{1}{2}(x - \\tfrac{3}{2})\\), czyli \\(y = -\\tfrac{1}{2}x + \\tfrac{1}{4}\\).</p>\n<p><strong>Krok 4. Wyznaczamy współrzędne punktu \\(C\\) z układu.</strong><br>\\[2x - \\tfrac{5}{2} = -\\tfrac{1}{2}x + \\tfrac{1}{4}\\]<br>\\[\\tfrac{5}{2}x = \\tfrac{11}{4}\\]<br>\\[x_{C} = \\dfrac{11}{10}\\]<br>\\[y_{C} = 2 \\cdot \\tfrac{11}{10} - \\tfrac{5}{2} = \\tfrac{22}{10} - \\tfrac{25}{10} = -\\dfrac{3}{10}\\]</p>\n<p>Zatem \\(C = \\left(\\dfrac{11}{10}, -\\dfrac{3}{10}\\right)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 (przez długości odcinków)</h5>\n<p>Z \\(|AB| = \\sqrt{2}\\) i \\(\\text{tg}\\,\\alpha = \\tfrac{1}{3}\\): \\(|AC| = \\tfrac{3\\sqrt{5}}{5}\\), \\(|BC| = \\tfrac{\\sqrt{5}}{5}\\) (trójkąt prostokątny \\(ACB\\) z kątem prostym w \\(C\\)). Układ równań kół o środkach \\(A\\), \\(B\\) i odpowiednich promieniach daje \\(C = \\left(\\tfrac{11}{10}, -\\tfrac{3}{10}\\right)\\).</p>\n<h5>Sposób 3 (kąt wpisany/środkowy)</h5>\n<p>Środek okręgu \\(S\\) to środek \\(AB\\): \\(S = (1, -1)\\), promień \\(r = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\). Kąt \\(CSB = 2\\alpha\\) (kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego opartego na tym samym łuku). Używamy wzoru \\(\\text{tg}(2\\alpha) = \\dfrac{2\\tan\\alpha}{1 - \\tan^{2}\\alpha} = \\dfrac{3}{4}\\), dalej \\(\\text{tg}(2\\alpha + 45^{\\circ}) = 7\\) - to współczynnik prostej \\(SC\\). Rozwiązanie układu \\(SC\\) i okręgu daje ten sam wynik.</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>\\(6\\) pkt - poprawna metoda i wynik \\(C = \\left(\\tfrac{11}{10}, -\\tfrac{3}{10}\\right)\\).</li><li>\\(5\\) pkt - równania prostej \\(AC\\) i okręgu \\(\\mathcal{O}\\), lub \\(SC\\) i \\(\\mathcal{O}\\), lub układ prostych \\(AC\\) i \\(BC\\).</li><li>\\(4\\) pkt - jedno równanie z dwiema niewiadomymi opisujące \\(C\\).</li><li>\\(3\\) pkt - współczynnik \\(a_{AC} = 2\\) (lub \\(a_{SC} = 7\\)) oraz współrzędne \\(A, B\\).</li><li>\\(2\\) pkt - współrzędne \\(A, B\\) ALBO współczynnik kierunkowy prostej \\(AC\\) (lub \\(SC\\)).</li><li>\\(1\\) pkt - jedno równanie z niewiadomą \\(x\\) lub \\(y\\) dla \\(A\\) lub \\(B\\) ALBO zapisanie \\(a_{AC} = \\text{tg}(\\alpha + 45^{\\circ})\\).</li><li>Punkt \\(C_{1}\\) podany z nieprzeanalizowanym \\(C_{2}\\) - max \\(5\\) punktów.</li><li>Błąd jak \\(\\text{tg}(\\alpha + \\beta) = \\text{tg}\\alpha + \\text{tg}\\beta\\) - max \\(4\\) punkty.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Klucze: (1) kąt wpisany oparty na średnicy to \\(90^{\\circ}\\) - \\(AC \\perp BC\\). (2) Kąt z prostą = kąt prostej z osią plus (lub minus) \\(\\alpha\\). (3) Wzór \\(\\text{tg}(\\alpha + \\beta)\\) od razu daje współczynnik kierunkowy.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, zauważ, że funkcja $f$ jest malejąca, zatem współczynnik kierunkowy we wzorze tej funkcji musi być liczbą ujemną, czyli $a&lt;0$ oraz wykres tej funkcji przecina oś $y$ nad osią $x$, stąd wartość współczynnika $b$ we wzorze tej funkcji jest większa od $0$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Prosta opada, więc jej współczynnik kierunkowy jest ujemny:</p>\n<p>a&lt;0.</p>\n<p>Przecina dodatnią część osi Oy , zatem</p>\n<p>b&gt;0.</p>"}]}