{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nJednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑓 jest liczba (-5). Pierwsza współrzędna\nwierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji 𝑓, jest równa 3.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDrugim miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba\nA. 11\nB. 1\nC. (-1)\nD. (-13)\n\nMMAP-P0_100\nJednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba (-5). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f, jest równa 3. Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba A. 11 B. 1 C. (-1) D. (-13)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.11) wykorzystuje własności funkcji […]\nkwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nC","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWybierz przedział, w którym funkcja $f$ maleje (wartości $y$ spadają wraz ze wzrostem $x$).\n\nPrzejrzyj wykres odcinek po odcinku:\n\n- $x \\in \\langle -6, -3 \\rangle$: pozioma na $y = 2$ → funkcja stała (nie maleje)\n- $x \\in \\langle -1, 1 \\rangle$: skośna od $(-1, -3)$ do $(1, 1)$ → funkcja rośnie\n- $x \\in \\langle 2, 5 \\rangle$: skośna od $(2, 5)$ do $(5, 3)$ → funkcja maleje ($5 \\to 3$)\n\nSprawdź odpowiedzi:\n- A. $\\langle -6, -3)$ — stała, nie maleje\n- B. $\\langle -3, 1 \\rangle$ — luka w wykresie + rosnąca część\n- C. $(1, 2)$ — funkcja w ogóle nieokreślona w środku\n- D. $\\langle 2, 5 \\rangle$ — maleje ✓\n\nPo co to umieć\n\nFunkcja maleje na przedziale ⟺ wykres na tym przedziale „opada\". Funkcja rośnie ⟺ wykres „wznosi się\". Funkcja stała ⟺ wykres pozostaje na tej samej wysokości. To trzy różne typy monotoniczności — pozioma to NIE jest malejąca.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie „stałej\" z „malejącą\". Funkcja stała (pozioma) **nie maleje**, ale też **nie rośnie** — pozostaje na tym samym poziomie.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"funkcja, monotoniczność, czytanie wykresu, Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑓 jest liczba (-5). Pierwsza współrzędna
wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji 𝑓, jest równa 3.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Drugim miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba
A. 11
B. 1
C. (-1)
D. (-13)

\n

MMAP-P0_100
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba (-5). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f, jest równa 3. Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba A. 11 B. 1 C. (-1) D. (-13)

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie
\n

informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
V.11) wykorzystuje własności funkcji […]
kwadratowej do interpretacji zagadnień
geometrycznych […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
A
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: D

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

Wybierz przedział, w którym funkcja $f$ maleje (wartości $y$ spadają wraz ze wzrostem $x$).

\n

Przejrzyj wykres odcinek po odcinku:

\n\n

Sprawdź odpowiedzi:

\n\n

Po co to umieć

\n

Funkcja maleje na przedziale ⟺ wykres na tym przedziale „opada". Funkcja rośnie ⟺ wykres „wznosi się". Funkcja stała ⟺ wykres pozostaje na tej samej wysokości. To trzy różne typy monotoniczności — pozioma to NIE jest malejąca.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie „stałej" z „malejącą". Funkcja stała (pozioma) nie maleje, ale też nie rośnie — pozostaje na tym samym poziomie.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

14.1. ## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\langle 5, 7 \\rangle\\)

\n

Sposób 1 - Odczyt z wykresu i eliminacja

\n

Krok 1: Odczytaj dziedzinę funkcji.

\n

Z wykresu funkcja jest określona na zbiorze:
\\[D_f = \\langle -7, -5 \\rangle \\cup \\langle -4, 4 \\rangle \\cup \\langle 5, 7 \\rangle\\]

\n

Między \\(x = -5\\) a \\(x = -4\\) oraz między \\(x = 4\\) a \\(x = 5\\) funkcja nie jest określona - są to "dziury" w dziedzinie.

\n

Krok 2: Sprawdź zachowanie funkcji na każdym spójnym fragmencie.

\n

| Przedział | Zachowanie funkcji |
| \\(\\langle -7, -5 \\rangle\\) | stała (poziomy odcinek przy \\(y \\approx -3\\)) |
| \\(\\langle -4, 4 \\rangle\\) | najpierw rośnie, potem jest stała przy \\(y = 5\\), potem maleje |
| \\(\\langle 5, 7 \\rangle\\) | rośnie (od wartości bliskich 0 ku wyższym) |

\n

Krok 3: Wskaż przedział rosnący.

\n

Jedynym spójnym przedziałem, na którym \\(f\\) jest wyłącznie rosnąca, jest \\(\\langle 5, 7 \\rangle\\).

\n

Odpowiedź: B

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez definicję funkcji rosnącej

\n

Funkcja \\(f\\) jest rosnąca na przedziale \\(I\\), jeśli:
\\[\\forall x_1, x_2 \\in I: \\quad x_1 < x_2 \\implies f(x_1) < f(x_2)\\]

\n

Sprawdzamy \\(\\langle 5, 7 \\rangle\\): weźmy dowolne \\(x_1 < x_2\\) z tego przedziału - z wykresu wynika, że \\(f(x_1) < f(x_2)\\). Warunek jest spełniony. ✓

\n

Sprawdzamy np. \\(\\langle -5, 4 \\rangle\\): ten przedział zawiera punkt \\(x = -4{,}5\\), który nie należy do dziedziny. Nie można mówić o monotoniczności na przedziale, gdzie funkcja nie jest w ogóle określona. ✗

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji rosnącej i odczyt z wykresu.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\(\\langle -5, 4 \\rangle\\) | Przedział zawiera odcinek \\((-5, -4)\\), gdzie funkcja nie jest określona (luka w dziedzinie). Nie można mówić o monotoniczności na takim przedziale. |
| C \\(\\langle 1, 5 \\rangle\\) | Zawiera odcinek \\((4, 5)\\) - luka w dziedzinie. Dodatkowo przy \\(x \\in \\langle 1, 4 \\rangle\\) funkcja może być stała lub malejąca (nie tylko rosnąca). |
| D \\(\\langle -1, 5 \\rangle\\) | Również zawiera lukę \\((4, 5)\\). Poza tym na fragmencie \\(\\langle -1, 4 \\rangle\\) funkcja nie jest monotonicznie rosnąca (ma fragment stały i malejący). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Gdy wykres ma przerwy (funkcja nie jest określona na całym przedziale), żaden przedział przechodzący przez przerwę nie może być przedziałem monotoniczności. To najczęstszy błąd w tym typie zadań.
\n
⚠️ Uwaga: Fragment stały (poziomy odcinek) to ani wzrost, ani spadek - przedział zawierający taki fragment nie jest przedziałem, na którym funkcja jest rosnąca.
\n
⚠️ Uwaga: Zwróć uwagę na nawiasy - domknięty \\(\\langle a, b \\rangle\\) lub otwarty \\((a, b)\\). Na maturze wymagana jest precyzja, szczególnie przy punktach granicznych.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Odczyt z wykresu
\n

Patrząc na wykres \\(f\\):

\n\n
Sposób 2 - Definicja monotoniczności
\n

Funkcja \\(f\\) jest rosnąca na przedziale \\(P\\), gdy dla \\(x_{1}, x_{2} \\in P\\), \\(x_{1} < x_{2} \\Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})\\). Na \\(\\langle 5, 7\\rangle\\) wykres jest odcinkiem wznoszącym się → funkcja rosnąca.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: funkcja rosnąca = kreska wykresu idzie w górę jak przesuwasz palec w prawo.

\n

14.2. ## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-1,\\ 3)\\)

\n

(Zadanie otwarte - odpowiedź odczytujemy z wykresu. Poniżej pokazuję metodę krok po kroku.)

\n

Sposób 1 - Narysowanie prostej \\(y = 1\\) i odczyt przecięć

\n

Krok 1 - Rysujemy poziomą prostą \\(y = 1\\).

\n

Na układzie współrzędnych zaznaczamy prostą \\(y = 1\\) (pozioma linia na wysokości \\(1\\) na osi \\(y\\)).

\n

Krok 2 - Szukamy, gdzie wykres \\(f\\) jest POWYŻEJ tej prostej.

\n

Pytamy: dla jakich \\(x\\) zachodzi \\(f(x) > 1\\)?

\n

Czyli: dla jakich \\(x\\) wykres funkcji leży ściśle powyżej prostej \\(y = 1\\)?

\n

Krok 3 - Odczytujemy punkty przecięcia \\(f(x) = 1\\).

\n

Z wykresu odczytujemy:

\n\n

Pomiędzy tymi punktami funkcja przyjmuje wartości w przedziale \\(\\langle 1, 5 \\rangle\\) (osiągając maksimum \\(5\\) na pewnym odcinku płaskim).

\n

Krok 4 - Sprawdzamy pozostałe gałęzie wykresu.

\n\n

Krok 5 - Zapisujemy odpowiedź.

\n

Warunek jest ostry (\\(> 1\\), nie \\(\\geq 1\\)), więc końców nie dołączamy:

\n

\\[\\boxed{x \\in (-1,\\ 3)}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez odczyt wartości tabelarycznych

\n

Sprawdzamy kilka charakterystycznych punktów z wykresu:

\n

| \\(x\\) | \\(f(x)\\) (odczyt) | \\(f(x) > 1\\)? |
| \\(-4\\) | \\(-2\\) | nie |
| \\(-1\\) | \\(1\\) | nie (wartość równa, nie większa) |
| \\(0\\) | \\(3\\) | tak |
| \\(2\\) | \\(5\\) | tak |
| \\(3\\) | \\(1\\) | nie (wartość równa, nie większa) |
| \\(4\\) | \\(-1\\) | nie |

\n

Potwierdza to, że zbiór \\(\\{x : f(x) > 1\\} = (-1,\\ 3)\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy uważny odczyt wykresu i znajomość zapisu przedziałów.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Zadanie mówi większe od 1, a nie większe lub równe 1. Dlatego punkty \\(x = -1\\) i \\(x = 3\\), gdzie \\(f(x) = 1\\) dokładnie, nie wchodzą do rozwiązania - stosujemy nawiasy okrągłe \\((-1,\\ 3)\\), nie kwadratowe.
\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy podać jeden przedział - trzeba sprawdzić wszystkie gałęzie wykresu (tu były trzy osobne kawałki). Łatwo przeoczyć gałąź na \\([-7,-5]\\) lub \\([5,7]\\) i stracić punkty.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź musi być zapisana w postaci sumy przedziałów, np. \\((-1, 3)\\) lub \\((-1, 3) \\cup (5, 6)\\) - nie wystarczy słowny opis ani rysunek.
\n

Odpowiedź: \\(\\langle -7, -5\\rangle \\cup \\langle -4, 2) \\cup (5, 7\\rangle\\)

\n
Sposób 1 - Analiza wykresu
\n

Szukamy \\(x\\) takich, że \\(f(x) > 1\\). Rysujemy myślową linię poziomą \\(y = 1\\) i bierzemy te \\(x\\), dla których wykres jest ściśle powyżej tej linii.

\n\n

Zbieramy wszystkie \\(x\\): \\(\\langle -7, -5\\rangle \\cup \\langle -4, 2) \\cup (5, 7\\rangle\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n
Dlaczego końce są takie
\n\n

Trik: szkicuj linię poziomą na wykresie i czytaj przedziały \\(x\\), dla których wykres jest nad nią.

\n

14.3. ## Poprawna odpowiedź: B

\n

Sposób 1 - Analiza przekształcenia \\(g(x) = f(-x)\\)

\n

Co robi wzór \\(g(x) = f(-x)\\)?

\n

Podstawiamy do funkcji \\(f\\) argument \\(-x\\) zamiast \\(x\\). To klasyczne odbicie wykresu względem osi \\(Oy\\) (symetria osiowa). Każdy punkt \\((x_0, y_0)\\) leżący na wykresie \\(f\\) "przeskakuje" na punkt \\((-x_0, y_0)\\) - wartość \\(y\\) zostaje taka sama, zmienia się tylko znak argumentu.

\n

Sprawdźmy dziedziny:

\n

Dziedziną \\(g\\) jest \\(\\langle -7, -5\\rangle \\cup \\langle -4, 4\\rangle \\cup \\langle 5, 7\\rangle\\).

\n

Dla każdego \\(x\\) z tej dziedziny liczymy \\(-x\\):

\n

| \\(x\\) należy do | \\(-x\\) należy do | czyli odczytujemy wartość \\(f\\) z przedziału |
| \\(\\langle -7, -5\\rangle\\) | \\(\\langle 5, 7\\rangle\\) | prawej gałęzi wykresu \\(f\\) |
| \\(\\langle -4, 4\\rangle\\) | \\(\\langle -4, 4\\rangle\\) | środkowej gałęzi wykresu \\(f\\) |
| \\(\\langle 5, 7\\rangle\\) | \\(\\langle -7, -5\\rangle\\) | lewej gałęzi wykresu \\(f\\) |

\n

Wniosek: Wykres \\(g\\) powstaje przez odbicie lustrzane wykresu \\(f\\) względem osi \\(Oy\\).

\n\n

Wartości \\(y\\) się nie zmieniają - wykres nie "idzie do góry ani na dół".

\n

Szukamy rysunku, który jest symetrycznym odbiciem wykresu \\(f\\) względem osi \\(Oy\\). Jest to rysunek B.

\n

Sposób 2 - Sprawdzenie przez konkretny punkt

\n

Weźmy punkt wyraźnie widoczny na wykresie \\(f\\). Załóżmy, że \\(f(6) = 3\\) (punkt z prawej gałęzi wykresu).

\n

Liczymy:
\\[g(-6) = f(-(-6)) = f(6) = 3\\]

\n

Zatem punkt \\((6, 3)\\) na wykresie \\(f\\) odpowiada punktowi \\((-6, 3)\\) na wykresie \\(g\\).

\n

Sprawdzamy analogicznie: punkt \\(f(-6)\\) (z lewej gałęzi) "przechodzi" na \\(g(6)\\):
\\[g(6) = f(-6)\\]

\n

Czyli lewa i prawa gałąź zamieniają się miejscami (z zachowaniem wartości \\(y\\)), środkowa gałąź odbija się symetrycznie. Odpowiada to dokładnie wykresowi B.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie definicji przekształceń geometrycznych wykresu funkcji (odbicie względem osi \\(Oy\\) to \\(x \\mapsto -x\\)).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Uczeń próbuje "odwrócić" wykres, ale niepoprawnie obsługuje jedną z gałęzi - np. myli, która gałąź skrajna przechodzi w lewą, a która w prawą |
| C | Uczeń myli \\(g(x) = f(-x)\\) z \\(g(x) = -f(x)\\) - to byłoby odbicie względem osi \\(Ox\\) (zmiana znaku \\(y\\), nie \\(x\\)) |
| D | Inne błędne przekształcenie, np. \\(g(x) = -f(-x)\\) - odbicie względem obu osi jednocześnie |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: \\(f(-x)\\) zmienia znak argumentu \\(x\\), a nie wartości \\(y\\). Odbicie względem osi \\(Oy\\) - wykres "skleja się" symetrycznie po lewej i prawej stronie, ale nie "odwraca się do góry nogami".
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić dwóch przekształceń:
- \\(g(x) = f(-x)\\) → odbicie względem osi \\(Oy\\) (poziomo)
- \\(g(x) = -f(x)\\) → odbicie względem osi \\(Ox\\) (pionowo)
\n
⚠️ Uwaga: Dziedzina \\(g\\) i dziedzina \\(f\\) są tu takie same (symetryczne względem zera). To szczególna sytuacja - w ogólności dziedziny mogą się różnić po odbiciu.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Symetria względem osi \\(Oy\\) (karta wzorów)
\n

Przekształcenie \\(g(x) = f(-x)\\) to symetria wykresu względem osi \\(Oy\\). Punkt \\((a, b)\\) wykresu \\(f\\) przechodzi w \\((-a, b)\\) wykresu \\(g\\).

\n

Fragmenty oryginalnego \\(f\\):

\n\n

To pasuje do rysunku B.

\n
Sposób 2 - Kontrola kilku punktów
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(f(-x)\\) = odbicie w osi \\(Oy\\); \\(-f(x)\\) = odbicie w osi \\(Ox\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od zapisu ogólnej postaci funkcji kwadratowej. Funkcję kwadratową $f(x)$ możemy zapisać w postaci kanonicznej jako $$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$, gdzie $x_1$ i $x_2$ to miejsca zerowe funkcji.
\n
  1. Wiemy, że jedno z miejsc zerowych to $x_1 = -5$. W związku z tym zapisujemy to jako: $$f(x) = a(x + 5)(x - x_2)$$.
\n
  1. Zauważ, że wierzchołek paraboli dla funkcji kwadratowej można znaleźć w punkcie $$x_v = \\frac{x_1 + x_2}{2}$$. Ponieważ wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną równą $3$, możemy zapisać: $$x_v = 3$$.
\n
  1. Podstawiamy nasze znane miejsce zerowe $x_1 = -5$ do wzoru na $x_v$: $$3 = \\frac{-5 + x_2}{2}$$.
\n
  1. Aby pozbyć się ułamka, przemnóżmy równanie przez $2$: $$2 \\cdot 3 = -5 + x_2$$. Zatem: $$6 = -5 + x_2$$.
\n
  1. Teraz dodajemy $5$ do obu stron równania, aby znaleźć $x_2$: $$6 + 5 = x_2$$, co daje: $$x_2 = 11$$.
\n
  1. Widzimy, że drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $11$.
\n

Odpowiedź: 11

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Oś symetrii paraboli ma równanie x=3 . Średnia miejsc zerowych jest równa 3 :

\n

(-5+x_2)/(2)=3.

\n

-5+x_2=6,

\n

stąd

\n

x_2=11.

"}]}