{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 2𝑛⋅(𝑛+ 1) dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWyraz 𝑎4 jest równy\nA. 64\nB. 40\nC. 48\nD. 80\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n=2^n⋅(n+1) dla każdej liczby naturalnej n≥1. Wyraz a_4 jest równy A. 64 B. 40 C. 48 D. 80","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nZ wykresu funkcji liniowej $f(x) = ax + b$ odczytaj znaki $a$ i $b$.\n\nWyznacz znak $a$. Wykres jest opadający (z lewej-góry do prawej-dołu). Funkcja liniowa opada ⟺ $a < 0$.\n\nWyznacz znak $b$. $b$ to wartość $f(0)$ — punkt przecięcia wykresu z osią $y$.\n\nZ wykresu: punkt przecięcia jest powyżej osi $x$ (między $0$ a $1$), więc $b > 0$.\n\nWniosek: $a < 0$ i $b > 0$ → odpowiedź C.\n\nPo co to umieć\n\nWspółczynnik $a$ w $f(x) = ax + b$:\n- $a > 0$ → rośnie ↗\n- $a < 0$ → maleje ↘\n- $a = 0$ → stała (pozioma)\n\nWspółczynnik $b$ — punkt przecięcia z osią $y$. $b > 0$ → powyżej osi $x$, $b < 0$ → poniżej.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie znaczenia $a$ (kierunek) i $b$ (przesunięcie). $a$ to **nachylenie** (znak $a$ ⇒ rośnie/maleje), $b$ to **punkt przecięcia z osią $y$**.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"funkcja liniowa, znaki współczynników a i b, Ciągi, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>Ciąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 2𝑛⋅(𝑛+ 1) dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Wyraz 𝑎4 jest równy<br>A. 64<br>B. 40<br>C. 48<br>D. 80<br>Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=2^n⋅(n+1) dla każdej liczby naturalnej n≥1. Wyraz a_4 jest równy A. 64 B. 40 C. 48 D. 80</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego<br>wzorem ogólnym.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>D<br>C<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: C</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Z wykresu funkcji liniowej $f(x) = ax + b$ odczytaj znaki $a$ i $b$.</p>\n<p>Wyznacz znak $a$. Wykres jest opadający (z lewej-góry do prawej-dołu). Funkcja liniowa opada ⟺ $a &lt; 0$.</p>\n<p>Wyznacz znak $b$. $b$ to wartość $f(0)$ — punkt przecięcia wykresu z osią $y$.</p>\n<p>Z wykresu: punkt przecięcia jest powyżej osi $x$ (między $0$ a $1$), więc $b &gt; 0$.</p>\n<p>Wniosek: $a &lt; 0$ i $b &gt; 0$ → odpowiedź C.</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Współczynnik $a$ w $f(x) = ax + b$:</p>\n<ul><li>$a &gt; 0$ → rośnie ↗</li><li>$a &lt; 0$ → maleje ↘</li><li>$a = 0$ → stała (pozioma)</li></ul>\n<p>Współczynnik $b$ — punkt przecięcia z osią $y$. $b &gt; 0$ → powyżej osi $x$, $b &lt; 0$ → poniżej.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie znaczenia $a$ (kierunek) i $b$ (przesunięcie). $a$ to <strong>nachylenie</strong> (znak $a$ ⇒ rośnie/maleje), $b$ to <strong>punkt przecięcia z osią $y$</strong>.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A oraz F</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie zbioru wartości każdej funkcji</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> Zbiór wartości \\((-\\infty, 2\\rangle\\) to przedział nieograniczony z dołu, domknięty z góry w punkcie \\(2\\). Oznacza to, że szukamy funkcji, które:</p>\n<ul><li><strong>osiągają maksimum równe \\(2\\)</strong> (żeby przedział był domknięty od góry),</li><li><strong>nie są ograniczone z dołu</strong> (żeby sięgały do \\(-\\infty\\)).</li></ul>\n<p>Analizujemy każdą funkcję:</p>\n<p><strong>Funkcja A:</strong> \\(f(x) = -(x-1)^2 + 2\\)</p>\n<p>To parabola skierowana <strong>w dół</strong> (\\(a = -1 &lt; 0\\)), w postaci kanonicznej.</p>\n<p>Wierzchołek: \\(W = (1, 2)\\) → maksymalna wartość funkcji to \\(2\\).</p>\n<p>\\[f(x) \\leq 2 \\text{ dla każdego } x \\in \\mathbb{R}, \\quad \\text{i } f(1) = 2\\]</p>\n<p>Ponieważ parabola otwiera się w dół i jest określona dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\), wartości maleją do \\(-\\infty\\).</p>\n<p><strong>Zbiór wartości funkcji A: \\((-\\infty, 2\\rangle\\)</strong> ✓</p>\n<p><strong>Funkcja B:</strong> \\(f(x) = (x+2)^2 - 3\\)</p>\n<p>Parabola skierowana <strong>w górę</strong> (\\(a = 1 &gt; 0\\)), wierzchołek \\(W = (-2, -3)\\).</p>\n<p>\\[f(x) \\geq -3 \\text{ dla każdego } x \\in \\mathbb{R}\\]</p>\n<p>Zbiór wartości: \\(\\langle -3, +\\infty)\\) - nie pasuje.</p>\n<p><strong>Funkcja C:</strong> \\(f(x) = 2x - 1\\)</p>\n<p>Funkcja liniowa (niestała) - zbiór wartości to cały \\(\\mathbb{R}\\). Nie pasuje.</p>\n<p><strong>Funkcja D:</strong> \\(f(x) = x^2 + 1\\)</p>\n<p>Parabola w górę, minimum \\(1\\). Zbiór wartości: \\(\\langle 1, +\\infty)\\) - nie pasuje.</p>\n<p><strong>Funkcja E:</strong> \\(f(x) = -2x + 5\\)</p>\n<p>Funkcja liniowa - zbiór wartości to \\(\\mathbb{R}\\). Nie pasuje.</p>\n<p><strong>Funkcja F:</strong> \\(f(x) = 2 - (x+3)^2\\)</p>\n<p>Parabola skierowana <strong>w dół</strong>, wierzchołek \\(W = (-3, 2)\\).</p>\n<p>\\[f(x) = -(x+3)^2 + 2 \\leq 2 \\text{ dla każdego } x \\in \\mathbb{R}, \\quad \\text{i } f(-3) = 2\\]</p>\n<p><strong>Zbiór wartości funkcji F: \\((-\\infty, 2\\rangle\\)</strong> ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Analiza przez postać kanoniczną funkcji kwadratowej</h4>\n<p>Zbiór wartości \\((-\\infty, 2\\rangle\\) wymaga spełnienia <strong>dwóch warunków jednocześnie</strong>:</p>\n<p>| Warunek | Co oznacza |<br>| Przedział domknięty od góry (\\(\\langle\\)) | Funkcja <strong>osiąga</strong> maksimum \\(= 2\\) |<br>| Nieskończony od dołu (\\(-\\infty\\)) | Funkcja nie jest ograniczona z dołu |</p>\n<p>Dla funkcji kwadratowej \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\):</p>\n<p>\\[ZW = \\begin{cases} \\langle q, +\\infty) &amp; \\text{gdy } a &gt; 0 \\\\ (-\\infty, q\\rangle &amp; \\text{gdy } a &lt; 0 \\end{cases}\\]</p>\n<p>Zatem szukamy: \\(a &lt; 0\\) <strong>oraz</strong> \\(q = 2\\).</p>\n<ul><li>Funkcja A: \\(a = -1 &lt; 0\\), \\(q = 2\\) ✓</li><li>Funkcja F: \\(a = -1 &lt; 0\\), \\(q = 2\\) ✓</li><li>Pozostałe: albo \\(a &gt; 0\\) (parabola w górę), albo \\(q \\neq 2\\), albo funkcja liniowa ✗</li></ul>\n<p><strong>Weryfikacja dla A:</strong> \\(f(1) = -(1-1)^2 + 2 = 2\\) ✓ - maksimum osiągnięte.</p>\n<p><strong>Weryfikacja dla F:</strong> \\(f(-3) = 2 - (-3+3)^2 = 2\\) ✓ - maksimum osiągnięte.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać kanoniczna i zbiór wartości:</p>\n<p>\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]</p>\n<ul><li>Wierzchołek paraboli: \\(W = (p, q)\\), gdzie \\(q\\) to maksimum (gdy \\(a &lt; 0\\)) lub minimum (gdy \\(a &gt; 0\\))</li></ul>\n<p>W tym zadaniu kluczowy jest wzór na \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\) - to właśnie \\(q\\) decyduje, gdzie „urywa się&quot; zbiór wartości.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Funkcja | Typ | Błąd / Powód odrzucenia |<br>| B | \\((x+2)^2 - 3\\) | Parabola <strong>w górę</strong> (\\(a&gt;0\\)), ZW = \\(\\langle-3,+\\infty)\\) - uczeń może pomylić kierunek otwarcia |<br>| C | \\(2x-1\\) | Liniowa - ZW = \\(\\mathbb{R}\\); nie ma ani maksimum, ani minimum |<br>| D | \\(x^2+1\\) | Parabola <strong>w górę</strong>, minimum = 1, ZW = \\(\\langle1,+\\infty)\\) |<br>| E | \\(-2x+5\\) | Liniowa - ZW = \\(\\mathbb{R}\\); liniowe nigdy nie mają jednostronnie ograniczonego ZW |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mylenie kierunku otwarcia paraboli - jeśli \\(a &lt; 0\\), to parabola otwiera się <strong>w dół</strong> i ma <strong>maksimum</strong>, co daje ZW = \\((-\\infty, q\\rangle\\). Jeśli \\(a &gt; 0\\) - w górę, minimum, ZW = \\(\\langle q, +\\infty)\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przedział \\((-\\infty, 2\\rangle\\) jest <strong>domknięty</strong> (nawias ostry \\(\\rangle\\)) - funkcja <strong>musi osiągać</strong> wartość \\(2\\)! Gdyby chodziło o \\((-\\infty, 2)\\) (otwarty), to np. \\(f(x) = 2 - e^x\\) też by pasowała. Sprawdź, czy maksimum jest faktycznie osiągane.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Funkcje liniowe (niestałe) zawsze mają ZW = \\(\\mathbb{R}\\) - <strong>nigdy</strong> nie będą odpowiedzią w tym typie zadania.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: AF</strong></p>\n<p><strong>Uwaga:</strong> wzory pozostałych funkcji: \\(E(x) = 2x^{2} - 8x + 10\\), \\(F(x) = -2x^{2} + 4x\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Analiza postaci kanonicznej każdej funkcji (karta wzorów)</h5>\n<p>Zbiór wartości funkcji kwadratowej \\(f(x) = a(x-p)^{2} + q\\):</p>\n<ul><li>\\(a &gt; 0\\): \\(\\langle q, +\\infty)\\),</li><li>\\(a &lt; 0\\): \\((-\\infty, q\\rangle\\).</li></ul>\n<p>Szukamy funkcji ze zbiorem \\((-\\infty, 2\\rangle\\) - więc \\(a &lt; 0\\) i \\(q = 2\\).</p>\n<ul><li><strong>A:</strong> \\(A(x) = -(x-3)^{2} + 2\\): \\(a = -1 &lt; 0\\), \\(q = 2\\). Zbiór: \\((-\\infty, 2\\rangle\\) ✓.</li><li><strong>B:</strong> \\(B(x) = x^{2} + 2\\): \\(a = 1 &gt; 0\\), zbiór \\(\\langle 2, +\\infty)\\) ✗.</li><li><strong>C:</strong> \\(C(x) = -5(x-2)^{2}\\): \\(a = -5\\), \\(q = 0\\), zbiór \\((-\\infty, 0\\rangle\\) ✗.</li><li><strong>D:</strong> \\(D(x) = (x-2)^{2}\\): \\(a = 1\\), \\(q = 0\\), zbiór \\(\\langle 0, +\\infty)\\) ✗.</li><li><strong>E:</strong> \\(E(x) = 2x^{2} - 8x + 10 = 2(x-2)^{2} + 2\\): \\(a = 2\\), zbiór \\(\\langle 2, +\\infty)\\) ✗.</li><li><strong>F:</strong> \\(F(x) = -2x^{2} + 4x = -2(x^{2} - 2x) = -2\\bigl[(x-1)^{2} - 1\\bigr] = -2(x-1)^{2} + 2\\): \\(a = -2\\), \\(q = 2\\), zbiór \\((-\\infty, 2\\rangle\\) ✓.</li></ul>\n<p><strong>Prawidłowe: A i F.</strong></p>\n<h5>Sposób 2 - Obliczenie \\(q\\) przez współrzędne wierzchołka</h5>\n<p>Dla \\(f(x) = ax^{2} + bx + c\\): \\(q = c - \\tfrac{b^{2}}{4a}\\). Dla F: \\(q = 0 - \\tfrac{16}{4\\cdot(-2)} = 0 + 2 = 2\\) ✓.</p>\n<h5>Uwagi o punktacji (CKE)</h5>\n<ul><li><strong>2 pkt</strong> - wybrano obie poprawne (A i F).</li><li><strong>1 pkt</strong> - wybrano jedną (samo A lub samo F), lub dwie, z których dokładnie jedna jest poprawna.</li><li><strong>0 pkt</strong> - obie błędne.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> zapisz szybko każdy wzór w postaci kanonicznej i odczytaj \\(a, q\\) - zbiór wartości zależy tylko od nich.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od wzoru ciągu, który jest podany w zadaniu. \\( a_n = 2^n $\\cdot$ (n + 1) \\).\\\\</li><li>Aby obliczyć wyraz \\( a_4 \\), musimy podstawić \\( n = 4 \\) do wzoru. W ten sposób zapiszemy:\\\\</li></ol>\n<p>\\[ a_4 = 2^4 $\\cdot$ (4 + 1) \\] \\\\</p>\n<ol><li>Obliczamy wartość \\( 2^4 \\):\\</li></ol>\n<p>\\[ 2^4 = 16 \\] \\\\</p>\n<ol><li>Następnie obliczamy wyrażenie w nawiasie: \\( 4 + 1 \\):\\\\</li></ol>\n<p>\\[ 4 + 1 = 5 \\] \\\\</p>\n<ol><li>Teraz możemy obliczyć \\( a_4 \\), podstawiając otrzymane wartości: \\\\</li></ol>\n<p>\\[ a_4 = 16 $\\cdot$ 5 \\] \\\\</p>\n<ol><li>Wykonujemy mnożenie: \\\\</li></ol>\n<p>\\[ 16 $\\cdot$ 5 = 80 \\] \\\\</p>\n<ol><li>Zatem wyraz \\( a_4 \\) jest równy 80.\\\\</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> D. 80</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>a_4=2^4(4+1)=16·5=80.</p>"}]}