{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (27, 9, 𝑎-1) jest geometryczny.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑎 jest równa\nA. 3\nB. 0\nC. 4\nD. 2\n\nMMAP-P0_100\nTrzywyrazowy ciąg (27,9,a-1) jest geometryczny. Liczba a jest równa A. 3 B. 0 C. 4 D. 2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.6) wykorzystuje własności ciągów, w tym\n[…] geometrycznych, do rozwiązywania\nzadań […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nMając: $x_1 = -5$ (pierwsze miejsce zerowe) i $x_w = 3$ (pierwsza współrzędna wierzchołka), znajdź $x_2$ (drugie miejsce zerowe).\n\nKluczowy fakt: wierzchołek paraboli leży na osi symetrii. Oś symetrii paraboli leży dokładnie pośrodku między miejscami zerowymi:\n\n$$x_w = \\frac{x_1 + x_2}{2}$$\n\nPodstaw dane:\n\n$$3 = \\frac{-5 + x_2}{2}$$\n\nRozwiąż:\n\n$$6 = -5 + x_2$$\n$$x_2 = 11$$\n\nSprawdzenie geometryczne. Odległość od wierzchołka $x_w = 3$ do miejsca zerowego $x_1 = -5$ to $|3 - (-5)| = 8$. Drugie miejsce zerowe musi być w takiej samej odległości po drugiej stronie wierzchołka: $3 + 8 = 11$. ✓\n\nPo co to umieć\n\nParabola ($y = ax^2 + bx + c$) jest symetryczna względem prostej pionowej $x = x_w$. Dwa miejsca zerowe są w takiej samej odległości od wierzchołka.\n\nWzory: $x_w = \\frac{x_1 + x_2}{2}$ (oś symetrii), $x_w = -\\frac{b}{2a}$ (alternatywnie ze współczynników).\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: próba ułożenia wzoru postaci kanonicznej z trzech niewiadomych. Szybciej i pewniej: skorzystać z faktu, że oś symetrii paraboli jest **w połowie odległości** między miejscami zerowymi.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"funkcja kwadratowa, miejsca zerowe, oś symetrii, Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Trzywyrazowy ciąg (27, 9, 𝑎-1) jest geometryczny.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba 𝑎 jest równa<br>A. 3<br>B. 0<br>C. 4<br>D. 2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Trzywyrazowy ciąg (27,9,a-1) jest geometryczny. Liczba a jest równa A. 3 B. 0 C. 4 D. 2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>VI.6) wykorzystuje własności ciągów, w tym<br>[…] geometrycznych, do rozwiązywania<br>zadań […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: A</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Mając: $x_1 = -5$ (pierwsze miejsce zerowe) i $x_w = 3$ (pierwsza współrzędna wierzchołka), znajdź $x_2$ (drugie miejsce zerowe).</p>\n<p>Kluczowy fakt: wierzchołek paraboli leży na osi symetrii. Oś symetrii paraboli leży dokładnie pośrodku między miejscami zerowymi:</p>\n<p>$$x_w = \\frac{x_1 + x_2}{2}$$</p>\n<p>Podstaw dane:</p>\n<p>$$3 = \\frac{-5 + x_2}{2}$$</p>\n<p>Rozwiąż:</p>\n<p>$$6 = -5 + x_2$$<br>$$x_2 = 11$$</p>\n<p>Sprawdzenie geometryczne. Odległość od wierzchołka $x_w = 3$ do miejsca zerowego $x_1 = -5$ to $|3 - (-5)| = 8$. Drugie miejsce zerowe musi być w takiej samej odległości po drugiej stronie wierzchołka: $3 + 8 = 11$. ✓</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Parabola ($y = ax^2 + bx + c$) jest symetryczna względem prostej pionowej $x = x_w$. Dwa miejsca zerowe są w takiej samej odległości od wierzchołka.</p>\n<p>Wzory: $x_w = \\frac{x_1 + x_2}{2}$ (oś symetrii), $x_w = -\\frac{b}{2a}$ (alternatywnie ze współczynników).</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: próba ułożenia wzoru postaci kanonicznej z trzech niewiadomych. Szybciej i pewniej: skorzystać z faktu, że oś symetrii paraboli jest <strong>w połowie odległości</strong> między miejscami zerowymi.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\((-2)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podstawienie \\(n = 3\\) do wzoru ogólnego</h4>\n<p>Mamy wzór ogólny ciągu:<br>\\[a_n = (-1)^n \\cdot \\frac{n+1}{2}\\]</p>\n<p>Szukamy trzeciego wyrazu, czyli podstawiamy \\(n = 3\\):</p>\n<p>\\[a_3 = (-1)^3 \\cdot \\frac{3+1}{2}\\]</p>\n<p>Obliczamy każdy czynnik osobno:<br>\\[(-1)^3 = -1\\]<br>\\[\\frac{3+1}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]</p>\n<p>Mnożymy:<br>\\[a_3 = (-1) \\cdot 2 = \\mathbf{-2}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(a_3 = -2\\)</strong>, czyli odpowiedź <strong>B</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez wypisanie kilku wyrazów</h4>\n<p>Dla pewności wypisujemy pierwsze wyrazy ciągu, żeby sprawdzić, czy wzór działa sensownie:</p>\n<p>\\[a_1 = (-1)^1 \\cdot \\frac{1+1}{2} = (-1) \\cdot 1 = -1\\]<br>\\[a_2 = (-1)^2 \\cdot \\frac{2+1}{2} = 1 \\cdot \\frac{3}{2} = \\frac{3}{2}\\]<br>\\[a_3 = (-1)^3 \\cdot \\frac{3+1}{2} = (-1) \\cdot 2 = -2\\]<br>\\[a_4 = (-1)^4 \\cdot \\frac{4+1}{2} = 1 \\cdot \\frac{5}{2} = \\frac{5}{2}\\]</p>\n<p>Widzimy wyraźnie schemat - wyrazy nieparzyste są ujemne (\\((-1)^{\\text{nieparzyste}} = -1\\)), parzyste - dodatnie (\\((-1)^{\\text{parzyste}} = +1\\)).</p>\n<p>Trzeci wyraz to \\(\\mathbf{-2}\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność podstawiania do wzoru ogólnego ciągu i znajomość własności potęg liczby \\((-1)\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A: \\(2\\) | Pominięto czynnik \\((-1)^n\\) - policzono tylko \\(\\frac{3+1}{2} = 2\\), zapominając o znaku |<br>| C: \\(3\\) | Błędnie policzono ułamek: wzięto samą wartość \\(n+1 = 4\\) zamiast \\(\\frac{n+1}{2} = 2\\), a i tak pominięto znak |<br>| D: \\((-1)\\) | Pomylono indeks - obliczono \\(a_1 = (-1)^1 \\cdot \\frac{2}{2} = -1\\) zamiast \\(a_3\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\((-1)^3 = -1\\), nie \\(+1\\)! Nieparzyste potęgi \\((-1)\\) zawsze dają \\(-1\\). Parzyste dają \\(+1\\). To kluczowe w zadaniach z ciągami alternującymi.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie pomyl \\(n\\)-tego wyrazu z wartością \\(n\\). Tu \\(n = 3\\), więc podstawiasz trójkę do wzoru - nie kończysz na samym \\(\\frac{n+1}{2}\\), musisz jeszcze pomnożyć przez \\((-1)^3\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ciągi z czynnikiem \\((-1)^n\\) to tzw. <strong>ciągi alternujące</strong> - wyrazy na przemian zmieniają znak. Widząc taki wzór, od razu sprawdzaj parzystość indeksu.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie</h5>\n<p>Podstawiamy \\(n = 3\\):<br>\\[a_{3} = (-1)^{3} \\cdot \\dfrac{3+1}{2} = -1 \\cdot \\dfrac{4}{2} = -1 \\cdot 2 = -2.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza znaku</h5>\n<p>Wyrażenie \\((-1)^{n}\\) jest równe \\(-1\\) dla nieparzystych \\(n\\). Dla \\(n=3\\) (nieparzyste) wynik ma znak minus. Bezwzględna wartość: \\(\\tfrac{4}{2} = 2\\). Całość: \\(-2\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> \\(2\\) - zdający pominął znak \\((-1)^{3}\\).</li><li><strong>C.</strong> \\(3\\) - zdający policzył \\(\\tfrac{n+1}{2}\\) jako \\(\\tfrac{3+1}{2}\\)? albo policzył dla \\(n+1=3\\).</li><li><strong>D.</strong> \\(-1\\) - zdający policzył \\(a_{3} = -1\\cdot 1 = -1\\), pomijając podzielenie przez 2 lub dzieląc \\(\\tfrac{n}{2}\\) zamiast \\(\\tfrac{n+1}{2}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w ciągach z \\((-1)^{n}\\) sprawdzaj najpierw znak (nieparzyste \\(n\\) → minus; parzyste \\(n\\) → plus).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zauważmy, że w ciągu geometrycznym stosunek kolejnych wyrazów jest stały. W naszym przypadku mamy trzy wyrazy: $27$, $9$ oraz $a - 1$. Możemy zapisać tę właściwość jako równanie: $$\\frac{9}{27} = \\frac{a - 1}{9}$$.</li></ol>\n<ol><li>Obliczamy lewą stronę równania: $$\\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}$$.</li></ol>\n<ol><li>Zapisujemy równanie z równą wartością: $$\\frac{1}{3} = \\frac{a - 1}{9}$$.</li></ol>\n<ol><li>Teraz przekształcamy to równanie tak, aby pozbyć się ułamków. Mnożymy obie strony przez $9$: $$9 \\cdot \\frac{1}{3} = a - 1$$.</li></ol>\n<ol><li>Obliczamy lewą stronę: $$3 = a - 1$$.</li></ol>\n<ol><li>Aby znaleźć wartość $a$, dodajemy $1$ do obu stron równania: $$3 + 1 = a$$.</li></ol>\n<ol><li>Ostatecznie otrzymujemy: $$a = 4$$.</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> Liczba $a$ jest równa 4.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Iloraz ciągu geometrycznego wynosi</p>\n<p>q=(9)/(27)=(1)/(3).</p>\n<p>Trzeci wyraz:</p>\n<p>9·(1)/(3)=3.</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>a-1=3,</p>\n<p>czyli</p>\n<p>a=4.</p>"}]}