Zadanie 17. (0-2)
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna
rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.
Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.
17.
0-1-2
MMAP-P0_100
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę pierwszej raty.
Zadanie 17. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
VI.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę
𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie pierwszej raty: 750 zł.
1 pkt - zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
i zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 (pierwszą ratą):
2𝑎1 + 17 ⋅(-30)
2
⋅18 = 8910
ALBO
oraz zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1:
2𝑎1+17⋅30
2
⋅18 = 8910 i zapisanie, że 𝑎1 jest ostatnią ratą,
ALBO
𝑎1 + (𝑎1 -30) + (𝑎1 -2 ⋅30) + (𝑎1 -3 ⋅30) + ⋯+ (𝑎1 -17 ⋅30) = 8910,
gdzie 𝑎1 jest pierwszą ratą, lub równania
𝑎1 + (𝑎1 + 30) + (𝑎1 + 2 ⋅30) + (𝑎1 + 3 ⋅30) + ⋯+ (𝑎1 + 17 ⋅30) = 8910
(łącznie z zapisem, że 𝑎1 jest ostatnią ratą),
ALBO
𝑎1 + 𝑎18 = 8910 ∶9 albo 𝑎18 = 𝑎1 -17 ⋅30 itp.,
ALBO
i zapisanie co najmniej pierwszego oraz ostatniego wyrazu tego ciągu, np.
(𝑥, 𝑥-30, 𝑥-60, …, 𝑥-510) dla dowolnego 𝑥 (np. jak w sposobie V),
ALBO
𝑎9+𝑎10
2
= 495 i 𝑎10 = 𝑎9 -30.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
\ninterpretuje 𝑎1 jako ostatniej raty, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe
rozwiązanie.
0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym 𝑆18 = 8910 i 𝑟= -30. Korzystamy ze
wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równanie
2𝑎1 + 17 ⋅(-30)
2
⋅18 = 8910
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 -510) = 8910
2𝑎1 -510 = 990
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób II
Przyjmujemy, że kolejne (licząc od końca) raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
𝑆18 = 8910 i 𝑟= 30. Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i otrzymujemy równanie
Zasady oceniania rozwiązań zadań
2𝑎1 + 17 ⋅30
2
⋅18 = 8910
Przekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy
9(2𝑎1 + 510) = 8910
2𝑎1 + 510 = 990
𝑎1 = 240
Ostatnia rata była równa 240 zł.
Obliczamy wysokość pierwszej raty
𝑎18 = 240 + 17 ⋅30 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób III
Kolejne kwoty, o które pomniejszana jest pierwsza rata, tworzą ciąg arytmetyczny, w którym
różnica jest równa 30. Wtedy osiemnasta rata jest mniejsza od pierwszej raty o kwotę
(18 -1) ⋅30 = 510 zł.
Stąd
𝑎1 + (𝑎1 -30) + (𝑎1 -60) + (𝑎1 -90)+. . . +(𝑎1 -510) = 8910
18𝑎1 -(30 + 60 + 90+. . . +510) = 8910
gdzie suma siedemnastu liczb 30 + 60 + 90+. . . +510 jest równa
30 + 510
2
⋅17 = 4590
Zatem
18𝑎1 -4590 = 8910
18𝑎1 = 13500
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób IV
Kolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, zatem
𝑎1 + 𝑎18 = 𝑎2 + 𝑎17 = 𝑎3 + 𝑎16 =. . . = 𝑎9 + 𝑎10
Obliczamy wartość pojedynczej sumy
𝑎1 + 𝑎18 = 8910: 9 = 990
Korzystając ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy
𝑎1 + 𝑎1 -17 ⋅30 = 990
2𝑎1 = 990 + 510
𝑎1 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób V
Przyjmujemy, że pierwsza rata była równa 1000 zł. Wtedy kolejne raty są równe:
970 zł, 940 zł, … , 490 zł.
Suma wszystkich rat jest równa 13 410 zł i przewyższa kwotę z warunków zadania
o 4500 zł.
Obliczamy, o ile należy zmniejszyć każdą ratę:
4500 ∶18 = 250
1000 -250 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Sposób VI
Kolejne raty są wyrazami osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛) o różnicy
𝑟= -30. Obliczymy dowolną ratę (np. dziewiątą), korzystając z własności tego ciągu:
{(𝑎9 + 𝑎10) ⋅9 = 8910
𝑎10 = 𝑎9 -30 {𝑎9 + 𝑎10 = 990
𝑎9 -𝑎10 = 30
2𝑎9 = 1020 𝑎9 = 510
Zatem
𝑎1 = 𝑎9 -8 ⋅(-30) = 510 + 240 = 750
Pierwsza rata była równa 750 zł.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Odpowiedź: D
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nWstaw $n = 4$ do wzoru $a_n = 2^n \\cdot (n+1)$.
\nPodstaw $n = 4$:
\n$$a_4 = 2^4 \\cdot (4 + 1)$$
\nOblicz po kolei:
\n$$2^4 = 16$$
$$4 + 1 = 5$$
Pomnóż:
\n$$a_4 = 16 \\cdot 5 = 80$$
\nPo co to umieć
\nWzór ogólny ciągu daje wartość każdego wyrazu po podstawieniu $n$. Pamiętaj o kolejności działań: najpierw potęga ($2^n$) i nawias ($n+1$), potem mnożenie.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie $2^n \\cdot (n+1)$ z $2^{n+1}$ albo $2^n + n + 1$. Wzór jest iloczynem $2^n$ i $(n+1)$.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Stwierdzenie 1 - Fałsz, Stwierdzenie 2 - Prawda
\nMamy ciąg geometryczny \\((a_n)\\) z:
\\[a_1 = 128, \\qquad q = -\\frac{1}{2}\\]
Wzór ogólny:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1} = 128 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{n-1}\\]
Wyznaczamy kolejne wyrazy ciągu:
\n\\[a_1 = 128\\]
\\[a_2 = 128 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = -64\\]
\\[a_3 = -64 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = 32\\]
\\[a_4 = 32 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = -16\\]
\\[a_5 = -16 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = 8\\]
\\[a_6 = 8 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = -4\\]
\\[a_7 = -4 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = 2\\]
\\[a_8 = 2 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = -1\\]
\\[a_9 = -1 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = \\frac{1}{2}\\]
Kluczowa obserwacja: Wyrazy o nieparzystym indeksie są dodatnie, o parzystym - ujemne (bo \\(q < 0\\)). Indeks 9 jest nieparzysty, więc \\(a_9 > 0\\).
\nOcena Stwierdzenia 1 (np. "\\(a_9 = -\\dfrac{1}{2}\\)"):
\n\\[a_9 = 128 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{8} = 128 \\cdot \\frac{1}{256} = \\frac{128}{256} = \\frac{1}{2}\\]
\nWynik jest \\(+\\dfrac{1}{2}\\), nie \\(-\\dfrac{1}{2}\\). Stwierdzenie 1 → FAŁSZ.
\nOcena Stwierdzenia 2 (np. "Suma nieskończona ciągu wynosi \\(\\dfrac{256}{3}\\)"):
\nPonieważ \\(|q| = \\dfrac{1}{2} < 1\\), suma nieskończona istnieje:
\\[S = \\frac{a_1}{1-q} = \\frac{128}{1 - \\left(-\\frac{1}{2}\\right)} = \\frac{128}{1 + \\frac{1}{2}} = \\frac{128}{\\frac{3}{2}} = 128 \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{256}{3}\\]
Stwierdzenie 2 → PRAWDA.
\nBezpośrednio przez wzór ogólny, bez wyznaczania pośrednich wyrazów:
\n\\[a_9 = 128 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^{9-1} = 2^7 \\cdot \\left(-1\\right)^8 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^8 = 2^7 \\cdot 1 \\cdot \\frac{1}{2^8} = \\frac{2^7}{2^8} = \\frac{1}{2}\\]
\nZauważamy: \\(128 = 2^7\\), więc:
\\[\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^8 = (-1)^8 \\cdot \\frac{1}{2^8} = \\frac{1}{2^8}\\]
\\[a_9 = 2^7 \\cdot \\frac{1}{2^8} = \\frac{1}{2} > 0 \\quad \\checkmark\\]
Dla sumy nieskończonej - weryfikacja przez inny zapis:
\\[S = \\frac{128}{\\frac{3}{2}} = \\frac{256}{3} \\approx 85{,}33\\ldots \\quad \\checkmark\\]
Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)
\nWzór ogólny ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Użyty do wyznaczenia \\(a_9\\).
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego (gdy \\(|q| < 1\\)):
\\[S = \\frac{a_1}{1 - q}\\]
Użyty do obliczenia sumy nieskończonej.
| Błąd | Co uczeń robi źle |
| Zapomina, że \\(q^8 = \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^8 > 0\\) | Myśli, że ujemna podstawa zawsze daje ujemny wynik - nie, potęga parzysta jest zawsze dodatnia |
| Liczy \\(a_9\\) zamiast \\(a_8\\) | Myli indeks - sprawdza \\(a_8 = -1 < 0\\) i wnioskuje, że \\(a_9 < 0\\) |
| Pomija bezwzględność wykładnika | Oblicza \\((-\\frac{1}{2})^9\\) zamiast \\((-\\frac{1}{2})^8\\) |
⚠️ Uwaga: Przy ujemnym ilorazie wyrazy ciągu na przemian zmieniają znak. Wyrazy o nieparzystym indeksie mają znak \\(a_1\\), o parzystym - przeciwny. Zawsze najpierw sprawdź parzystość wykładnika!\n
⚠️ Uwaga: Suma nieskończona istnieje TYLKO gdy \\(|q| < 1\\). Tu \\(|q| = \\frac{1}{2} < 1\\) - warunek spełniony. Gdyby \\(|q| \\geq 1\\), suma by nie istniała.\n
⚠️ Uwaga: \\(128 = 2^7\\) - rozkład na potęgę dwójki bardzo ułatwia obliczenia. Warto rozkładać \\(a_1\\) na potęgi zamiast mnożyć "na piechotę".\n
Poprawna odpowiedź: FP
\nDane: \\(a_{1} = 128\\), iloraz \\(q = -\\tfrac{1}{2}\\). Wzór ogólny: \\(a_{n} = a_{1}\\cdot q^{n-1} = 128\\cdot\\left(-\\tfrac{1}{2}\\right)^{n-1}\\) (karta wzorów).
\nZnak \\(a_{n}\\) = znak \\(q^{n-1}\\) (bo \\(a_{1}=128>0\\)). Dla \\(n=2023\\), wykładnik \\(n-1 = 2022\\) jest parzysty, więc \\(\\left(-\\tfrac{1}{2}\\right)^{2022} > 0\\). Zatem \\(a_{2023} > 0\\). Fałsz.
\n\\(a_{2} = 128\\cdot\\left(-\\tfrac{1}{2}\\right)^{1} = -64\\).
\\(a_{3} = 128\\cdot\\left(-\\tfrac{1}{2}\\right)^{2} = 128\\cdot\\tfrac{1}{4} = 32\\).
\\(a_{3} - a_{2} = 32 - (-64) = 96\\) ✓. Prawda.
\\(q^{n-1}\\) gdy \\(q<0\\): znak dodaje się, gdy \\(n-1\\) parzyste; ujemny, gdy \\(n-1\\) nieparzyste. Dla \\(n=2023\\): \\(2022\\) parzyste → dodatni.
\nRaty tworzą ciąg arytmetyczny. Każda kolejna rata jest mniejsza od poprzedniej o 30 zł, więc osiemnasta rata jest równa
\na_18=a_1+17·(-30).
\nKorzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:
\nS_18=frac a_1+a_18 2 ·18.
\nPodstawiamy:
\n8910=(a_1+ (a_1+17·(-30) ))/(2)·18.
\n8910=(2a_1-510)/(2)·18.
\n8910=9(2a_1-510).
\n990=2a_1-510,
\n2a_1=1500,
\na_1=750.
\nPierwsza rata wynosiła 750 zł.
"}]}