Zadanie 18. (0-1)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kąt 𝛼 o wierzchołku
w punkcie 𝑂= (0, 0). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią 𝑂𝑥,
a drugie przechodzi przez punkt 𝑃= (-3, 1) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Tangens kąta 𝛼 jest równy
A. 1
√10
B. (-3
√10)
C. (-3
1)
D. (-1
3)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono kąt α o wierzchołku w punkcie O=(0,0). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez punkt P=(-3,1) (zobacz rysunek). [rysunek] Tangens kąta α jest równy A. 1/√10 B. (-3/√10) C. -(3/1) D. (-1/3)
Zadanie 18. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
VII.1) wykorzystuje definicje funkcji […]
tangens dla kątów od 0° do 180° […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
D
C
Odpowiedź: C
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nMając $(27, 9, a-1)$ jako ciąg geometryczny, znajdź $a$.
\nWykorzystaj własność ciągu geometrycznego. Stosunek kolejnych wyrazów (iloraz) jest stały:
\n$$\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}$$
\nPodstaw wartości:
\n$$\\frac{9}{27} = \\frac{a - 1}{9}$$
\n$$\\frac{1}{3} = \\frac{a - 1}{9}$$
\nRozwiąż: pomnóż obie strony przez $9$:
\n$$3 = a - 1$$
$$a = 4$$
Sprawdź: Ciąg $(27, 9, 3)$ — iloraz $q = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}$, kolejny: $\\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}$. ✓
\nPo co to umieć
\nTrzywyrazowy ciąg geometryczny ma własność: $a_2^2 = a_1 \\cdot a_3$ (kwadrat środkowego = iloczyn skrajnych). Można jej użyć zamiast ilorazu — dla naszego ciągu $(27, 9, a-1)$:
\n$$9^2 = 27 \\cdot (a-1) \\implies 81 = 27a - 27 \\implies a = 4 \\checkmark$$
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: użycie własności ciągu arytmetycznego ($a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}$) zamiast geometrycznego ($a_2^2 = a_1 \\cdot a_3$). Sprawdź najpierw, jakiego ciągu dotyczy zadanie.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Ciąg jest arytmetyczny z wyrazami \\(28,\\ 16,\\ 4\\) i różnicą \\(r = -12\\).
\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów:
\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]
czyli równoważnie:
\\[2a_2 = a_1 + a_3\\]
Podstawiamy:
\\[2 \\cdot x^2 = (3x^2 + 5x) + (20 - x^2)\\]
Upraszczamy prawą stronę:
\\[2x^2 = 3x^2 + 5x + 20 - x^2\\]
\\[2x^2 = 2x^2 + 5x + 20\\]
Odejmujemy \\(2x^2\\) od obu stron:
\\[0 = 5x + 20\\]
\\[5x = -20\\]
\\[\\boxed{x = -4}\\]
Różnica kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest stała:
\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]
Podstawiamy:
\\[x^2 - (3x^2 + 5x) = (20 - x^2) - x^2\\]
\\[x^2 - 3x^2 - 5x = 20 - 2x^2\\]
\\[-2x^2 - 5x = 20 - 2x^2\\]
Dodajemy \\(2x^2\\) do obu stron:
\\[-5x = 20\\]
\\[x = -4\\]
Weryfikacja dla \\(x = -4\\):
\nRóżnica: \\(16 - 28 = -12\\) oraz \\(4 - 16 = -12\\) ✓ Ciąg arytmetyczny z różnicą \\(r = -12\\).
\nDział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]
czyli środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów. Stąd bezpośrednio wynikał warunek \\(2a_2 = a_1 + a_3\\), który był kluczem do ułożenia równania.
\n⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(x^2 = 16\\) daje \\(x = \\pm 4\\), ale tu \\(x\\) pojawia się też liniowo w \\(3x^2 + 5x\\). Nie możesz po prostu wziąć \\(|x| = 4\\) - musisz sprawdzić oba przypadki (tu tylko \\(x = -4\\) spełnia równanie).\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd to napisanie warunku jako \\(a_1 - a_2 = a_2 - a_3\\) (odwrócona kolejność znaków) - wynik jest ten sam, ale upewnij się, że nie robisz błędu przy odejmowaniu wyrazów z nawiasami: \\(x^2 - (3x^2 + 5x) = x^2 - 3x^2 - 5x\\), a nie \\(x^2 - 3x^2 + 5x\\).\n
⚠️ Uwaga: Sprawdzaj wynik końcowy podstawiając do WSZYSTKICH trzech wyrazów - to 30 sekund pracy, które uchronią przed utratą punktów za błąd rachunkowy.\n
Rozwiązanie: \\(x = -4\\).
\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów:
\\[x^{2} = \\dfrac{(3x^{2} + 5x) + (20 - x^{2})}{2} = \\dfrac{3x^{2} + 5x + 20 - x^{2}}{2} = \\dfrac{2x^{2} + 5x + 20}{2}.\\]
Mnożymy obustronnie przez \\(2\\):
\\[2x^{2} = 2x^{2} + 5x + 20.\\]
Upraszczamy: \\(0 = 5x + 20\\), stąd \\(x = -4\\).
Różnica sąsiadów musi być równa: \\(a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2}\\):
\\[x^{2} - (3x^{2} + 5x) = (20 - x^{2}) - x^{2}.\\]
\\[-2x^{2} - 5x = 20 - 2x^{2}.\\]
Dodajemy \\(2x^{2}\\) do obu stron: \\(-5x = 20\\), czyli \\(x = -4\\).
\\(a_{1} = 3\\cdot 16 + 5\\cdot(-4) = 48 - 20 = 28\\).
\\(a_{2} = 16\\).
\\(a_{3} = 20 - 16 = 4\\).
Różnice: \\(16 - 28 = -12\\); \\(4 - 16 = -12\\) ✓.
Trik: trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego: środkowy = średnia skrajnych - to najszybsza droga.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, korzystając z tablic matematycznych możemy odczytać definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta. Jeśli w układzie kartezjańskim dany jest punkt o współrzędnych $M=(x,y)$ i rozważamy kąt $\\alpha$ o wierzchołku w punkcie $O=(0,0)$ oraz jednym ramieniu pokrywającym się z dodatnią półosią $Ox$, a drugim będącym półprostą $OM$ to tangens kąta $\\alpha$ możemy wyznaczyć z nastepującego wzoru: ${\\tg\\alpha=\\displaystyle\\frac{y}{x}}$. Stąd: $\\tg\\alpha=\\frac{1}{-3}=-\\frac{1}{3}$
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"Ramię kąta przechodzi przez punkt P=(-3,1) , dlatego
\ntanα=(y_P)/(x_P)=(1)/(-3)=-(1)/(3).
"}]}