{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdego kąta ostrego 𝛼 wyrażenie sin4 𝛼 + sin2 𝛼 ⋅cos2 𝛼 jest równe\nA. sin2 𝛼\nB. sin6 𝛼 ⋅cos2 𝛼\nC. sin4 𝛼+ 1\nD. sin2 𝛼⋅(sin 𝛼+ cos 𝛼) ⋅(sin 𝛼-cos 𝛼)\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n𝑃= ሺ-3, 1ሻ\n𝛼\n𝑂\n2\n1\n-1\n\nMMAP-P0_100\nDla każdego kąta ostrego α wyrażenie sin^4α + sin^2α⋅cos^2α jest równe A. sin^2α B. sin^6α ⋅ cos^2α C. sin^4α + 1 D. sin^2α ⋅ (sinα+cosα) ⋅ (sinα-cosα)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nB","solution":"Odpowiedź: **Pierwsza rata: $750$ zł** Wzór: $S_{18} = \\frac{18(a_1 + a_{18})}{2} = 8910$, $a_{18} = a_1 - 510$ → $18a_1 - 4590 = 8910$ → $a_1 = 750$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nRaty tworzą ciąg arytmetyczny z różnicą $r = -30$ (bo kolejna rata jest mniejsza). Suma 18 rat: $8910$. Znajdź pierwszą ratę $a_1$.\n\nZapisz wzór na ostatnią ratę. W ciągu arytmetycznym:\n\n$$a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r$$\n\nDla $n = 18$, $r = -30$:\n\n$$a_{18} = a_1 + 17 \\cdot (-30) = a_1 - 510$$\n\nZapisz wzór na sumę 18 wyrazów.\n\n$$S_n = \\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$\n\nDla $n = 18$:\n\n$$S_{18} = \\frac{18(a_1 + a_{18})}{2} = 9(a_1 + a_{18})$$\n\nPodstaw $a_{18} = a_1 - 510$ i $S_{18} = 8910$:\n\n$$9(a_1 + a_1 - 510) = 8910$$\n$$9(2a_1 - 510) = 8910$$\n$$18a_1 - 4590 = 8910$$\n$$18a_1 = 13500$$\n$$a_1 = 750$$\n\nSprawdzenie: $a_{18} = 750 - 510 = 240$. Suma: $\\frac{18 \\cdot (750 + 240)}{2} = 9 \\cdot 990 = 8910$. ✓\n\nPo co to umieć\n\nZadania kontekstowe z ciągami pojawiają się prawie na każdej maturze. Schemat: (1) zidentyfikuj typ ciągu, (2) zapisz dane jako $a_1$, $r$/$q$, $n$, $a_n$, $S_n$, (3) ułóż równanie z dwóch znanych wzorów.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie $r = 30$ z $r = -30$. Skoro raty maleją, różnica jest **ujemna**. Drugi błąd: użycie wzoru $a_n = a_1 + n \\cdot r$ zamiast $a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r$ — w 18. wyrazie różnicę dodajemy **17 razy**, nie 18.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"ciąg arytmetyczny, suma wyrazów, zadanie kontekstowe, Trygonometria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Dla każdego kąta ostrego 𝛼 wyrażenie sin4 𝛼 + sin2 𝛼 ⋅cos2 𝛼 jest równe<br>A. sin2 𝛼<br>B. sin6 𝛼 ⋅cos2 𝛼<br>C. sin4 𝛼+ 1<br>D. sin2 𝛼⋅(sin 𝛼+ cos 𝛼) ⋅(sin 𝛼-cos 𝛼)<br>1<br>2<br>3<br>-3 -2 -1<br>𝑦<br>𝑥<br>𝑃= ሺ-3, 1ሻ<br>𝛼<br>𝑂<br>2<br>1<br>-1</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie sin^4α + sin^2α⋅cos^2α jest równe A. sin^2α B. sin^6α ⋅ cos^2α C. sin^4α + 1 D. sin^2α ⋅ (sinα+cosα) ⋅ (sinα-cosα)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>VII.2) korzysta z wzorów<br>sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>A<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: <strong>Pierwsza rata: $750$ zł</strong> Wzór: $S_{18} = \\frac{18(a_1 + a_{18})}{2} = 8910$, $a_{18} = a_1 - 510$ → $18a_1 - 4590 = 8910$ → $a_1 = 750$.</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Raty tworzą ciąg arytmetyczny z różnicą $r = -30$ (bo kolejna rata jest mniejsza). Suma 18 rat: $8910$. Znajdź pierwszą ratę $a_1$.</p>\n<p>Zapisz wzór na ostatnią ratę. W ciągu arytmetycznym:</p>\n<p>$$a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r$$</p>\n<p>Dla $n = 18$, $r = -30$:</p>\n<p>$$a_{18} = a_1 + 17 \\cdot (-30) = a_1 - 510$$</p>\n<p>Zapisz wzór na sumę 18 wyrazów.</p>\n<p>$$S_n = \\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$</p>\n<p>Dla $n = 18$:</p>\n<p>$$S_{18} = \\frac{18(a_1 + a_{18})}{2} = 9(a_1 + a_{18})$$</p>\n<p>Podstaw $a_{18} = a_1 - 510$ i $S_{18} = 8910$:</p>\n<p>$$9(a_1 + a_1 - 510) = 8910$$<br>$$9(2a_1 - 510) = 8910$$<br>$$18a_1 - 4590 = 8910$$<br>$$18a_1 = 13500$$<br>$$a_1 = 750$$</p>\n<p>Sprawdzenie: $a_{18} = 750 - 510 = 240$. Suma: $\\frac{18 \\cdot (750 + 240)}{2} = 9 \\cdot 990 = 8910$. ✓</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Zadania kontekstowe z ciągami pojawiają się prawie na każdej maturze. Schemat: (1) zidentyfikuj typ ciągu, (2) zapisz dane jako $a_1$, $r$/$q$, $n$, $a_n$, $S_n$, (3) ułóż równanie z dwóch znanych wzorów.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie $r = 30$ z $r = -30$. Skoro raty maleją, różnica jest <strong>ujemna</strong>. Drugi błąd: użycie wzoru $a_n = a_1 + n \\cdot r$ zamiast $a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r$ — w 18. wyrazie różnicę dodajemy <strong>17 razy</strong>, nie 18.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{5}{7}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - jedynka trygonometryczna</h4>\n<p>Korzystamy z podstawowego wzoru łączącego sinus i cosinus:</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]</p>\n<p>Podstawiamy dane \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\):</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\left(\\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^2 = 1\\]</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\frac{4 \\cdot 6}{49} = 1\\]</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\frac{24}{49} = 1\\]</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{24}{49} = \\frac{49}{49} - \\frac{24}{49} = \\frac{25}{49}\\]</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{25}{49}} = \\pm\\frac{5}{7}\\]</p>\n<p><strong>Ponieważ kąt \\(\\alpha\\) jest ostry</strong> (\\(0° &lt; \\alpha &lt; 90°\\)), sinus jest dodatni, zatem:</p>\n<p>\\[\\boxed{\\sin\\alpha = \\frac{5}{7}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - trójkąt prostokątny</h4>\n<p>Traktujemy \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\) jako stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej:</p>\n<p>\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległą}}{c} = \\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\]</p>\n<p>Przyjmujemy: przyległa \\(b = 2\\sqrt{6}\\), przeciwprostokątna \\(c = 7\\).</p>\n<p>Szukamy przeciwprostokątnej \\(a\\) (drugiej przyprostokątnej) z twierdzenia Pitagorasa:</p>\n<p>\\[a^2 = c^2 - b^2 = 7^2 - (2\\sqrt{6})^2 = 49 - 4 \\cdot 6 = 49 - 24 = 25\\]</p>\n<p>\\[a = 5\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c} = \\frac{5}{7}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong> - jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>To kluczowy wzór użyty w Sposobie 1 - pozwala wyznaczyć sinus, gdy znamy cosinus.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - definicja w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\]<br>Użyte w Sposobie 2 - interpretacja cosinusa jako stosunku boków.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Obliczono \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{24}{49}\\) i podano to jako wynik - zapomniano odjąć od 1 i wziąć pierwiastek |<br>| C | Obliczono poprawnie \\(\\sin^2\\alpha = \\frac{25}{49}\\), ale <strong>nie wzięto pierwiastka</strong> - podano \\(\\sin^2\\alpha\\) zamiast \\(\\sin\\alpha\\) |<br>| D | Przekształcono wzór błędnie: \\(\\sqrt{1 - \\cos\\alpha}\\) zamiast \\(\\sqrt{1 - \\cos^2\\alpha}\\) - mylenie cosinusa z jego kwadratem |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to zapomnienie o wzięciu pierwiastka na końcu - uczeń poprawnie liczy \\(\\sin^2\\alpha = \\frac{25}{49}\\) i podaje tę wartość jako odpowiedź (odpowiedź C).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że \\(\\left(\\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^2 = \\frac{4 \\cdot 6}{49} = \\frac{24}{49}\\), a NIE \\(\\frac{2 \\cdot 6}{49}\\) - potęgowanie dotyczy zarówno liczby 2, jak i \\(\\sqrt{6}\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Informacja &quot;kąt \\(\\alpha\\) jest ostry&quot; jest kluczowa - bez niej mielibyśmy dwa rozwiązania \\(\\pm\\frac{5}{7}\\). W zadaniach maturalnych zawsze zwracaj uwagę na ograniczenia kąta.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna (karta wzorów)</h5>\n<p>\\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\). Zatem:<br>\\[\\sin^{2}\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^{2} = 1 - \\dfrac{4\\cdot 6}{49} = 1 - \\dfrac{24}{49} = \\dfrac{25}{49}.\\]<br>Ponieważ kąt \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\sin\\alpha &gt; 0\\), więc:<br>\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{25}{49}} = \\dfrac{5}{7}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Trójkąt prostokątny</h5>\n<p>Zbudujmy trójkąt prostokątny z kątem \\(\\alpha\\): przyprostokątna przyległa = \\(2\\sqrt{6}\\), przeciwprostokątna = \\(7\\).<br>Z tw. Pitagorasa: druga przyprostokątna \\(= \\sqrt{7^{2} - (2\\sqrt{6})^{2}} = \\sqrt{49 - 24} = \\sqrt{25} = 5\\).<br>Zatem \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{5}{7}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> \\(\\tfrac{24}{49} = \\cos^{2}\\alpha\\) - to nie sinus.</li><li><strong>C.</strong> \\(\\tfrac{25}{49} = \\sin^{2}\\alpha\\) - brak pierwiastkowania.</li><li><strong>D.</strong> \\(\\tfrac{\\sqrt{6}}{7}\\) - zdający pomylił kwadrat z pierwiastkiem.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> zawsze oblicz \\(\\sin^{2}\\alpha = 1 - \\cos^{2}\\alpha\\) i pamiętaj o pierwiastkowaniu; dla ostrego kąta bierzemy znak plus.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od wyrażenia, które mamy obliczyć: $$E = \\begin{sin^4 \\alpha + \\sin^2 \\alpha \\cdot \\cos^2 \\alpha}.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Mamy dwie funkcje trygonometryczne, więc przyda się skorzystać ze wzorów tożsamości trygonometrycznych. Pamiętamy, że: $$\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Zauważmy, że możemy przekształcić $$\\cos^2 \\alpha$$ na $$1 - \\sin^2 \\alpha$$. Podstawiamy to do wyrażenia: $$E = \\sin^4 \\alpha + \\sin^2 \\alpha \\cdot (1 - \\sin^2 \\alpha).$$\\</li></ol>\n<ol><li>Rozwijamy to wyrażenie: $$E = \\sin^4 \\alpha + \\sin^2 \\alpha - \\sin^4 \\alpha.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Upraszczamy nasze wyrażenie: $$E = \\sin^2 \\alpha.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Teraz porównujemy nasze obliczone wyrażenie z odpowiedziami:\\</li></ol>\n<ul><li>A. $$\\sin^2 \\alpha$$\\</li><li>B. $$\\sin^6 \\alpha \\cdot \\cos^2 \\alpha$$\\</li><li>C. $$\\sin^4 \\alpha + 1$$\\</li><li>D. $$\\sin^2 \\alpha \\cdot (\\sin \\alpha + \\cos \\alpha) \\cdot (\\sin \\alpha - \\cos \\alpha)$$\\</li></ul>\n<ol><li>Widzimy, że nasza odpowiedź $$E$$ równa się odpowiedzi A. więc jest to poprawna odpowiedź.\\</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> A</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>sin^4α+sin^2αcos^2α<br>=sin^2α(sin^2α+cos^2α)<br>=sin^2α.</p>"}]}