{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba √-27\n16\n3\n⋅√2\n3\njest równa\nA. (-3\n2)\nB. 3\n2\nC. 2\n3\nD. (-2\n3)\n-2\n5\n𝑥\n\nMMAP-P0_100\nLiczba ∛-27/16 ⋅ ∛2 jest równa A. (-3/2) B. 3/2 C. 2/3 D. (-2/3).","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.4) stosuje związek pierwiastkowania\nz potęgowaniem oraz prawa działań na\npotęgach i pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nB","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nOblicz $\\sqrt[3]{-\\frac{27}{16}} \\cdot \\sqrt[3]{2}$.\n\nPołącz pierwiastki o tym samym stopniu w jeden. Dla pierwiastka $n$-tego stopnia:\n\n$$\\sqrt[n]{a} \\cdot \\sqrt[n]{b} = \\sqrt[n]{a \\cdot b}$$\n\nW naszym przypadku:\n\n$$\\sqrt[3]{-\\frac{27}{16}} \\cdot \\sqrt[3]{2} = \\sqrt[3]{-\\frac{27}{16} \\cdot 2} = \\sqrt[3]{-\\frac{54}{16}}$$\n\nUprość ułamek pod pierwiastkiem. $\\frac{54}{16} = \\frac{27}{8}$ (dzielimy przez $2$).\n\n$$\\sqrt[3]{-\\frac{54}{16}} = \\sqrt[3]{-\\frac{27}{8}}$$\n\nWyciągnij pierwiastek z ułamka. Znak idzie do licznika, pierwiastek liczymy osobno na liczniku i mianowniku:\n\n$$\\sqrt[3]{-\\frac{27}{8}} = -\\frac{\\sqrt[3]{27}}{\\sqrt[3]{8}}$$\n\nOblicz pierwiastki sześcienne. $\\sqrt[3]{27} = 3$ (bo $3^3 = 27$), $\\sqrt[3]{8} = 2$ (bo $2^3 = 8$).\n\n$$-\\frac{3}{2}$$\n\nPo co to umieć\n\nPierwiastki sześcienne i wyższych nieparzystych stopni działają z liczb ujemnych, w odróżnieniu od pierwiastka kwadratowego. To częsta pułapka — wartość bezwzględna nie jest potrzebna, znak idzie pod pierwiastek.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pominięcie znaku minus pod pierwiastkiem trzeciego stopnia. Pierwiastek nieparzysty z liczby ujemnej JEST określony i jest ujemny. $\\sqrt[3]{-8} = -2$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"pierwiastek sześcienny, działania na pierwiastkach, Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba √-27<br>16<br>3<br>⋅√2<br>3<br>jest równa<br>A. (-3<br>2)<br>B. 3<br>2<br>C. 2<br>3<br>D. (-2<br>3)<br>-2<br>5<br>𝑥</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Liczba ∛-27/16 ⋅ ∛2 jest równa A. (-3/2) B. 3/2 C. 2/3 D. (-2/3).</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>I. Sprawność rachunkowa.<br>Wykonywanie obliczeń na liczbach<br>rzeczywistych, także przy użyciu<br>kalkulatora, stosowanie praw działań<br>matematycznych przy przekształcaniu<br>wyrażeń algebraicznych oraz<br>wykorzystywanie tych umiejętności przy<br>rozwiązywaniu problemów w kontekstach<br>rzeczywistych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>I.4) stosuje związek pierwiastkowania<br>z potęgowaniem oraz prawa działań na<br>potęgach i pierwiastkach.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>A<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: A</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Oblicz $\\sqrt[3]{-\\frac{27}{16}} \\cdot \\sqrt[3]{2}$.</p>\n<p>Połącz pierwiastki o tym samym stopniu w jeden. Dla pierwiastka $n$-tego stopnia:</p>\n<p>$$\\sqrt[n]{a} \\cdot \\sqrt[n]{b} = \\sqrt[n]{a \\cdot b}$$</p>\n<p>W naszym przypadku:</p>\n<p>$$\\sqrt[3]{-\\frac{27}{16}} \\cdot \\sqrt[3]{2} = \\sqrt[3]{-\\frac{27}{16} \\cdot 2} = \\sqrt[3]{-\\frac{54}{16}}$$</p>\n<p>Uprość ułamek pod pierwiastkiem. $\\frac{54}{16} = \\frac{27}{8}$ (dzielimy przez $2$).</p>\n<p>$$\\sqrt[3]{-\\frac{54}{16}} = \\sqrt[3]{-\\frac{27}{8}}$$</p>\n<p>Wyciągnij pierwiastek z ułamka. Znak idzie do licznika, pierwiastek liczymy osobno na liczniku i mianowniku:</p>\n<p>$$\\sqrt[3]{-\\frac{27}{8}} = -\\frac{\\sqrt[3]{27}}{\\sqrt[3]{8}}$$</p>\n<p>Oblicz pierwiastki sześcienne. $\\sqrt[3]{27} = 3$ (bo $3^3 = 27$), $\\sqrt[3]{8} = 2$ (bo $2^3 = 8$).</p>\n<p>$$-\\frac{3}{2}$$</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Pierwiastki sześcienne i wyższych nieparzystych stopni działają z liczb ujemnych, w odróżnieniu od pierwiastka kwadratowego. To częsta pułapka — wartość bezwzględna nie jest potrzebna, znak idzie pod pierwiastek.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: pominięcie znaku minus pod pierwiastkiem trzeciego stopnia. Pierwiastek nieparzysty z liczby ujemnej JEST określony i jest ujemny. $\\sqrt[3]{-8} = -2$.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{64}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Schemat Bernoullego (wprost)</h4>\n<p>Mamy <strong>5 niezależnych partii</strong> (prób Bernoullego), gdzie:</p>\n<ul><li>\\(p = \\frac{1}{4}\\) - prawdopodobieństwo wygranej Tomka w jednej partii</li><li>\\(q = 1 - p = \\frac{3}{4}\\) - prawdopodobieństwo przegranej Tomka w jednej partii</li></ul>\n<p><strong>„Co najmniej cztery&quot;</strong> znaczy: dokładnie 4 lub dokładnie 5 wygranych.</p>\n<p>\\[P = P_5(4) + P_5(5)\\]</p>\n<p><strong>Krok 1: Dokładnie 4 wygrane</strong></p>\n<p>Korzystamy ze wzoru Bernoullego:<br>\\[P_5(4) = \\binom{5}{4} \\cdot \\left(\\frac{1}{4}\\right)^4 \\cdot \\left(\\frac{3}{4}\\right)^1\\]</p>\n<p>\\[P_5(4) = 5 \\cdot \\frac{1}{256} \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{15}{1024}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Dokładnie 5 wygranych (wszystkie partie)</strong></p>\n<p>\\[P_5(5) = \\binom{5}{5} \\cdot \\left(\\frac{1}{4}\\right)^5 \\cdot \\left(\\frac{3}{4}\\right)^0 = 1 \\cdot \\frac{1}{1024} \\cdot 1 = \\frac{1}{1024}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Suma</strong></p>\n<p>\\[P = \\frac{15}{1024} + \\frac{1}{1024} = \\frac{16}{1024} = \\boxed{\\frac{1}{64}}\\]</p>\n<p>Sprawdzamy nieskracalność: \\(\\text{NWD}(1, 64) = 1\\) - ułamek jest nieskracalny. ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez zdarzenie uzupełniające</h4>\n<p>Zamiast liczyć \\(P(\\text{co najmniej 4})\\) bezpośrednio, możemy sprawdzić wynik przez uzupełnienie:</p>\n<p>\\[P(\\text{co najmniej 4}) = 1 - P(\\text{co najwyżej 3})\\]</p>\n<p>Policzmy \\(P(\\text{co najwyżej 3}) = P_5(0) + P_5(1) + P_5(2) + P_5(3)\\):</p>\n<p>\\[P_5(0) = \\binom{5}{0}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^0\\left(\\frac{3}{4}\\right)^5 = \\frac{243}{1024}\\]</p>\n<p>\\[P_5(1) = \\binom{5}{1}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^1\\left(\\frac{3}{4}\\right)^4 = 5 \\cdot \\frac{81}{1024} = \\frac{405}{1024}\\]</p>\n<p>\\[P_5(2) = \\binom{5}{2}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^2\\left(\\frac{3}{4}\\right)^3 = 10 \\cdot \\frac{27}{1024} = \\frac{270}{1024}\\]</p>\n<p>\\[P_5(3) = \\binom{5}{3}\\left(\\frac{1}{4}\\right)^3\\left(\\frac{3}{4}\\right)^2 = 10 \\cdot \\frac{9}{1024} = \\frac{90}{1024}\\]</p>\n<p>Suma:</p>\n<p>\\[P(\\text{co najwyżej 3}) = \\frac{243 + 405 + 270 + 90}{1024} = \\frac{1008}{1024}\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[P(\\text{co najmniej 4}) = 1 - \\frac{1008}{1024} = \\frac{16}{1024} = \\frac{1}{64}\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - Schemat Bernoullego:</p>\n<p>\\[P_n(k) = \\binom{n}{k} \\cdot p^k \\cdot q^{n-k}\\]</p>\n<p>gdzie \\(n\\) - liczba prób, \\(k\\) - liczba sukcesów, \\(p\\) - prawdopodobieństwo sukcesu, \\(q = 1 - p\\).</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru dla \\(n = 5\\), \\(p = \\frac{1}{4}\\), \\(k \\in \\{4, 5\\}\\).</p>\n<p><strong>Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)</strong>:</p>\n<p>\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]</p>\n<p>Konkretnie: \\(\\binom{5}{4} = 5\\), \\(\\binom{5}{5} = 1\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> „Co najmniej cztery&quot; to NIE jest to samo co „dokładnie cztery&quot; - nie zapomnij dodać przypadku pięciu wygranych! To najczęstszy błąd w tego typu zadaniach.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź, czy \\(q = 1 - p = \\frac{3}{4}\\), a nie \\(q = p = \\frac{1}{4}\\). Mylenie \\(p\\) i \\(q\\) to klasyczna pomyłka pod presją egzaminu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Upewnij się, że ułamek jest nieskracalny - treść zadania wyraźnie o to prosi! \\(\\frac{16}{1024}\\) skraca się do \\(\\frac{1}{64}\\), bo \\(16 \\cdot 64 = 1024\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(P = \\dfrac{1}{64}\\)</p>\n<h5>Sposób 1 (schemat Bernoullego)</h5>\n<p><strong>Krok 1. Definiujemy model.</strong></p>\n<p>Każda partia to próba Bernoullego z prawdopodobieństwem sukcesu \\(p = \\dfrac{1}{4}\\) i porażki \\(q = 1 - p = \\dfrac{3}{4}\\). Liczba partii \\(n = 5\\).</p>\n<p>Niech \\(S_{5}^{k}\\) oznacza zdarzenie polegające na wygraniu przez Tomka dokładnie \\(k\\) partii spośród \\(5\\).</p>\n<p><strong>Krok 2. Obliczamy prawdopodobieństwo \\(P\\).</strong></p>\n<p>Tomek ma wygrać co najmniej \\(4\\) partie, czyli dokładnie \\(4\\) lub dokładnie \\(5\\):<br>\\[P = P(S_{5}^{4}) + P(S_{5}^{5})\\]</p>\n<p>Ze wzoru Bernoullego:<br>\\[P(S_{5}^{4}) = \\binom{5}{4} \\cdot \\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^{4} \\cdot \\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{1} = 5 \\cdot \\dfrac{1}{256} \\cdot \\dfrac{3}{4} = \\dfrac{15}{1024}\\]</p>\n<p>\\[P(S_{5}^{5}) = \\binom{5}{5} \\cdot \\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^{5} = \\dfrac{1}{1024}\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[P = \\dfrac{15}{1024} + \\dfrac{1}{1024} = \\dfrac{16}{1024} = \\dfrac{1}{64}\\]</p>\n<h5>Sposób 2 (przez zdarzenie przeciwne)</h5>\n<p>Zdarzenie przeciwne \\(A&#x27;\\) - Tomek wygrywa co najwyżej \\(3\\) partie:<br>\\[P(A&#x27;) = \\sum_{k=0}^{3} \\binom{5}{k} \\left(\\dfrac{1}{4}\\right)^{k} \\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{5-k}\\]</p>\n<p>Obliczenie daje \\(P(A&#x27;) = \\dfrac{243 + 405 + 270 + 90}{1024} = \\dfrac{1008}{1024} = \\dfrac{63}{64}\\).</p>\n<p>Zatem:<br>\\[P(A) = 1 - \\dfrac{63}{64} = \\dfrac{1}{64}\\]</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>\\(3\\) pkt - poprawna metoda i wynik \\(\\dfrac{1}{64}\\).</li><li>\\(2\\) pkt - zapisanie poprawnego wyrażenia, np. \\(P = \\binom{5}{4}\\left(\\tfrac{1}{4}\\right)^{4}\\left(\\tfrac{3}{4}\\right) + \\binom{5}{5}\\left(\\tfrac{1}{4}\\right)^{5}\\).</li><li>\\(1\\) pkt - zapisanie \\(p = \\tfrac{1}{4}\\), \\(q = \\tfrac{3}{4}\\) ALBO zapisanie wyrażenia \\(p^{5} + 5p^{4}q\\) ALBO odpowiedni fragment drzewa prawdopodobieństwa.</li><li>Błąd w prawdopodobieństwie porażki - max \\(1\\) punkt.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> „Co najmniej \\(k\\)&quot; = suma dla \\(k, k+1, \\ldots, n\\); gdy \\(k\\) jest blisko \\(n\\), licz bezpośrednio. Gdy \\(k\\) jest blisko \\(0\\), łatwiej przez zdarzenie przeciwne. Tu liczymy wprost - tylko dwa wyrazy.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, obliczamy wartość wyrażenia: $-\\displaystyle\\frac{27}{16} \\cdot 2 = -\\frac{54}{16} =- \\frac{27}{8}$, a następnie $\\sqrt[3]{-\\frac{27}{8}} = -\\frac{3}{2}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>√3/(16))·√3<br>=√3/(16))<br>=√3/(8))<br>=-(3)/(2).</p>"}]}