Zadanie 20. (0-1)
W rombie o boku długości 6√2 kąt rozwarty ma miarę 150°.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy
A. 24
B. 72
C. 36
D. 36√2
W rombie o boku długości 6√2 kąt rozwarty ma miarę 150°. Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy A. 24 B. 72 C. 36 D. 36√2
Zadanie 20. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
VIII.4) korzysta z własności kątów
i przekątnych w […] rombach […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
B
D
Odpowiedź: D
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nWyznacz $\\tan \\alpha$ dla kąta z wierzchołkiem w $O$, jedno ramię na osi $Ox$, drugie przez $P = (-3, 1)$.
\nSkorzystaj z definicji tangensa z punktu na ramieniu. Jeśli punkt $P = (x, y)$ leży na ramieniu kąta (różny od początku układu), to:
\n$$\\tan \\alpha = \\frac{y}{x}$$
\nPodstaw: $x = -3$, $y = 1$:
\n$$\\tan \\alpha = \\frac{1}{-3} = -\\frac{1}{3}$$
\nSprawdzenie geometryczne. Punkt $P = (-3, 1)$ leży w II ćwiartce → kąt $\\alpha$ jest rozwarty (między $90°$ a $180°$). W II ćwiartce $\\tan < 0$ ✓.
\nPo co to umieć
\nDefinicja funkcji trygonometrycznych przez punkt na ramieniu kąta:
\n$$\\sin \\alpha = \\frac{y}{r}, \\quad \\cos \\alpha = \\frac{x}{r}, \\quad \\tan \\alpha = \\frac{y}{x}$$
\ngdzie $r = \\sqrt{x^2 + y^2}$. To uniwersalna definicja działająca dla dowolnego kąta (nie tylko ostrego).
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: $\\tan \\alpha = \\frac{x}{y}$ zamiast $\\frac{y}{x}$. Definicja: tangens = sinus przez cosinus = $\\frac{y}{x}$ dla punktu $(x, y)$ na ramieniu.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Figury podobne mają pola w stosunku \\(k^2\\), gdzie \\(k\\) to skala podobieństwa (stosunek odpowiadających sobie boków).
\nKrok 1: wyznacz stosunek pól.
\n\\[\\frac{P_{T_1}}{P_{T_2}} = \\frac{52}{13} = 4\\]
\nKrok 2: wyznacz skalę podobieństwa \\(k\\).
\nSkoro \\(k^2 = 4\\), to:
\\[k = \\sqrt{4} = 2\\]
Oznacza to, że każdy bok \\(T_1\\) jest 2 razy dłuższy od odpowiadającego boku \\(T_2\\).
\nKrok 3: wyznacz obwód \\(T_2\\).
\nObwody figur podobnych są w tym samym stosunku co skala \\(k\\):
\\[\\frac{O_{T_1}}{O_{T_2}} = k = 2\\]
\\[O_{T_2} = \\frac{O_{T_1}}{k} = \\frac{36}{2} = \\mathbf{18}\\]
\nZamiast wyznaczać \\(k\\) osobno, można skorzystać z proporcji między obwodami a pierwiastkiem ze stosunku pól.
\nObwody są proporcjonalne do skali, a skala to \\(\\sqrt{\\frac{P_1}{P_2}}\\):
\n\\[\\frac{O_{T_1}}{O_{T_2}} = \\sqrt{\\frac{P_{T_1}}{P_{T_2}}}\\]
\n\\[\\frac{36}{O_{T_2}} = \\sqrt{\\frac{52}{13}} = \\sqrt{4} = 2\\]
\n\\[O_{T_2} = \\frac{36}{2} = \\mathbf{18}\\]
\nWynik ten samym: obwód \\(T_2\\) wynosi \\(\\mathbf{18}\\).
\nDział 10 (Planimetria, s. 21) - pola figur podobnych:
\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]
gdzie \\(k\\) to skala podobieństwa (stosunek odpowiadających sobie długości).
\nZ tej własności wynika, że stosunek obwodów (i wszystkich długości) figur podobnych wynosi \\(k\\), a stosunek pól - \\(k^2\\). Właśnie tego używaliśmy w obu sposobach.
\n| Odp. | Typowy błąd |
| B - \\(9\\) | Podzielono obwód przez \\(k^2 = 4\\) zamiast przez \\(k = 2\\). Uczeń myli skalę pól ze skalą długości. |
| C - \\(\\frac{169}{9}\\) | Liczenie bez sensu fizycznego - prawdopodobnie wzięto \\(\\frac{O_{T_1}^2}{P_{T_1}} \\cdot P_{T_2}\\) lub podobny błędny przepis. |
| D - \\(\\frac{52}{3}\\) | Prawdopodobnie obliczono \\(\\frac{P_{T_1}}{P_{T_2}} \\cdot k\\) lub pomylono wzory dla pola i obwodu bez wyciągnięcia pierwiastka. |
⚠️ Uwaga: Pola figur podobnych są w stosunku \\(k^2\\), a obwody w stosunku \\(k\\). Najczęstszy błąd to dzielenie obwodu przez \\(k^2\\) zamiast przez \\(k\\) - czyli pomylenie skali pól ze skalą długości.\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(k\\) to zawsze stosunek "większej do mniejszej" (lub odwrotnie - ważna jest konsekwencja). Tutaj \\(T_1\\) ma większe pole, więc \\(k = \\frac{O_{T_1}}{O_{T_2}} = 2 > 1\\), i \\(O_{T_2}\\) musi być mniejszy od \\(O_{T_1}\\).\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(k = \\sqrt{\\frac{P_1}{P_2}}\\) działa dla DOWOLNYCH podobnych figur (trójkątów, trapezów, kół, wielokątów prawidłowych) - nie tylko dla trapezów. Zapamiętaj go raz na zawsze!\n
Poprawna odpowiedź: A
\nJeśli dwie figury są podobne ze skalą \\(k\\) (stosunek długości), to:
\nTutaj \\(\\dfrac{P_{T_{2}}}{P_{T_{1}}} = \\dfrac{13}{52} = \\dfrac{1}{4}\\), więc \\(k^{2} = \\tfrac{1}{4}\\), skąd \\(k = \\tfrac{1}{2}\\).
\nStosunek obwodów: \\(\\dfrac{\\text{Obw}{T{2}}}{\\text{Obw}{T{1}}} = k = \\dfrac{1}{2}\\).
Stąd \\(\\text{Obw}{T{2}} = \\tfrac{1}{2} \\cdot 36 = 18\\).
Skala: \\(k = \\sqrt{\\tfrac{P_{2}}{P_{1}}} = \\sqrt{\\tfrac{13}{52}} = \\sqrt{\\tfrac{1}{4}} = \\tfrac{1}{2}\\).
Obwód: \\(36 \\cdot \\tfrac{1}{2} = 18\\).
Trik: figury podobne - stosunek obwodów to \\(k\\), stosunek pól to \\(k^{2}\\). Aby przejść z pól do obwodów, bierzemy pierwiastek kwadratowy.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, ponieważ iloczyn długości przekątnych rombu obliczamy w następujący sposób: ${d_1 \\cdot d_2 = 2\\cdot(6\\sqrt{2})^2 \\cdot \\sin150^\\circ = 2\\cdot72 \\cdot \\frac{1}{2} = 72}$.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"Pole rombu:
\nP=a^2sin150^°
=(6√(2))^2·(1)/(2)
=72·(1)/(2)=36.
Ponieważ
\nP=(d_1d_2)/(2),
\nto
\nd_1d_2=2P=72.
"}]}