Zadanie 21. (0-1)
Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂.
Kąt 𝐴𝐶𝑂 ma miarę 70° (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie.
Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego 𝐴𝐵𝐶 jest równa
A. 10°
B. 20°
C. 35°
D. 40°
𝐴
𝐶
𝐵
𝑂
70°
MMAP-P0_100
Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt ACO ma miarę 70° (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta ostrego ABC jest równa A. 10° B. 20° C. 35° D. 40°
Zadanie 21. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
VIII.5) stosuje własności kątów wpisanych
i środkowych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
B
C
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Odpowiedź: A
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nUprość $\\sin^4 \\alpha + \\sin^2 \\alpha \\cdot \\cos^2 \\alpha$.
\nZauważ wspólny czynnik $\\sin^2 \\alpha$ w obu składnikach:
\n$$\\sin^4 \\alpha = \\sin^2 \\alpha \\cdot \\sin^2 \\alpha$$
\nWyłącz $\\sin^2 \\alpha$ przed nawias:
\n$$\\sin^4 \\alpha + \\sin^2 \\alpha \\cdot \\cos^2 \\alpha = \\sin^2 \\alpha \\cdot (\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha)$$
\nUżyj jedynki trygonometrycznej. Dla każdego kąta $\\alpha$:
\n$$\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$$
\nZatem:
\n$$\\sin^2 \\alpha \\cdot 1 = \\sin^2 \\alpha$$
\nPo co to umieć
\nJedynka trygonometryczna $\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$ to najczęściej używana tożsamość trygonometryczna na maturze. Patrz na wyrażenie — jeśli widzisz sumę $\\sin^2$ i $\\cos^2$, prawie zawsze da się skrócić do $1$.
\nKlucz przy tego typu uproszczeniach: wyłącz wspólny czynnik, sprawdź czy w nawiasie nie jest właśnie jedynka trygonometryczna.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: próba sumowania w wyrazach albo zamiany na pierwiastek. Klucz: wyłącz wspólny czynnik $\\sin^2 \\alpha$, a nawias upraszcza się do $1$ przez jedynkę trygonometryczną.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Obwód wycinka koła to nie tylko łuk - to łuk plus dwa promienie ograniczające wycinek.
\nKrok 1: Długość łuku
\nZe wzoru na długość łuku kąta środkowego \\(\\alpha\\):
\\[L_{\\text{łuku}} = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]
Podstawiamy \\(\\alpha = 30°\\), \\(r = 3\\):
\\[L_{\\text{łuku}} = \\frac{30°}{360°} \\cdot 2\\pi \\cdot 3 = \\frac{1}{12} \\cdot 6\\pi = \\frac{1}{2}\\pi\\]
Krok 2: Dwa promienie
\nWycinek jest ograniczony dwoma promieniami, każdy długości \\(r = 3\\):
\\[L_{\\text{promieni}} = 2 \\cdot 3 = 6\\]
Krok 3: Obwód wycinka
\n\\[L_{\\text{wycinka}} = L_{\\text{łuku}} + L_{\\text{promieni}} = \\frac{1}{2}\\pi + 6\\]
\nOdpowiedź: \\(\\dfrac{1}{2}\\pi + 6\\)
\nObwód całego koła (pełny kąt \\(360°\\)):
\\[L_{\\text{koła}} = 2\\pi r = 2\\pi \\cdot 3 = 6\\pi\\]
Łuk stanowi \\(\\frac{30°}{360°} = \\frac{1}{12}\\) obwodu koła:
\\[L_{\\text{łuku}} = \\frac{1}{12} \\cdot 6\\pi = \\frac{\\pi}{2}\\]
Teraz pamiętamy doliczyć dwa promienie:
\\[L_{\\text{wycinka}} = \\frac{\\pi}{2} + 2 \\cdot 3 = \\frac{1}{2}\\pi + 6 \\checkmark\\]
Wynik zgodny z odpowiedzią D.
\nDział 10 (Planimetria, s. 19) - długość łuku koła:
\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]
Użyliśmy tego w Kroku 1 do wyznaczenia długości łuku wycinającego kąt \\(30°\\).
Dział 10 (Planimetria, s. 18) - obwód koła:
\\[L = 2\\pi r\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 jako punkt wyjścia do proporcji.
| Odp. | Błąd |
| A | Policzono \\(\\frac{30°}{360°} \\cdot 2\\pi \\cdot 3\\) z błędnym uproszczeniem: \\(\\frac{1}{12} \\cdot 6\\pi = \\frac{3}{4}\\pi\\) - błąd arytmetyczny (\\(\\frac{6}{12} = \\frac{1}{2}\\), nie \\(\\frac{3}{4}\\)) |
| B | Poprawnie obliczono długość łuku \\(\\frac{1}{2}\\pi\\), ale zapomniano doliczyć dwa promienie - to najczęstszy błąd |
| C | Wzięto błędną długość łuku \\(\\frac{3}{4}\\pi\\) (jak w A) i dodano promienie \\(+6\\) |
⚠️ Uwaga: Obwód wycinka ≠ długość łuku! Wycinek jest ograniczony trzema krawędziami: łukiem i dwoma promieniami. Zawsze dolicz \\(2r\\).\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(\\frac{30}{360} \\cdot 6\\pi\\) uważaj na skracanie: \\(\\frac{30}{360} = \\frac{1}{12}\\), a \\(\\frac{1}{12} \\cdot 6 = \\frac{6}{12} = \\frac{1}{2}\\), nie \\(\\frac{3}{4}\\).\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić obwodu wycinka z polem wycinka - to dwa różne wzory, oba są na karcie wzorów na s. 19.\n
Poprawna odpowiedź: D
\nDługość łuku o kącie \\(\\alpha\\) stopni i promieniu \\(r\\):
\\[\\ell = \\dfrac{\\alpha}{360^{\\circ}} \\cdot 2\\pi r.\\]
Dla \\(\\alpha = 30^{\\circ}\\), \\(r = 3\\):
\\[\\ell = \\dfrac{30}{360}\\cdot 2\\pi\\cdot 3 = \\dfrac{1}{12}\\cdot 6\\pi = \\dfrac{1}{2}\\pi.\\]
Obwód wycinka: łuk + dwa promienie ograniczające:
\\[\\text{Obw} = \\ell + 2r = \\dfrac{1}{2}\\pi + 6.\\]
\\(30^{\\circ} = \\tfrac{\\pi}{6}\\) rad. Łuk: \\(\\ell = r\\cdot\\alpha_{\\text{rad}} = 3\\cdot\\tfrac{\\pi}{6} = \\tfrac{\\pi}{2}\\). Dalej + 2r = 6.
\nTrik: obwód wycinka to zawsze: łuk + \\(2r\\). Łuk sam w sobie to jedynie krzywa, nie obwód figury zamkniętej.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, kąt wpisany $ABC$ jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy $AOC$, zatem $|\\sphericalangle ABC|=\\displaystyle\\frac{1}{2}|\\sphericalangle AOC|$. Miara kąta $AOC$ wynosi $40^{\\circ}$, ponieważ trójkąt $AOC$ jest równoramienny , stąd: ${|\\sphericalangle ABC|=\\displaystyle\\frac{1}{2}\\cdot40^{\\circ}=20^{\\circ}}$.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"Trójkąt AOC jest równoramienny, więc
\n∠ OAC=∠ ACO=70^°.
\nZatem
\n∠ AOC=180^°-140^°=40^°.
\nKąt wpisany ABC , oparty na tym samym łuku AC , ma miarę
\n(40^°)/(2)=20^°.
"}]}