{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-2)\nTrójkąty prostokątne 𝑇1 i 𝑇2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta 𝑇1 mają\ndługości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta 𝑇2 ma długość 26.\nOblicz pole trójkąta 𝑻𝟐. Zapisz obliczenia.\n22.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nTrójkąty prostokątne T_1 i T_2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta T_1 mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta T_2 ma długość 26. Oblicz pole trójkąta T_2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.8) korzysta z cech podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda i obliczenie pola trójkąta 𝑇2: 𝑃2 = 120.\n1 pkt - wykorzystanie podobieństwa trójkątów i zapisanie układu równań/równania\npozwalającego obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.\n𝑎2\n𝑏2 = 12\n5 i 𝑎2\n2 + 𝑏2\n2 = 262, (12𝑥)2 + (5𝑥)2 = 262\nALBO\n- zapisanie stosunku pól trójkątów 𝑇1 i 𝑇2: 𝑃1\n𝑃2 = (\n|𝐵𝐶|\n26 )\n2\n(lub 𝑃2\n𝑃1 = ( 26\n|𝐵𝐶|)\n2\n) oraz\nobliczenie długości odcinka 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = 13,\nALBO\n- obliczenie/zapisanie skali podobieństwa trójkątów, np. 𝑘=\n|𝐸𝐹|\n|𝐵𝐶| = 2\n(lub 𝑘=\n|𝐵𝐶|\n|𝐸𝐹| = 1\n2),\nALBO\n- obliczenie/zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 : 10, 24,\nALBO\n- obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie układu\nrównań pozwalającego obliczyć długości 𝑎2, 𝑏2 przyprostokątnych trójkąta 𝑇2, np.\n𝑐1 = 13 i 13\n12 = 26\n𝑎2\ni 13\n5 = 26\n𝑏2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nDługości przyprostokątnych trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 oznaczymy odpowiednio jako: 𝑎1, 𝑏1 oraz\n𝑎2, 𝑏2 . Z podobieństwa trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 wynika, że stosunki odpowiednich boków są\nrówne:\n𝑎2\n𝑏2\n= 𝑎1\n𝑏1\ngdzie 𝑎1 = 12, 𝑏1 = 5\nZatem\n𝑎2\n𝑏2\n= 12\n5 więc 𝑏2 = 5\n12 𝑎2\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇2 mamy:\n𝑎2\n2 + 𝑏2\n2 = 262\n𝑎2\n2 + ( 5\n12)\n2\n𝑎2\n2 = 262\n169\n144 𝑎2\n2 = 262\n𝑎2 = √144\n169 ⋅26 = 24\nZatem 𝑏2 = 5\n12 ⋅24 = 10.\nObliczamy pole trójkąta 𝑇2:\n𝑃2 = 1\n2 ⋅𝑎2 ⋅𝑏2 = 1\n2 ⋅24 ⋅10 = 120\nSposób II\nOznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶, gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego\ntrójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷, 𝐸, 𝐹, gdzie\n𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy\n|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2\n122 + 52 = |𝐵𝐶|2\n|𝐵𝐶|2 = 169\n|𝐵𝐶| = 13\nObliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1:\n𝑘= |𝐸𝐹|\n|𝐵𝐶| = 26\n13 = 2\nObliczamy długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2:\n|𝐷𝐸| = 2 ⋅|𝐴𝐵| = 2 ⋅12 = 24\n|𝐷𝐹| = 2 ⋅|𝐴𝐶| = 2 ⋅5 = 10\nObliczamy pole trójkąta 𝑇2:\n𝑃2 = 1\n2 ⋅|𝐷𝐸| ⋅|𝐷𝐹| = 1\n2 ⋅24 ⋅10 = 120\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n26\n5\n12\n𝐴\n𝐵\n𝐶\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nOznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶, gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego\ntrójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷, 𝐸, 𝐹, gdzie\n𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy\n|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2\n122 + 52 = |𝐵𝐶|2\n|𝐵𝐶|2 = 169\n|𝐵𝐶| = 13\nObliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1:\n𝑘= |𝐸𝐹|\n|𝐵𝐶| = 26\n13 = 2\nObliczamy pole 𝑃1 trójkąta 𝑇1:\n𝑃1 = 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝐶| = 1\n2 ⋅12 ⋅5 = 30\nKorzystając z tego, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali\npodobieństwa, obliczamy pole 𝑃2 trójkąta 𝑇2:\n𝑃2\n𝑃1\n= 𝑘2\nZatem\n𝑃2 = 𝑘2 ⋅𝑃1 = 22 ⋅30 = 120\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n26\n5\n12\n𝐴\n𝐵\n𝐶","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nIloczyn $d_1 \\cdot d_2$ przekątnych rombu o boku $a = 6\\sqrt{2}$ i kącie $\\alpha = 150°$.\n\nZapisz dwa wzory na pole rombu — jeden z bokiem i kątem, drugi z przekątnymi:\n\n$$P = a^2 \\cdot \\sin \\alpha$$\n\n$$P = \\frac{1}{2} d_1 \\cdot d_2$$\n\nOblicz pole z pierwszego wzoru.\n\n$a = 6\\sqrt{2}$, więc $a^2 = (6\\sqrt{2})^2 = 36 \\cdot 2 = 72$.\n\n$\\sin 150° = \\sin(180° - 30°) = \\sin 30° = \\frac{1}{2}$.\n\n$$P = 72 \\cdot \\frac{1}{2} = 36$$\n\nPorównaj wzory i wyznacz iloczyn przekątnych:\n\n$$36 = \\frac{1}{2} d_1 \\cdot d_2$$\n\n$$d_1 \\cdot d_2 = 72$$\n\nPo co to umieć\n\nDwa wzory na pole rombu:\n- $P = a^2 \\sin \\alpha$ (z boku i kąta)\n- $P = \\frac{1}{2} d_1 d_2$ (z przekątnych)\n- $P = a \\cdot h$ (z boku i wysokości)\n\nWszystkie liczą to samo pole — można porównywać między sobą, by wyznaczyć brakujące wielkości.\n\nWartości $\\sin$ kątów rozwartych: $\\sin(180° - x) = \\sin x$. Dlatego $\\sin 150° = \\sin 30° = \\frac{1}{2}$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie wzoru na pole rombu z bokiem ($a^2 \\sin \\alpha$) ze wzorem z przekątnymi ($\\frac{1}{2} d_1 d_2$). Klucz: oba wzory liczą **to samo pole**, więc można je porównać.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"romb, pole, iloczyn przekątnych, Figury podobne, planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 22. (0-2)<br>Trójkąty prostokątne 𝑇1 i 𝑇2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta 𝑇1 mają<br>długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta 𝑇2 ma długość 26.<br>Oblicz pole trójkąta 𝑻𝟐. Zapisz obliczenia.<br>22.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Trójkąty prostokątne T_1 i T_2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta T_1 mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta T_2 ma długość 26. Oblicz pole trójkąta T_2.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VIII.8) korzysta z cech podobieństwa<br>trójkątów.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawna metoda i obliczenie pola trójkąta 𝑇2: 𝑃2 = 120.<br>1 pkt - wykorzystanie podobieństwa trójkątów i zapisanie układu równań/równania<br>pozwalającego obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.<br>𝑎2<br>𝑏2 = 12<br>5 i 𝑎2<br>2 + 𝑏2<br>2 = 262, (12𝑥)2 + (5𝑥)2 = 262<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie stosunku pól trójkątów 𝑇1 i 𝑇2: 𝑃1</li></ul>\n<p>𝑃2 = (<br>|𝐵𝐶|<br>26 )<br>2<br>(lub 𝑃2<br>𝑃1 = ( 26<br>|𝐵𝐶|)<br>2<br>) oraz<br>obliczenie długości odcinka 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = 13,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie/zapisanie skali podobieństwa trójkątów, np. 𝑘=</li></ul>\n<p>|𝐸𝐹|<br>|𝐵𝐶| = 2<br>(lub 𝑘=<br>|𝐵𝐶|<br>|𝐸𝐹| = 1<br>2),<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie/zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 : 10, 24,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie układu</li></ul>\n<p>równań pozwalającego obliczyć długości 𝑎2, 𝑏2 przyprostokątnych trójkąta 𝑇2, np.<br>𝑐1 = 13 i 13<br>12 = 26<br>𝑎2<br>i 13<br>5 = 26<br>𝑏2<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Długości przyprostokątnych trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 oznaczymy odpowiednio jako: 𝑎1, 𝑏1 oraz<br>𝑎2, 𝑏2 . Z podobieństwa trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 wynika, że stosunki odpowiednich boków są<br>równe:<br>𝑎2<br>𝑏2<br>= 𝑎1<br>𝑏1<br>gdzie 𝑎1 = 12, 𝑏1 = 5<br>Zatem<br>𝑎2<br>𝑏2<br>= 12<br>5 więc 𝑏2 = 5<br>12 𝑎2<br>Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇2 mamy:<br>𝑎2<br>2 + 𝑏2<br>2 = 262<br>𝑎2<br>2 + ( 5<br>12)<br>2<br>𝑎2<br>2 = 262<br>169<br>144 𝑎2<br>2 = 262<br>𝑎2 = √144<br>169 ⋅26 = 24<br>Zatem 𝑏2 = 5<br>12 ⋅24 = 10.<br>Obliczamy pole trójkąta 𝑇2:<br>𝑃2 = 1<br>2 ⋅𝑎2 ⋅𝑏2 = 1<br>2 ⋅24 ⋅10 = 120<br>Sposób II<br>Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶, gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego<br>trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷, 𝐸, 𝐹, gdzie<br>𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.<br>Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy<br>|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2<br>122 + 52 = |𝐵𝐶|2<br>|𝐵𝐶|2 = 169<br>|𝐵𝐶| = 13<br>Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1:<br>𝑘= |𝐸𝐹|<br>|𝐵𝐶| = 26<br>13 = 2<br>Obliczamy długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2:<br>|𝐷𝐸| = 2 ⋅|𝐴𝐵| = 2 ⋅12 = 24<br>|𝐷𝐹| = 2 ⋅|𝐴𝐶| = 2 ⋅5 = 10<br>Obliczamy pole trójkąta 𝑇2:<br>𝑃2 = 1<br>2 ⋅|𝐷𝐸| ⋅|𝐷𝐹| = 1<br>2 ⋅24 ⋅10 = 120<br>𝐷<br>𝐸<br>𝐹<br>26<br>5<br>12<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób III<br>Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶, gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego<br>trójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷, 𝐸, 𝐹, gdzie<br>𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.<br>Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy<br>|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2<br>122 + 52 = |𝐵𝐶|2<br>|𝐵𝐶|2 = 169<br>|𝐵𝐶| = 13<br>Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1:<br>𝑘= |𝐸𝐹|<br>|𝐵𝐶| = 26<br>13 = 2<br>Obliczamy pole 𝑃1 trójkąta 𝑇1:<br>𝑃1 = 1<br>2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝐶| = 1<br>2 ⋅12 ⋅5 = 30<br>Korzystając z tego, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali<br>podobieństwa, obliczamy pole 𝑃2 trójkąta 𝑇2:<br>𝑃2<br>𝑃1<br>= 𝑘2<br>Zatem<br>𝑃2 = 𝑘2 ⋅𝑃1 = 22 ⋅30 = 120<br>𝐷<br>𝐸<br>𝐹<br>26<br>5<br>12<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: B</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Iloczyn $d_1 \\cdot d_2$ przekątnych rombu o boku $a = 6\\sqrt{2}$ i kącie $\\alpha = 150°$.</p>\n<p>Zapisz dwa wzory na pole rombu — jeden z bokiem i kątem, drugi z przekątnymi:</p>\n<p>$$P = a^2 \\cdot \\sin \\alpha$$</p>\n<p>$$P = \\frac{1}{2} d_1 \\cdot d_2$$</p>\n<p>Oblicz pole z pierwszego wzoru.</p>\n<p>$a = 6\\sqrt{2}$, więc $a^2 = (6\\sqrt{2})^2 = 36 \\cdot 2 = 72$.</p>\n<p>$\\sin 150° = \\sin(180° - 30°) = \\sin 30° = \\frac{1}{2}$.</p>\n<p>$$P = 72 \\cdot \\frac{1}{2} = 36$$</p>\n<p>Porównaj wzory i wyznacz iloczyn przekątnych:</p>\n<p>$$36 = \\frac{1}{2} d_1 \\cdot d_2$$</p>\n<p>$$d_1 \\cdot d_2 = 72$$</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Dwa wzory na pole rombu:</p>\n<ul><li>$P = a^2 \\sin \\alpha$ (z boku i kąta)</li><li>$P = \\frac{1}{2} d_1 d_2$ (z przekątnych)</li><li>$P = a \\cdot h$ (z boku i wysokości)</li></ul>\n<p>Wszystkie liczą to samo pole — można porównywać między sobą, by wyznaczyć brakujące wielkości.</p>\n<p>Wartości $\\sin$ kątów rozwartych: $\\sin(180° - x) = \\sin x$. Dlatego $\\sin 150° = \\sin 30° = \\frac{1}{2}$.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie wzoru na pole rombu z bokiem ($a^2 \\sin \\alpha$) ze wzorem z przekątnymi ($\\frac{1}{2} d_1 d_2$). Klucz: oba wzory liczą <strong>to samo pole</strong>, więc można je porównać.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(80°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Układ równań z twierdzenia o kącie wpisanym</h4>\n<p><strong>Wiemy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:</strong></p>\n<p>\\[\\beta = 2\\alpha\\]</p>\n<p><strong>Wiemy też, że \\(\\beta\\) jest o \\(40°\\) większy od \\(\\alpha\\):</strong></p>\n<p>\\[\\beta = \\alpha + 40°\\]</p>\n<p><strong>Podstawiamy pierwsze równanie do drugiego:</strong></p>\n<p>\\[2\\alpha = \\alpha + 40°\\]</p>\n<p>\\[\\alpha = 40°\\]</p>\n<p><strong>Stąd wyznaczamy \\(\\beta\\):</strong></p>\n<p>\\[\\beta = 2\\alpha = 2 \\cdot 40° = 80°\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(\\beta = 80°\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy wynik spełnia oba warunki zadania:</p>\n<ul><li>Czy \\(\\beta = 2\\alpha\\)?</li></ul>\n<p>\\[80° = 2 \\cdot 40° \\checkmark\\]</p>\n<ul><li>Czy \\(\\beta\\) jest o \\(40°\\) większy od \\(\\alpha\\)?</li></ul>\n<p>\\[80° - 40° = 40° \\checkmark\\]</p>\n<p>Oba warunki są spełnione - wynik \\(\\beta = 80°\\) jest poprawny.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - twierdzenie o kącie wpisanym:</p>\n<blockquote>Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.</blockquote>\n<p>\\[\\alpha = \\frac{\\beta}{2} \\quad \\Longleftrightarrow \\quad \\beta = 2\\alpha\\]</p>\n<p>To jest fundamentalna własność okręgu, którą znajdziesz na stronie 19 karty wzorów - dokładnie tego użyliśmy w Sposobie 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A: \\(40°\\) | Uczeń podaje wartość \\(\\alpha\\), nie \\(\\beta\\) - myli, które z pytanych kątów jest szukanym. |<br>| C: \\(100°\\) | Uczeń zakłada błędnie, że \\(\\beta = \\alpha + 40°\\) i \\(\\beta = \\alpha + \\alpha\\), ale liczy \\(\\beta = 60° + 40° = 100°\\) - myląc układ równań. |<br>| D: \\(120°\\) | Uczeń może błędnie przyjąć \\(\\beta = 3\\alpha\\) (zamiast \\(\\beta = 2\\alpha\\)), co daje \\(\\beta = 3 \\cdot 40° = 120°\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Twierdzenie mówi, że kąt <strong>środkowy</strong> = dwa razy kąt <strong>wpisany</strong>, nie odwrotnie! Łatwo pomylić kierunek nierówności i napisać \\(\\alpha = 2\\beta\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadanie pyta o miarę kąta \\(\\beta\\) (środkowego), a nie \\(\\alpha\\) (wpisanego). Po obliczeniu \\(\\alpha = 40°\\) trzeba jeszcze wyznaczyć \\(\\beta\\) - wielu uczniów zatrzymuje się za wcześnie i wybiera odpowiedź A.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Twierdzenie o kącie wpisanym obowiązuje tylko wtedy, gdy oba kąty są oparte na <strong>tym samym łuku</strong> i kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu (po przeciwnej stronie niż łuk). Jeśli wierzchołek kąta wpisanego leży po tej samej stronie co kąt środkowy - wzór nie działa!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Twierdzenie o kątach środkowym i wpisanym (karta wzorów)</h5>\n<p>Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest <strong>dwukrotnie</strong> większy od kąta wpisanego: \\(\\beta = 2\\alpha\\).<br>Dodatkowo \\(\\beta = \\alpha + 40^{\\circ}\\). Podstawiamy \\(\\beta = 2\\alpha\\):<br>\\[2\\alpha = \\alpha + 40^{\\circ} \\iff \\alpha = 40^{\\circ}.\\]<br>Stąd \\(\\beta = 80^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi</h5>\n<ul><li>A: \\(\\beta = 40^{\\circ}\\), wtedy \\(\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\cdot 40^{\\circ} = 20^{\\circ}\\). Różnica \\(= 20^{\\circ}\\) ✗.</li><li>B: \\(\\beta = 80^{\\circ}\\), wtedy \\(\\alpha = 40^{\\circ}\\). Różnica \\(= 40^{\\circ}\\) ✓.</li><li>C: \\(\\beta = 100^{\\circ}\\), \\(\\alpha = 50^{\\circ}\\), różnica \\(= 50^{\\circ}\\) ✗.</li><li>D: \\(\\beta = 120^{\\circ}\\), \\(\\alpha = 60^{\\circ}\\), różnica \\(= 60^{\\circ}\\) ✗.</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Zdający mógł założyć \\(\\beta = \\alpha\\), ignorując stosunek 2:1.</li><li><strong>C, D.</strong> Zdający dodał \\(40^{\\circ}\\) do innego kąta lub inaczej rozumiał różnicę.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> kluczowa zależność: <strong>kąt środkowy = \\(2 \\cdot\\) kąt wpisany</strong> (oparte na tym samym łuku).</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Trójkąt T_1 ma przyprostokątne 5 i 12 , więc jego przeciwprostokątna ma długość</p>\n<p>13.</p>\n<p>W trójkącie T_2 przeciwprostokątna ma długość 26 , zatem skala podobieństwa wynosi</p>\n<p>k=(26)/(13)=2.</p>\n<p>Przyprostokątne T_2 mają długości 10 i 24 , więc</p>\n<p>P_T_2=(1)/(2)·10·24=120.</p>"}]}