{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są proste 𝑘 oraz 𝑙 o równaniach\n𝑘: 𝑦= 2\n3 𝑥\n𝑙: 𝑦= -3\n2 𝑥+ 13\nDokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.\nProste 𝑘 oraz 𝑙\nsą prostopadłe\ni przecinają się w punkcie 𝑃 o współrzędnych\n1.\n(-6, -4)\nA.\n2.\n(6, 4)\nnie są\nprostopadłe\nB.\n3.\n(-6, 4)\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są proste k oraz l o równaniach k:y=2/3x l:y=-3/2x+13 Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3. Proste k oraz l A. są prostopadłe B. nie są prostopadłe i przecinają się w punkcie P o współrzędnych 1. (-6,-4) 2. (6,4) 3. (-6,4)","answer":"A2","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nIX.1) rozpoznaje wzajemne położenie\nprostych na płaszczyźnie na podstawie ich\nrównań, w tym znajduje wspólny punkt\ndwóch prostych, jeśli taki istnieje.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA2\nA3","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz $\\angle ABC$ (kąt wpisany w okrąg, oparty na łuku $AC$).\n\nTrójkąt $AOC$ jest równoramienny. $OA = OC = r$ (oba odcinki to promienie okręgu). W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe:\n\n$$\\angle OAC = \\angle OCA = 70°$$\n\nOblicz kąt $\\angle AOC$ (kąt środkowy). Suma kątów trójkąta = $180°$:\n\n$$\\angle AOC = 180° - 70° - 70° = 40°$$\n\nZastosuj twierdzenie o kącie wpisanym. Kąt wpisany $\\angle ABC$ jest oparty na tym samym łuku $AC$ co kąt środkowy $\\angle AOC$. Twierdzenie:\n\n$$\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\angle \\text{środkowy}$$\n\n$$\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot 40° = 20°$$\n\nPo co to umieć\n\nTwierdzenie o kącie wpisanym: kąt wpisany w okrąg jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nDrugi przydatny fakt: trójkąt utworzony przez dwa promienie + cięciwę jest zawsze równoramienny.\n\nRazem dają algorytm: kąt środkowy → trójkąt OAC równoramienny → kąty $OAC, OCA$ równe → suma kątów $180°$ → wpisany = $\\frac{1}{2}$ środkowego.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: bezpośrednie utożsamienie kąta $ACO$ z kątem wpisanym lub środkowym. Trzeba przejść przez **trójkąt równoramienny $AOC$** (bo $OA = OC = r$ promień okręgu).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"okrąg, kąt środkowy, kąt wpisany, Funkcja liniowa, analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są proste 𝑘 oraz 𝑙 o równaniach<br>𝑘: 𝑦= 2<br>3 𝑥<br>𝑙: 𝑦= -3<br>2 𝑥+ 13<br>Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.<br>Proste 𝑘 oraz 𝑙<br>są prostopadłe<br>i przecinają się w punkcie 𝑃 o współrzędnych<br>1.<br>(-6, -4)<br>A.<br>2.<br>(6, 4)<br>nie są<br>prostopadłe<br>B.<br>3.<br>(-6, 4)</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są proste k oraz l o równaniach k:y=2/3x l:y=-3/2x+13 Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3. Proste k oraz l A. są prostopadłe B. nie są prostopadłe i przecinają się w punkcie P o współrzędnych 1. (-6,-4) 2. (6,4) 3. (-6,4)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Dobieranie argumentów do uzasadnienia</li></ol>\n<p>poprawności rozwiązywania problemów,<br>tworzenie ciągu argumentów,<br>gwarantujących poprawność rozwiązania<br>i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań<br>zagadnienia.<br>Zdający:<br>IX.1) rozpoznaje wzajemne położenie<br>prostych na płaszczyźnie na podstawie ich<br>równań, w tym znajduje wspólny punkt<br>dwóch prostych, jeśli taki istnieje.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>A2<br>A3</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: B</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Wyznacz $\\angle ABC$ (kąt wpisany w okrąg, oparty na łuku $AC$).</p>\n<p>Trójkąt $AOC$ jest równoramienny. $OA = OC = r$ (oba odcinki to promienie okręgu). W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe:</p>\n<p>$$\\angle OAC = \\angle OCA = 70°$$</p>\n<p>Oblicz kąt $\\angle AOC$ (kąt środkowy). Suma kątów trójkąta = $180°$:</p>\n<p>$$\\angle AOC = 180° - 70° - 70° = 40°$$</p>\n<p>Zastosuj twierdzenie o kącie wpisanym. Kąt wpisany $\\angle ABC$ jest oparty na tym samym łuku $AC$ co kąt środkowy $\\angle AOC$. Twierdzenie:</p>\n<p>$$\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\angle \\text{środkowy}$$</p>\n<p>$$\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot 40° = 20°$$</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Twierdzenie o kącie wpisanym: kąt wpisany w okrąg jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.</p>\n<p>Drugi przydatny fakt: trójkąt utworzony przez dwa promienie + cięciwę jest zawsze równoramienny.</p>\n<p>Razem dają algorytm: kąt środkowy → trójkąt OAC równoramienny → kąty $OAC, OCA$ równe → suma kątów $180°$ → wpisany = $\\frac{1}{2}$ środkowego.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: bezpośrednie utożsamienie kąta $ACO$ z kątem wpisanym lub środkowym. Trzeba przejść przez <strong>trójkąt równoramienny $AOC$</strong> (bo $OA = OC = r$ promień okręgu).</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(3 : 4\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Twierdzenie o dwusiecznej (bezpośrednie)</h4>\n<p>Dwusieczna kąta \\(C\\) dzieli bok \\(AB\\) na odcinki \\(AD\\) i \\(DB\\). Twierdzenie o dwusiecznej mówi, że:</p>\n<p>\\[\\frac{|AD|}{|DB|} = \\frac{|AC|}{|BC|}\\]</p>\n<p>Podstawiamy dane: \\(|AC| = 3\\), \\(|BC| = 4\\):</p>\n<p>\\[\\frac{|AD|}{|DB|} = \\frac{3}{4}\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(|AD| : |DB| = 3 : 4\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez współrzędne</h4>\n<p>Umieśćmy trójkąt na układzie współrzędnych, żeby sprawdzić wynik.</p>\n<p>Niech \\(C = (0, 0)\\), \\(A = (3, 0)\\) (bo \\(|AC| = 3\\)), \\(B = (0, 4)\\) (bo \\(|BC| = 4\\)).</p>\n<p>Dwusieczna kąta \\(C\\) w trójkącie prostokątnym przy \\(C\\) ma kierunek wektora sumy wersorów boków \\(CA\\) i \\(CB\\):</p>\n<p>\\[\\vec{u}_{CA} = \\frac{\\vec{CA}}{|\\vec{CA}|} = \\frac{(3,0)}{3} = (1, 0)\\]</p>\n<p>\\[\\vec{u}_{CB} = \\frac{\\vec{CB}}{|\\vec{CB}|} = \\frac{(0,4)}{4} = (0, 1)\\]</p>\n<p><strong>Dwusieczna</strong> ma kierunek sumy tych wersorów: \\((1,0) + (0,1) = (1,1)\\).</p>\n<p>Równanie dwusiecznej: \\(y = x\\) (przechodzi przez \\(C = (0,0)\\)).</p>\n<p>Równanie boku \\(AB\\): przechodzi przez \\(A = (3,0)\\) i \\(B = (0,4)\\):</p>\n<p>\\[\\frac{x}{3} + \\frac{y}{4} = 1 \\implies 4x + 3y = 12\\]</p>\n<p>Szukamy przecięcia \\(y = x\\) z \\(4x + 3y = 12\\):</p>\n<p>\\[4x + 3x = 12 \\implies 7x = 12 \\implies x = \\frac{12}{7}\\]</p>\n<p>Punkt \\(D = \\left(\\frac{12}{7}, \\frac{12}{7}\\right)\\).</p>\n<p>Obliczamy odległości:</p>\n<p>\\[|AD| = \\sqrt{\\left(3 - \\frac{12}{7}\\right)^2 + \\left(0 - \\frac{12}{7}\\right)^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{9}{7}\\right)^2 + \\left(\\frac{12}{7}\\right)^2} = \\frac{1}{7}\\sqrt{81 + 144} = \\frac{\\sqrt{225}}{7} = \\frac{15}{7}\\]</p>\n<p>\\[|DB| = \\sqrt{\\left(\\frac{12}{7} - 0\\right)^2 + \\left(\\frac{12}{7} - 4\\right)^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{12}{7}\\right)^2 + \\left(\\frac{-16}{7}\\right)^2} = \\frac{1}{7}\\sqrt{144 + 256} = \\frac{\\sqrt{400}}{7} = \\frac{20}{7}\\]</p>\n<p>Stosunek:</p>\n<p>\\[\\frac{|AD|}{|DB|} = \\frac{\\frac{15}{7}}{\\frac{20}{7}} = \\frac{15}{20} = \\frac{3}{4}\\]</p>\n<p><strong>Potwierdzenie: \\(|AD| : |DB| = 3 : 4\\). ✓</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 18)</strong> - Twierdzenie o dwusiecznej:<br>\\[\\frac{|AD|}{|BD|} = \\frac{|AC|}{|BC|}\\]<br>Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku równym stosunkowi przyległych boków. To główny wzór całego zadania - wystarczy go znać i podstawić dane.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A: \\(4:3\\) | Odwrócono mianownik i licznik - zamiast \\(\\frac{|AC|}{|BC|} = \\frac{3}{4}\\) wzięto \\(\\frac{|BC|}{|AC|} = \\frac{4}{3}\\). |<br>| B: \\(4:7\\) | Pomylono, co dzieli dwusieczna - wyznaczono stosunek \\(|AD|\\) do całego \\(|AB|\\) zamiast do \\(|DB|\\). |<br>| D: \\(3:7\\) | Analogicznie do B - wzięto stosunek \\(|DB|\\) do \\(|AB|\\), a nie do \\(|AD|\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić kolejność boków w twierdzeniu. Dwusieczna kąta \\(C\\) dzieli \\(AB\\) tak, że <strong>część bliżej \\(A\\)</strong> jest do <strong>części bliżej \\(B\\)</strong> jak \\(|AC|\\) do \\(|BC|\\) - czyli &quot;część bliżej wierzchołka \\(X\\)&quot; jest proporcjonalna do boku wychodzącego z \\(X\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedzi B i D to pułapka dla uczniów, którzy obliczają stosunek do <strong>całego boku</strong> \\(|AB|\\), a nie między sobą. \\(|AD| : |AB| = 3 : 7\\) - ale to nie była treść pytania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Twierdzenie o dwusiecznej działa dla <strong>dowolnego</strong> trójkąta (nie tylko prostokątnego), więc nie trzeba znać długości \\(|AB|\\) ani kąta \\(\\gamma\\). Samo \\(|AC|\\) i \\(|BC|\\) wystarczą.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Twierdzenie o dwusiecznej (karta wzorów)</h5>\n<p>Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do przyległych boków:<br>\\[\\dfrac{|AD|}{|DB|} = \\dfrac{|AC|}{|BC|} = \\dfrac{3}{4}.\\]<br>Czyli \\(|AD|:|DB| = 3:4\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wektorowo / analityczne położenie D</h5>\n<p>Dwusieczna z \\(C\\) trafia w taki punkt \\(D\\), że \\(D\\) dzieli \\(AB\\) w stosunku przyległych boków. Ogólna wersja: \\(D = \\dfrac{b\\cdot A + a\\cdot B}{a+b}\\), gdzie \\(a = |BC|, b = |AC|\\). Wtedy \\(\\tfrac{|AD|}{|DB|} = \\tfrac{b}{a} = \\tfrac{3}{4}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> \\(4:3\\) - odwrócony stosunek (zdający pomylił, który bok przypada do którego odcinka).</li><li><strong>B, D.</strong> Zdający pomylił dwusieczną z np. symedianą lub środkową i włączył obwód \\(3+4=7\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w dwusiecznej kąta wierzchołkowego: <strong>stosunek \\(|AD|:|DB| =\\) stosunek sąsiednich boków \\(|AC|:|BC|\\)</strong>, z tą samą kolejnością.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Współczynniki kierunkowe prostych wynoszą</p>\n<p>(2)/(3) i -(3)/(2).</p>\n<p>Ich iloczyn jest równy -1 , więc proste są prostopadłe. Punkt przecięcia spełnia</p>\n<p>(2)/(3)x=-(3)/(2)x+13.</p>\n<p>(13)/(6)x=13,</p>\n<p>stąd x=6 , a</p>\n<p>y=(2)/(3)·6=4.</p>\n<p>Punkt przecięcia to P=(6,4) .</p>"}]}