{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu\n𝑦= -1\n3 𝑥+ 2\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProsta o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez\npunkt 𝑃= (3, 5), gdy\nA. 𝑎= 3 i 𝑏= 4.\nB. 𝑎= -1\n3 i 𝑏= 4.\nC. 𝑎= 3 i 𝑏= -4.\nD. 𝑎= -1\n3 i 𝑏= 6.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta k o równaniu y=-1/3x+2 Prosta o równaniu y=ax+b jest równoległa do prostej k i przechodzi przez punkt P=(3,5), gdy A. a=3 i b=4. B. a=-1/3 i b=4. C. a=3 i b=-4. D. a=-1/3 i b=6.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich jak na przykład […]\nrównoległość […] do innej prostej […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: **Pole $T_2 = 120$** Przeciwprostokątna $T_1 = \\sqrt{25 + 144} = 13$. Skala podobieństwa $k = 26/13 = 2$. Pole $T_2 = P_1 \\cdot k^2 = 30 \\cdot 4 = 120$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz pole trójkąta $T_2$ podobnego do $T_1$ (o przyprostokątnych $5, 12$), wiedząc, że przeciwprostokątna $T_2$ wynosi $26$.\n\nOblicz przeciwprostokątną $T_1$ z twierdzenia Pitagorasa:\n\n$$c_1 = \\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{25 + 144} = \\sqrt{169} = 13$$\n\nWyznacz skalę podobieństwa $k = $ stosunek odpowiednich boków:\n\n$$k = \\frac{c_2}{c_1} = \\frac{26}{13} = 2$$\n\nOblicz pole $T_1$:\n\n$$P_1 = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 12 = 30$$\n\nPole $T_2$. Przy skali $k$ pola figur podobnych są w stosunku $k^2$:\n\n$$P_2 = P_1 \\cdot k^2 = 30 \\cdot 2^2 = 30 \\cdot 4 = 120$$\n\nSprawdzenie alternatywne. Boki $T_2$: $5 \\cdot 2 = 10$ i $12 \\cdot 2 = 24$. Pole $T_2 = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 24 = 120$. ✓\n\nPo co to umieć\n\nTrójka pitagorejska $(5, 12, 13)$ to klasyk — warto zapamiętać. Pozostałe: $(3, 4, 5)$, $(7, 24, 25)$, $(8, 15, 17)$, $(9, 40, 41)$.\n\nSkala podobieństwa pozwala przeliczać między figurami: dowolny element $T_2$ = odpowiadający element $T_1$ × $k$ (dla długości) lub × $k^2$ (dla pola).\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomnożenie pól razy $k$ zamiast $k^2$. Przy podobieństwie ze skalą $k$ **długości** mnożą się przez $k$, a **pola** przez $k^2$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"trójkąty podobne, twierdzenie Pitagorasa, pole, Funkcja liniowa, Geometria analityczna, analityczna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu<br>𝑦= -1<br>3 𝑥+ 2<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Prosta o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez<br>punkt 𝑃= (3, 5), gdy<br>A. 𝑎= 3 i 𝑏= 4.<br>B. 𝑎= -1<br>3 i 𝑏= 4.<br>C. 𝑎= 3 i 𝑏= -4.<br>D. 𝑎= -1<br>3 i 𝑏= 6.<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta k o równaniu y=-1/3x+2 Prosta o równaniu y=ax+b jest równoległa do prostej k i przechodzi przez punkt P=(3,5), gdy A. a=3 i b=4. B. a=-1/3 i b=4. C. a=3 i b=-4. D. a=-1/3 i b=6.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>IX.2) posługuje się równaniem prostej na<br>płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym<br>wyznacza równanie prostej o zadanych<br>własnościach (takich jak na przykład […]<br>równoległość […] do innej prostej […]).<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>D<br>B<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: <strong>Pole $T_2 = 120$</strong> Przeciwprostokątna $T_1 = \\sqrt{25 + 144} = 13$. Skala podobieństwa $k = 26/13 = 2$. Pole $T_2 = P_1 \\cdot k^2 = 30 \\cdot 4 = 120$.</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Wyznacz pole trójkąta $T_2$ podobnego do $T_1$ (o przyprostokątnych $5, 12$), wiedząc, że przeciwprostokątna $T_2$ wynosi $26$.</p>\n<p>Oblicz przeciwprostokątną $T_1$ z twierdzenia Pitagorasa:</p>\n<p>$$c_1 = \\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{25 + 144} = \\sqrt{169} = 13$$</p>\n<p>Wyznacz skalę podobieństwa $k = $ stosunek odpowiednich boków:</p>\n<p>$$k = \\frac{c_2}{c_1} = \\frac{26}{13} = 2$$</p>\n<p>Oblicz pole $T_1$:</p>\n<p>$$P_1 = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 12 = 30$$</p>\n<p>Pole $T_2$. Przy skali $k$ pola figur podobnych są w stosunku $k^2$:</p>\n<p>$$P_2 = P_1 \\cdot k^2 = 30 \\cdot 2^2 = 30 \\cdot 4 = 120$$</p>\n<p>Sprawdzenie alternatywne. Boki $T_2$: $5 \\cdot 2 = 10$ i $12 \\cdot 2 = 24$. Pole $T_2 = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 24 = 120$. ✓</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Trójka pitagorejska $(5, 12, 13)$ to klasyk — warto zapamiętać. Pozostałe: $(3, 4, 5)$, $(7, 24, 25)$, $(8, 15, 17)$, $(9, 40, 41)$.</p>\n<p>Skala podobieństwa pozwala przeliczać między figurami: dowolny element $T_2$ = odpowiadający element $T_1$ × $k$ (dla długości) lub × $k^2$ (dla pola).</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: pomnożenie pól razy $k$ zamiast $k^2$. Przy podobieństwie ze skalą $k$ <strong>długości</strong> mnożą się przez $k$, a <strong>pola</strong> przez $k^2$.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(P = 16\\sqrt{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Z wysokości trójkąta prostokątnego (ramię + kąt)</h4>\n<p><strong>Od czego zaczynamy:</strong> Trapez równoramienny z kątami \\(60°\\) przy dłuższej podstawie. Znamy ramię \\(|AD| = 4\\). Opuszczamy wysokość z \\(D\\) na \\(AB\\) - powstaje trójkąt prostokątny.</p>\n<p><strong>Krok 1 - Wyznaczamy wysokość \\(h\\) trapezu.</strong></p>\n<p>W trójkącie prostokątnym z kątem \\(60°\\) i przeciwprostokątną \\(|AD| = 4\\):</p>\n<p>\\[h = |AD| \\cdot \\sin 60° = 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - Wyznaczamy rzut ramienia na podstawę.</strong></p>\n<p>\\[e = |AD| \\cdot \\cos 60° = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - Wyznaczamy długość dłuższej podstawy \\(|AB|\\).</strong></p>\n<p>Trapez jest równoramienny, więc po obu stronach wystaje taki sam odcinek długości \\(e = 2\\):</p>\n<p>\\[|AB| = |CD| + 2e = 6 + 2 \\cdot 2 = 10\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - Obliczamy pole trapezu.</strong></p>\n<p>\\[P = \\frac{|AB| + |CD|}{2} \\cdot h = \\frac{10 + 6}{2} \\cdot 2\\sqrt{3} = 8 \\cdot 2\\sqrt{3} = \\boxed{16\\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez pole trójkąta (twierdzenie o polu z sinusem)</h4>\n<p><strong>Dzielimy trapez na trzy części:</strong> dwa trójkąty boczne i prostokąt (lub jeden trójkąt środkowy + dwa boczne).</p>\n<p>Dwa trójkąty boczne to trójkąty równoboczne nie, sprawdźmy: mamy trójkąt prostokątny z kątami \\(60°\\), \\(90°\\), \\(30°\\) i bokami \\(2\\), \\(2\\sqrt{3}\\), \\(4\\).</p>\n<p>Pole każdego bocznego trójkąta (np. \\(ADE\\) gdzie \\(E\\) to stopa wysokości):<br>\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot e \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 2\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Pole środkowego prostokąta \\(DEFC\\) (\\(|CD| = 6\\), \\(h = 2\\sqrt{3}\\)):<br>\\[P_{\\text{prost}} = 6 \\cdot 2\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Łącznie:<br>\\[P = 2 \\cdot 2\\sqrt{3} + 12\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} + 12\\sqrt{3} = \\boxed{16\\sqrt{3}}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - <strong>\\(P = 16\\sqrt{3}\\)</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)</strong> - pole trapezu:<br>\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]<br>Użyliśmy w kroku 4 z \\(a = |AB| = 10\\), \\(b = |CD| = 6\\), \\(h = 2\\sqrt{3}\\).</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong> - wartości funkcji trygonometrycznych kąta \\(60°\\):<br>\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\qquad \\cos 60° = \\frac{1}{2}\\]<br>Użyliśmy w kroku 1 i 2 do wyznaczenia wysokości i rzutu ramienia.</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt \\(60°\\) jest przy <strong>dłuższej</strong> podstawie \\(AB\\), nie przy \\(CD\\). Stąd \\(\\sin 60°\\) liczymy od ramienia - nie od podstawy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo zapomnieć, że rzut \\(e = 2\\) dodajemy <strong>po obu stronach</strong>, więc \\(|AB| = 6 + 2 + 2 = 10\\), a nie \\(6 + 2 = 8\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{3} \\approx 1{,}732\\), więc wynik \\(16\\sqrt{3} \\approx 27{,}7\\). Jeśli wychodzi liczba bez pierwiastka - coś poszło nie tak ze wzorami trygonometrycznymi.</blockquote>\n<p><strong>Rozwiązanie: pole trapezu \\(P = 16\\sqrt{3}\\).</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Trójkąty prostokątne 30-60-90</h5>\n<p>Poprowadźmy wysokości \\(DE \\perp AB\\) i \\(CF \\perp AB\\). Mamy \\(EF = CD = 6\\) oraz \\(|AE| = |FB|\\) (trapez równoramienny).</p>\n<p>W trójkącie prostokątnym \\(ADE\\), z kątem \\(60^{\\circ}\\) przy \\(A\\):<br>\\[\\cos 60^{\\circ} = \\dfrac{|AE|}{|AD|} \\Rightarrow |AE| = 4\\cdot\\dfrac{1}{2} = 2.\\]<br>\\[\\sin 60^{\\circ} = \\dfrac{|DE|}{|AD|} \\Rightarrow |DE| = 4\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}.\\]<br>Zatem wysokość trapezu \\(h = 2\\sqrt{3}\\), a długość podstawy \\(|AB| = |AE| + |EF| + |FB| = 2 + 6 + 2 = 10\\).</p>\n<p>Pole trapezu (karta wzorów):<br>\\[P = \\dfrac{|AB| + |CD|}{2}\\cdot h = \\dfrac{10 + 6}{2}\\cdot 2\\sqrt{3} = 8\\cdot 2\\sqrt{3} = 16\\sqrt{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Podział na równoległobok i trójkąt równoboczny</h5>\n<p>Poprowadźmy \\(CG \\parallel AD\\), gdzie \\(G\\) leży na \\(AB\\). Otrzymujemy:</p>\n<ul><li>Równoległobok \\(AGCD\\) o bokach \\(|AD| = 4\\), \\(|DC| = 6\\) i kącie \\(60^{\\circ}\\) → pole \\(P_{\\text{równ}} = 4\\cdot 6\\cdot\\sin 60^{\\circ} = 24\\cdot\\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 12\\sqrt{3}\\).</li><li>Trójkąt \\(GBC\\): jest równoboczny (wszystkie kąty \\(60^{\\circ}\\), \\(|GC|=|AD|=4\\)), więc \\(P_{\\triangle} = \\tfrac{4^{2}\\sqrt{3}}{4} = 4\\sqrt{3}\\).</li></ul>\n<p>Pole trapezu: \\(P = 12\\sqrt{3} + 4\\sqrt{3} = 16\\sqrt{3}\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji (CKE)</h5>\n<ul><li><strong>2 pkt</strong> - poprawna metoda + wynik \\(16\\sqrt{3}\\).</li><li><strong>1 pkt</strong> - obliczenie \\(|AE| = 2\\) <strong>lub</strong> \\(h = 2\\sqrt{3}\\) <strong>lub</strong> podzielenie trapezu na równoległobok + trójkąt równoboczny i zapisanie pola jako sumy.</li><li><strong>0 pkt</strong> - zły schemat metody.</li><li><strong>Uwaga:</strong> jeśli zdający użyje <strong>błędnych funkcji trygonometrycznych</strong> (\\(\\sin\\) zamiast \\(\\cos\\)), dostaje <strong>0 pkt</strong>.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> trójkąt prostokątny z kątem \\(60^{\\circ}\\) jest częścią równobocznego o boku \\(2\\cdot\\) przyległej - stąd szybko \\(h = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cdot\\text{ramię}\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, prosta $y=-\\displaystyle\\frac{1}{3}x+6$ ma ten sam współczynnik kierunkowy co prosta $k$ oraz punkt $P$ należy do jej wykresu.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Prosta równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy:</p>\n<p>a=-(1)/(3).</p>\n<p>Podstawiamy punkt P=(3,5) :</p>\n<p>5=-(1)/(3)·3+b=-1+b.</p>\n<p>Stąd</p>\n<p>b=6.</p>"}]}