Zadanie 25. (0-1)
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma
długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod
kątem 𝛼 takim, że cos 𝛼=
√2
3 .
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A. 15√2
B. 45
C. 5√2
D. 10
MMAP-P0_100
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że cosα=√2/3. Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa A. 15√2 B. 45 C. 5√2 D. 10
Zadanie 25. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
X.2) posługuje się pojęciem kąta między
prostą a płaszczyzną;
X.3) rozpoznaje w graniastosłupach […]
kąty między odcinkami (np. krawędziami,
krawędziami i przekątnymi) […].
VII.4) oblicza kąty trójkąta i długości jego
boków przy odpowiednich danych
(rozwiązuje trójkąty […]).
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
B
D
Odpowiedź: A2
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nDwa pytania w jednym: (1) czy proste $k, l$ są prostopadłe, (2) jaki jest punkt przecięcia.
\nSprawdź warunek prostopadłości. Dla prostych $y = a_1 x + b_1$ i $y = a_2 x + b_2$ proste są prostopadłe ⟺
\n$$a_1 \\cdot a_2 = -1$$
\nTutaj $a_1 = \\frac{2}{3}$, $a_2 = -\\frac{3}{2}$:
\n$$\\frac{2}{3} \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = -\\frac{6}{6} = -1 \\checkmark$$
\nProste są prostopadłe → odpowiedź A.
\nZnajdź punkt przecięcia. Rozwiąż układ:
\n$$\\frac{2}{3}x = -\\frac{3}{2}x + 13$$
\nPomnóż obie strony przez $6$, by pozbyć się ułamków:
\n$$4x = -9x + 78$$
\n$$13x = 78$$
\n$$x = 6$$
\nWstaw $x = 6$ do równania $k$:
\n$$y = \\frac{2}{3} \\cdot 6 = 4$$
\nPunkt przecięcia: $P = (6, 4)$ → odpowiedź 2.
\nPo co to umieć
\nTrzy warunki dla prostych $y = ax + b$:
\nPunkt przecięcia = rozwiązanie układu równań prostych. Najszybciej: porównaj prawe strony obu równań.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: warunek prostopadłości $a_1 = -a_2$ zamiast $a_1 \\cdot a_2 = -1$. Drugi błąd: liczenie punktu przecięcia bez uproszczenia układu (mnożenie ułamków).
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"\\(y = \\dfrac{3}{4}x - 10\\)
\nDwie proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy.
\nProsta \\(k\\): \\(y = \\dfrac{3}{4}x - \\dfrac{7}{4}\\), więc jej współczynnik kierunkowy to \\(a = \\dfrac{3}{4}\\).
\nSzukana prosta ma postać:
\\[y = \\frac{3}{4}x + b\\]
Prosta przechodzi przez punkt \\(P = (12, -1)\\), więc podstawiamy \\(x = 12\\), \\(y = -1\\):
\\[-1 = \\frac{3}{4} \\cdot 12 + b\\]
\\[-1 = 9 + b\\]
\\[b = -10\\]
Odpowiedź: \\(y = \\dfrac{3}{4}x - 10\\)
\nSprawdzamy, czy punkt \\(P = (12, -1)\\) leży na prostej \\(y = \\dfrac{3}{4}x - 10\\):
\n\\[\\frac{3}{4} \\cdot 12 - 10 = 9 - 10 = -1 \\checkmark\\]
\nSprawdzamy równoległość - współczynnik kierunkowy prostej B to \\(\\dfrac{3}{4}\\), taki sam jak prostej \\(k\\). Proste różnią się wyrazem wolnym (\\(-\\dfrac{7}{4} \\neq -10\\)), więc nie są tą samą prostą - są równoległe. ✓
\nDział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b\\]
gdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy.
Warunek równoległości dwóch prostych:
\\[a_1 = a_2\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1: proste równoległe mają identyczny współczynnik kierunkowy, co pozwoliło od razu zapisać postać szukanej prostej.
\n| Odp. | Błąd |
| A | Wzięto współczynnik \\(-\\dfrac{3}{4}\\) zamiast \\(\\dfrac{3}{4}\\) - proste prostopadłe do \\(k\\) miałyby współczynnik \\(-\\dfrac{4}{3}\\), ale tu po prostu zmieniono znak licznika |
| C | Wzięto współczynnik \\(\\dfrac{4}{3}\\) - to odwrotność \\(\\dfrac{3}{4}\\), co dałoby prostą prostopadłą do \\(k\\), nie równoległą |
| D | Wzięto \\(-\\dfrac{4}{3}\\) - to ujemna odwrotność \\(\\dfrac{3}{4}\\), czyli współczynnik prostej prostopadłej do \\(k\\) |
⚠️ Uwaga: Odpowiedzi C i D to klasyczna pułapka - zamiana ułamka \\(\\dfrac{3}{4}\\) na odwrotność \\(\\dfrac{4}{3}\\) (lub jej zaprzeczenie) daje prostą prostopadłą, a nie równoległą. Prostopadłość to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), równoległość to \\(a_1 = a_2\\).\n
⚠️ Uwaga: Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy - nie odwrotny, nie ze zmienionym znakiem. Mylenie równoległości z prostopadłością to jeden z najczęstszych błędów w tym typie zadania.\n
⚠️ Uwaga: Po ustaleniu współczynnika kierunkowego nie zapomnij wyznaczyć wyrazu wolnego \\(b\\) - podstawiając obie współrzędne punktu \\(P\\), czyli \\(x = 12\\) i \\(y = -1\\) jednocześnie.\n
⚠️ Uwaga: Łatwo się pomylić w arytmetyce: \\(\\dfrac{3}{4} \\cdot 12 = \\dfrac{36}{4} = 9\\), a nie \\(8\\) ani \\(12\\). Błąd tutaj prowadzi do złego wyrazu wolnego.\n
Poprawna odpowiedź: B
\nProste równoległe mają taki sam współczynnik kierunkowy \\(a\\). Prosta \\(k\\) ma \\(a = \\tfrac{3}{4}\\), więc szukana prosta jest postaci \\(y = \\tfrac{3}{4}x + b\\).
Podstawiamy punkt \\(P(12, -1)\\):
\\[-1 = \\dfrac{3}{4}\\cdot 12 + b \\iff -1 = 9 + b \\iff b = -10.\\]
Zatem \\(y = \\tfrac{3}{4}x - 10\\).
Równoległa musi mieć \\(a = \\tfrac{3}{4}\\):
\nTrik: proste równoległe ⇒ ten sam współczynnik kierunkowy; proste prostopadłe ⇒ iloczyn współczynników \\(= -1\\).
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, przekątna podstawy tego graniastosłupa ma długość $15\\sqrt2$, zatem jeśli oznaczymy przekątną tego graniastosłupa jako $d$ to korzystając z definicji funkcji cosinus możemy zapisać, że: $\\displaystyle\\frac{15\\sqrt2}{d}=\\displaystyle\\frac{\\sqrt2}{3}$, stąd otrzymujemy, iż $d=45$.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"Rzut przekątnej graniastosłupa na płaszczyznę podstawy jest przekątną kwadratu:
\n15√(2).
\nJeżeli d oznacza przekątną graniastosłupa, to
\ncosα=(15√(2))/(d)=(√(2))/(3).
\nStąd
\nd=45.
"}]}