{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":4,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-4)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest\nnachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30° i ma długość równą 6 (zobacz rysunek).\nOblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.\n30°\n6\n26.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30° i ma długość równą 6 (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 26. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nX.4) oblicza objętości i pola powierzchni […]\nostrosłupów, również z wykorzystaniem\ntrygonometrii i poznanych twierdzeń.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz\npoprawne wyniki: 𝑉= 108 i 𝑃𝑐= 108 + 72√3.\n3 pkt - obliczenie objętości ostrosłupa: 𝑉= 108\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: 𝑃𝑐= 108 + 72√3 oraz\nobliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 3.\n2 pkt - obliczenie/zapisanie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 6√3 oraz obliczenie\nwysokości ostrosłupa: 𝐻= 3\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: 𝑃𝑐= 108 + 72√3.\n1 pkt - obliczenie/zapisanie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 6√3\nALBO\n- obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że trójkąt 𝐸𝑆𝑂 lub 𝐵𝑆𝐷, lub jedna ze ścian\nbocznych ostrosłupa jest trójkątem równobocznym i wykorzystuje to do obliczenia długości\nkrawędzi podstawy, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył prawa do\nuzyskania 1 punktu za obliczenie wysokości ostrosłupa).\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa\nc) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦\nd) przyjęcie, że wysokość ostrosłupa jest równa 3√3 i |𝑂𝐸| = 3,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie.\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-d), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa.\nZauważamy, że 𝑎> 0 i 𝐻> 0.\nPonieważ 𝑂 jest punktem przecięcia\nprzekątnych kwadratu, to |𝑂𝐸| = 1\n2 𝑎.\nW trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy\nsin 30° = |𝑆𝑂|\n|𝑆𝐸| = 𝐻\n6\nZatem\n𝐻= 6 ⋅sin 30° = 6 ⋅1\n2 = 3\nPonadto\ncos 30° =\n|𝑂𝐸|\n|𝑆𝐸| =\n1\n2 𝑎\n6 = 𝑎\n12\nStąd\n𝑎= 12 ⋅cos 30° = 12 ⋅√3\n2 = 6√3\n30°\n6\n𝐻\n1\n2 𝑎\n𝑆\n𝐸\n𝑂\n30°\n6\n𝐻\n𝑎\n𝑆\n𝐸\n𝑂\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐶\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:\n𝑉= 1\n3 ⋅(6√3)\n2 ⋅3 = 108\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 ostrosłupa:\n𝑃𝑐= (6√3)\n2 + 4 ⋅1\n2 ⋅6√3 ⋅6 = 108 + 72√3","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nZnajdź $a$ i $b$ takie, że prosta $y = ax + b$ jest równoległa do $k: y = -\\frac{1}{3}x + 2$ i przechodzi przez $P = (3, 5)$.\n\nWykorzystaj warunek równoległości: proste są równoległe ⟺ ich współczynniki kierunkowe są równe.\n\n$$a = -\\frac{1}{3}$$\n\nWykorzystaj warunek przechodzenia przez $P$. Wstaw $P = (3, 5)$ do równania $y = -\\frac{1}{3}x + b$:\n\n$$5 = -\\frac{1}{3} \\cdot 3 + b$$\n\n$$5 = -1 + b$$\n\n$$b = 6$$\n\nPo co to umieć\n\nAlgorytm „prosta równoległa przez punkt\":\n1. Współczynnik kierunkowy taki sam jak dana prosta: $a$ z $y = ax + b$ pozostaje.\n2. Wyraz wolny $b$ — wyliczamy ze wstawienia danego punktu do równania.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie warunku równoległości z prostopadłością. Równoległe ⟺ $a_1 = a_2$ (te same współczynniki kierunkowe).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"równanie prostej równoległej przez punkt, Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (0-4)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest
nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30° i ma długość równą 6 (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
30°
6
26.
0-1-
2-3-4

\n

MMAP-P0_100

\n

MMAP-P0_100
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30° i ma długość równą 6 (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Tworzenie pomocniczych obiektów
\n

matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub
rozwiązania problemu.
Zdający:
X.4) oblicza objętości i pola powierzchni […]
ostrosłupów, również z wykorzystaniem
trygonometrii i poznanych twierdzeń.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz
poprawne wyniki: 𝑉= 108 i 𝑃𝑐= 108 + 72√3.
3 pkt - obliczenie objętości ostrosłupa: 𝑉= 108
ALBO

\n\n

obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 3.
2 pkt - obliczenie/zapisanie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 6√3 oraz obliczenie
wysokości ostrosłupa: 𝐻= 3
ALBO

\n\n

1 pkt - obliczenie/zapisanie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 6√3
ALBO

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że trójkąt 𝐸𝑆𝑂 lub 𝐵𝑆𝐷, lub jedna ze ścian
\n

bocznych ostrosłupa jest trójkątem równobocznym i wykorzystuje to do obliczenia długości
krawędzi podstawy, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył prawa do
uzyskania 1 punktu za obliczenie wysokości ostrosłupa).

\n
  1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
\n

a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej
b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
c) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦
d) przyjęcie, że wysokość ostrosłupa jest równa 3√3 i |𝑂𝐸| = 3,
i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać
2 punkty za całe rozwiązanie.
Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-d), to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:
𝑎 - długość krawędzi podstawy,
𝐻 - wysokość ostrosłupa.
Zauważamy, że 𝑎> 0 i 𝐻> 0.
Ponieważ 𝑂 jest punktem przecięcia
przekątnych kwadratu, to |𝑂𝐸| = 1
2 𝑎.
W trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy
sin 30° = |𝑆𝑂|
|𝑆𝐸| = 𝐻
6
Zatem
𝐻= 6 ⋅sin 30° = 6 ⋅1
2 = 3
Ponadto
cos 30° =
|𝑂𝐸|
|𝑆𝐸| =
1
2 𝑎
6 = 𝑎
12
Stąd
𝑎= 12 ⋅cos 30° = 12 ⋅√3
2 = 6√3
30°
6
𝐻
1
2 𝑎
𝑆
𝐸
𝑂
30°
6
𝐻
𝑎
𝑆
𝐸
𝑂
𝐷
𝐵
𝐴
𝐶
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Obliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:
𝑉= 1
3 ⋅(6√3)
2 ⋅3 = 108
Obliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 ostrosłupa:
𝑃𝑐= (6√3)
2 + 4 ⋅1
2 ⋅6√3 ⋅6 = 108 + 72√3

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: D

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

Znajdź $a$ i $b$ takie, że prosta $y = ax + b$ jest równoległa do $k: y = -\\frac{1}{3}x + 2$ i przechodzi przez $P = (3, 5)$.

\n

Wykorzystaj warunek równoległości: proste są równoległe ⟺ ich współczynniki kierunkowe są równe.

\n

$$a = -\\frac{1}{3}$$

\n

Wykorzystaj warunek przechodzenia przez $P$. Wstaw $P = (3, 5)$ do równania $y = -\\frac{1}{3}x + b$:

\n

$$5 = -\\frac{1}{3} \\cdot 3 + b$$

\n

$$5 = -1 + b$$

\n

$$b = 6$$

\n

Po co to umieć

\n

Algorytm „prosta równoległa przez punkt":

\n
  1. Współczynnik kierunkowy taki sam jak dana prosta: $a$ z $y = ax + b$ pozostaje.
  2. Wyraz wolny $b$ — wyliczamy ze wstawienia danego punktu do równania.
\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie warunku równoległości z prostopadłością. Równoległe ⟺ $a_1 = a_2$ (te same współczynniki kierunkowe).

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

\\[(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9\\]

\n

Sposób 1 - podstawienie do wzoru kanonicznego

\n

Wzór kanoniczny okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\) to:
\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]

\n

Mamy dane:

\n\n

Podstawiamy - zwróć szczególną uwagę na znaki:
\\[(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 3^2\\]
\\[(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9\\]

\n

Odpowiedź: C

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie punktu leżącego na okręgu

\n

Sprawdźmy, czy punkt leżący na okręgu spełnia równanie C.

\n

Okrąg ma środek \\(S = (-1, 2)\\) i promień \\(3\\). Punkt bezpośrednio na prawo od środka to:
\\[P = (-1 + 3,\\ 2) = (2, 2)\\]

\n

Sprawdzamy w odpowiedzi C:
\\[(2 + 1)^2 + (2 - 2)^2 = 3^2 + 0^2 = 9 \\checkmark\\]

\n

Sprawdzamy w odpowiedzi A (dla porównania):
\\[(2 - 1)^2 + (2 + 2)^2 = 1 + 16 = 17 \\neq 9 \\times\\]

\n

Tylko równanie C daje wynik \\(9\\). Potwierdzamy: odpowiedź C.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie okręgu w postaci kanonicznej:
\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]
gdzie \\(S = (a, b)\\) to środek, \\(r\\) to promień.

\n

To dokładnie wzór, który zastosowaliśmy w Sposobie 1.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Zmieniono znaki obu współrzędnych środka na przeciwne: użyto \\((x-1)^2 + (y+2)^2\\) zamiast \\((x+1)^2 + (y-2)^2\\). Błędne odczytanie wzoru - zapomniano, że \\(a = -1\\) daje \\(x - (-1) = x + 1\\). |
| B | Tak jak w A - błędne znaki środka, dodatkowo \\(r^2 = 3\\) zamiast \\(r^2 = 9\\). Wzięto promień \\(r = 3\\) bez podniesienia do kwadratu. |
| D | Znaki środka poprawne ✓, ale \\(r^2 = 3\\) zamiast \\(r^2 = 9\\). Klasyczny błąd: wpisano promień \\(r\\) zamiast \\(r^2\\) po prawej stronie równania. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: We wzorze \\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\) jest minus. Gdy środek to \\((-1, 2)\\), dostajemy \\((x-(-1))^2 = (x+1)^2\\). Uczniowie często wpisują \\((x-1)^2\\) - to błąd prowadzący do odpowiedzi A lub B.
\n
⚠️ Uwaga: Po prawej stronie równania stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\)! Promień \\(r = 3\\), więc \\(r^2 = 9\\). Odpowiedzi B i D mają tam \\(3\\) - to pułapka zastawiona specjalnie na tych, którzy nie podniosą do kwadratu.
\n
⚠️ Uwaga: Przy odczycie środka z równania rób to odwrotnie do tego, co widzisz: \\((x + 1)^2\\) oznacza \\(a = -1\\), a \\((y - 2)^2\\) oznacza \\(b = 2\\). Myśl: „co musi być w nawiasie, żeby znikło?".
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Standardowa postać okręgu (karta wzorów)
\n

Okrąg o środku \\(S(a, b)\\) i promieniu \\(r\\):
\\[(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}.\\]
Tutaj \\(a = -1\\), \\(b = 2\\), \\(r = 3\\):
\\[(x - (-1))^{2} + (y - 2)^{2} = 3^{2} \\iff (x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9.\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie punktu na okręgu
\n

Środek \\(S(-1, 2)\\). Punkt \\((2, 2)\\) (odległy od \\(S\\) o \\(3\\)) powinien spełniać równanie. C: \\((2+1)^{2} + 0 = 9\\) ✓. Inne opcje nie dają \\(9\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: w równaniu \\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\) znaki \\((a, b)\\) są przeciwne do tych we wzorze; po prawej stronie jest kwadrat promienia.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

W przekroju zawierającym wysokość ostrosłupa i wysokość ściany bocznej otrzymujemy trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna ma długość 6 , a kąt przy podstawie ma miarę 30^° .

\n

Oznaczmy przez h wysokość ostrosłupa, a przez r odległość środka podstawy od środka jej boku.

\n

Z definicji sinusa:

\n

sin30^°=(h)/(6).

\n

Ponieważ

\n

sin30^°=(1)/(2),

\n

to

\n

(1)/(2)=(h)/(6),

\n

stąd

\n

h=3.

\n

Z definicji cosinusa:

\n

cos30^°=(r)/(6).

\n

Ponieważ

\n

cos30^°=(√(3))/(2),

\n

to

\n

(√(3))/(2)=(r)/(6),

\n

stąd

\n

r=3√(3).

\n

Odcinek r jest połową boku kwadratu, więc

\n

a=2r=6√(3).

\n

Pole podstawy:

\n

P_p=a^2=(6√(3))^2=108.

\n

Objętość:

\n

V=(1)/(3)P_ph
=(1)/(3)·108·3
=108.

\n

Pole jednej ściany bocznej:

\n

P_1=(1)/(2)· a·6
=(1)/(2)·6√(3)·6
=18√(3).

\n

Pole powierzchni bocznej:

\n

P_b=4·18√(3)=72√(3).

\n

Pole powierzchni całkowitej:

\n

P_c=P_p+P_b=108+72√(3).

"}]}