{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nW pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby 𝑊 wszystkich wierzchołków do\nliczby 𝐾 wszystkich krawędzi jest równy 𝑊\n𝐾= 3\n5 .\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPodstawą tego ostrosłupa jest\nA. kwadrat.\nB. pięciokąt foremny.\nC. sześciokąt foremny.\nD. siedmiokąt foremny.\nW pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby W wszystkich wierzchołków do liczby K wszystkich krawędzi jest równy W/K = 3/5. Podstawą tego ostrosłupa jest A. kwadrat. B. pięciokąt foremny. C. sześciokąt foremny. D. siedmiokąt foremny.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nB","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz długość $d$ przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z podstawą boku $15$ i kątem nachylenia $\\alpha$ ($\\cos \\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{3}$).\n\nWylicz przekątną podstawy. Podstawa to kwadrat o boku $15$. Przekątna kwadratu = $a\\sqrt{2}$:\n\n$$d_p = 15\\sqrt{2}$$\n\nZauważ trójkąt prostokątny. Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i wysokość bryły tworzą trójkąt prostokątny (z kątem prostym przy podstawie).\n\nPrzekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną, przekątna podstawy = przyprostokątna przyległa do kąta $\\alpha$. Wówczas:\n\n$$\\cos \\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{d_p}{d}$$\n\nPodstaw dane i rozwiąż.\n\n$$\\frac{\\sqrt{2}}{3} = \\frac{15\\sqrt{2}}{d}$$\n\nPomnóż na krzyż:\n\n$$d \\cdot \\sqrt{2} = 3 \\cdot 15\\sqrt{2}$$\n\n$$d = \\frac{45\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 45$$\n\nPo co to umieć\n\nW stereometrii kąt między prostą a płaszczyzną liczymy z trójkąta prostokątnego, w którym jedną przyprostokątną jest rzut prostej, drugą — odcinek prostopadły do płaszczyzny.\n\nKlasyczny schemat dla graniastosłupa: przekątna graniastosłupa + przekątna podstawy + wysokość = trójkąt prostokątny.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie przekątnej **graniastosłupa** (przestrzennej) z przekątną **podstawy** (płaskiej). Przekątna graniastosłupa to ta która biegnie od jednego wierzchołka dolnej podstawy do **przeciwległego** wierzchołka górnej podstawy.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"stereometria, graniastosłup, przekątna, kąt nachylenia, Graniastosłupy i ostrosłupy","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby 𝑊 wszystkich wierzchołków do<br>liczby 𝐾 wszystkich krawędzi jest równy 𝑊<br>𝐾= 3<br>5 .<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Podstawą tego ostrosłupa jest<br>A. kwadrat.<br>B. pięciokąt foremny.<br>C. sześciokąt foremny.<br>D. siedmiokąt foremny.<br>W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby W wszystkich wierzchołków do liczby K wszystkich krawędzi jest równy W/K = 3/5. Podstawą tego ostrosłupa jest A. kwadrat. B. pięciokąt foremny. C. sześciokąt foremny. D. siedmiokąt foremny.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>I. Sprawność rachunkowa.<br>Wykonywanie obliczeń na liczbach<br>rzeczywistych, także przy użyciu<br>kalkulatora, stosowanie praw działań<br>matematycznych przy przekształcaniu<br>wyrażeń algebraicznych oraz<br>wykorzystywanie tych umiejętności przy<br>rozwiązywaniu problemów w kontekstach<br>rzeczywistych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>XI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach<br>kombinatorycznych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>B<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: B</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Wyznacz długość $d$ przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z podstawą boku $15$ i kątem nachylenia $\\alpha$ ($\\cos \\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{3}$).</p>\n<p>Wylicz przekątną podstawy. Podstawa to kwadrat o boku $15$. Przekątna kwadratu = $a\\sqrt{2}$:</p>\n<p>$$d_p = 15\\sqrt{2}$$</p>\n<p>Zauważ trójkąt prostokątny. Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i wysokość bryły tworzą trójkąt prostokątny (z kątem prostym przy podstawie).</p>\n<p>Przekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną, przekątna podstawy = przyprostokątna przyległa do kąta $\\alpha$. Wówczas:</p>\n<p>$$\\cos \\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{d_p}{d}$$</p>\n<p>Podstaw dane i rozwiąż.</p>\n<p>$$\\frac{\\sqrt{2}}{3} = \\frac{15\\sqrt{2}}{d}$$</p>\n<p>Pomnóż na krzyż:</p>\n<p>$$d \\cdot \\sqrt{2} = 3 \\cdot 15\\sqrt{2}$$</p>\n<p>$$d = \\frac{45\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 45$$</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>W stereometrii kąt między prostą a płaszczyzną liczymy z trójkąta prostokątnego, w którym jedną przyprostokątną jest rzut prostej, drugą — odcinek prostopadły do płaszczyzny.</p>\n<p>Klasyczny schemat dla graniastosłupa: przekątna graniastosłupa + przekątna podstawy + wysokość = trójkąt prostokątny.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie przekątnej <strong>graniastosłupa</strong> (przestrzennej) z przekątną <strong>podstawy</strong> (płaskiej). Przekątna graniastosłupa to ta która biegnie od jednego wierzchołka dolnej podstawy do <strong>przeciwległego</strong> wierzchołka górnej podstawy.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B2</h4>\n<p>Trójkąt \\(KLM\\) jest <strong>prostokątny</strong>, ponieważ <strong>dwie z tych prostych są prostopadłe</strong>.</p>\n<h4>Sposób 1 - sprawdzenie prostopadłości prostych przez iloczyn współczynników kierunkowych</h4>\n<p>Odczytujemy współczynniki kierunkowe każdej prostej:</p>\n<p>\\[a_1 = \\sqrt{3}, \\qquad a_2 = -\\sqrt{3}, \\qquad a_3 = -\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]</p>\n<p>Warunek prostopadłości: \\(a_i \\cdot a_j = -1\\). Sprawdzamy wszystkie pary:</p>\n<p>\\[a_1 \\cdot a_2 = \\sqrt{3} \\cdot (-\\sqrt{3}) = -3 \\neq -1 \\quad \\text{(nie prostopadłe)}\\]</p>\n<p>\\[a_2 \\cdot a_3 = (-\\sqrt{3}) \\cdot \\left(-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\right) = +1 \\neq -1 \\quad \\text{(nie prostopadłe)}\\]</p>\n<p>\\[a_1 \\cdot a_3 = \\sqrt{3} \\cdot \\left(-\\frac{1}{\\sqrt{3}}\\right) = -\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = -1 \\quad \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Proste pierwsza i trzecia są prostopadłe!</strong> Przecinają się w pewnym wierzchołku trójkąta, tworząc tam kąt \\(90°\\). Trójkąt jest prostokątny. Uzasadnienie <strong>2</strong> jest prawdziwe.</p>\n<h4>Sposób 2 - wyznaczenie wierzchołków i weryfikacja twierdzeniem Pitagorasa</h4>\n<p><strong>Znajdźmy wierzchołki trójkąta.</strong></p>\n<p><strong>Wierzchołek K</strong> (prosta 1 ∩ prosta 2):<br>\\[\\sqrt{3}x + 6 = -\\sqrt{3}x + 6 \\implies 2\\sqrt{3}x = 0 \\implies x = 0,\\quad y = 6\\]<br>\\[K = (0,\\, 6)\\]</p>\n<p><strong>Wierzchołek L</strong> (prosta 1 ∩ prosta 3):<br>\\[\\sqrt{3}x + 6 = -\\frac{1}{\\sqrt{3}}x - 2 \\implies \\left(\\sqrt{3} + \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\right)x = -8 \\implies \\frac{4}{\\sqrt{3}}\\,x = -8 \\implies x = -2\\sqrt{3}\\]<br>\\[y = \\sqrt{3}\\cdot(-2\\sqrt{3}) + 6 = -6 + 6 = 0\\]<br>\\[L = (-2\\sqrt{3},\\, 0)\\]</p>\n<p><strong>Wierzchołek M</strong> (prosta 2 ∩ prosta 3):<br>\\[-\\sqrt{3}x + 6 = -\\frac{1}{\\sqrt{3}}x - 2 \\implies \\left(-\\sqrt{3} + \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\right)x = -8 \\implies -\\frac{2}{\\sqrt{3}}\\,x = -8 \\implies x = 4\\sqrt{3}\\]<br>\\[y = -\\sqrt{3}\\cdot 4\\sqrt{3} + 6 = -12 + 6 = -6\\]<br>\\[M = (4\\sqrt{3},\\, -6)\\]</p>\n<p><strong>Obliczamy długości boków:</strong></p>\n<p>\\[|KL|^2 = (0-(-2\\sqrt{3}))^2 + (6-0)^2 = 12 + 36 = 48\\]<br>\\[|LM|^2 = (-2\\sqrt{3}-4\\sqrt{3})^2 + (0-(-6))^2 = (-6\\sqrt{3})^2 + 36 = 108 + 36 = 144\\]<br>\\[|KM|^2 = (0-4\\sqrt{3})^2 + (6-(-6))^2 = 48 + 144 = 192\\]</p>\n<p>Sprawdzamy twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[|KL|^2 + |LM|^2 = 48 + 144 = 192 = |KM|^2 \\quad \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Kąt prosty jest przy wierzchołku \\(L = (-2\\sqrt{3}, 0\\))</strong>, co zgadza się z Warunkiem 1. Trójkąt jest prostokątny.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]<br>Użyliśmy tego wprost w Sposobie 1 do stwierdzenia, że prosta 1 i prosta 3 są prostopadłe.</p>\n<p><strong>Dział 11 (s. 22)</strong> - długość odcinka:<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia boków trójkąta i weryfikacji Pitagorasa.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Weryfikacja w Sposobie 2: \\(48 + 144 = 192\\) ✓</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Opcja | Co jest nie tak |<br>| <strong>A (równoramienny)</strong> | \\|KL\\| = \\(4\\sqrt{3} \\approx 6{,}93\\), \\|LM\\| = \\(12\\), \\|KM\\| = \\(8\\sqrt{3} \\approx 13{,}86\\) - <strong>wszystkie boki różnej długości</strong>, trójkąt nie jest równoramienny |<br>| <strong>B1</strong> | Uzasadnienie 1 opisuje prawdziwą własność (oś \\(Ox\\) przechodzi przez \\(L\\) i przez środek boku \\(KM\\)), ale to jest <strong>konsekwencja</strong> bycia prostokątnym, a nie wyjaśnienie - środek przeciwprostokątnej jest circumcenter, czyli leży w równej odległości od wszystkich wierzchołków |<br>| <strong>B3</strong> | Uzasadnienie 3 też jest prawdziwe (oś \\(Oy\\) faktycznie jest dwusieczną kąta przy \\(K\\), bo prosta 1 i prosta 2 mają symetryczne nachylenia \\(\\pm\\sqrt{3}\\)), ale to <strong>nie wyjaśnia</strong>, czemu trójkąt jest prostokątny - dwusieczna kąta na osi \\(Oy\\) nie decyduje o kącie prostym |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), <strong>nie</strong> \\(a_1 \\cdot a_2 = 0\\) (to byłoby prostopadłe do osi \\(Ox\\)) ani \\(a_1 = -a_2\\) (to równoległość po odbiciu).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Proste 1 i 2 mają symetryczne nachylenia (\\(\\sqrt{3}\\) i \\(-\\sqrt{3}\\)), co kusi do stwierdzenia &quot;trójkąt równoramienny&quot;. Symetria nachyleń oznacza tylko, że te dwie proste są symetryczne względem osi \\(Oy\\), ale nie implikuje równości dwóch boków trójkąta - trzecia prosta &quot;zaburza&quot; symetrię.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W zadaniach tego typu zawsze sprawdzaj <strong>WSZYSTKIE trzy pary</strong> prostych pod kątem prostopadłości - błędem jest sprawdzenie tylko jednej lub dwóch par.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B2</strong> (czyli trójkąt prostokątny, ponieważ dwie z tych prostych są prostopadłe).</p>\n<h5>Sposób 1 - Sprawdzenie prostopadłości</h5>\n<p>Współczynniki kierunkowe trzech prostych:</p>\n<ul><li>\\(a_{1} = \\sqrt{3}\\),</li><li>\\(a_{2} = -\\sqrt{3}\\),</li><li>\\(a_{3} = -\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\).</li></ul>\n<p>Dwie proste są prostopadłe, gdy \\(a\\cdot a&#x27; = -1\\).</p>\n<ul><li>\\(a_{1}\\cdot a_{3} = \\sqrt{3}\\cdot\\left(-\\tfrac{1}{\\sqrt{3}}\\right) = -1\\) ✓.</li></ul>\n<p>Proste 1. i 3. są prostopadłe, więc w punkcie ich przecięcia jest <strong>kąt prosty</strong> - trójkąt \\(KLM\\) jest <strong>prostokątny</strong>.</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie równoramienności (wykluczenie A)</h5>\n<p>\\(a_{1}\\) i \\(a_{2}\\) są przeciwne (symetryczne względem \\(Oy\\)), więc proste \\(y=\\sqrt{3}x+6\\) i \\(y=-\\sqrt{3}x+6\\) tworzą symetryczną &quot;V&quot; z wierzchołkiem \\((0, 6)\\). Trzecia prosta \\(y=-\\tfrac{1}{\\sqrt{3}}x-2\\) <strong>nie jest</strong> symetryczna względem osi \\(Oy\\), więc tró jkąt nie jest koniecznie równoramienny.<br>Jednak głównym wnioskiem jest kąt prosty: <strong>B2</strong> jest jednoznacznie poprawne, bo prostopadłość wymusza kąt prosty.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A1.</strong> Oś \\(Ox\\) nie przechodzi przez wierzchołek w standardowy sposób.</li><li><strong>A3.</strong> Oś \\(Oy\\) nie jest dwusieczną - tylko pierwsze dwie proste są symetryczne.</li><li><strong>B1, B3.</strong> Prawidłowa jest kategoria (B), ale uzasadnienie inne niż 2.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Aby stwierdzić czy trójkąt jest prostokątny: sprawdź iloczyn współczynników kierunkowych prostych - \\(= -1\\) oznacza prostopadłość → kąt prosty.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, w ostrosłupie prawidłowym z podstawą w kształcie pięciokąta foremnego mamy $6$ wierzchołków i $10$ krawędzi, co daje stosunek $\\small\\displaystyle\\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}$, zgodnie z danym warunkiem.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Jeżeli podstawa ma n boków, ostrosłup ma</p>\n<p>W=n+1</p>\n<p>wierzchołków oraz</p>\n<p>K=2n</p>\n<p>krawędzi. Z warunku</p>\n<p>(n+1)/(2n)=(3)/(5)</p>\n<p>otrzymujemy</p>\n<p>5n+5=6n,</p>\n<p>czyli</p>\n<p>n=5.</p>"}]}