{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko\ncyfry 0, 5, 7 (np. 57 075, 55 555), jest\nA. 53\nB. 2 ⋅43\nC. 2 ⋅34\nD. 35\n\nMMAP-P0_100\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0,5,7 (np. 57075, 55555), jest A. 5³ B. 2⋅4³ C. 2⋅3^4 D. 3^5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nA","solution":"Odpowiedź: **Objętość: $V = 108$** **Pole całkowite: $P_c = 108 + 72\\sqrt{3}$** Bok podstawy: $a = 6\\sqrt{3}$, wysokość ostrosłupa: $H = 3$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nDane: ostrosłup prawidłowy czworokątny (podstawa = kwadrat), wysokość ściany bocznej $h_s = 6$, kąt nachylenia ściany bocznej $\\alpha = 30°$. Wyznacz $V$ i $P_c$.\n\nWyznacz bok podstawy $a$. Trójkąt prostokątny: apotema podstawy ($\\frac{a}{2}$), wysokość ostrosłupa ($H$), wysokość ściany bocznej ($h_s$).\n\n$$\\cos 30° = \\frac{a/2}{h_s} = \\frac{a/2}{6}$$\n\n$$\\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{a/2}{6} \\implies a/2 = 3\\sqrt{3} \\implies a = 6\\sqrt{3}$$\n\nWyznacz wysokość ostrosłupa $H$:\n\n$$\\sin 30° = \\frac{H}{h_s} = \\frac{H}{6}$$\n\n$$\\frac{1}{2} = \\frac{H}{6} \\implies H = 3$$\n\nPole podstawy (kwadrat):\n\n$$P_p = a^2 = (6\\sqrt{3})^2 = 108$$\n\nObjętość ostrosłupa:\n\n$$V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot H = \\frac{1}{3} \\cdot 108 \\cdot 3 = 108$$\n\nPole jednej ściany bocznej (trójkąt o podstawie $a$ i wysokości $h_s$):\n\n$$P_s = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_s = \\frac{1}{2} \\cdot 6\\sqrt{3} \\cdot 6 = 18\\sqrt{3}$$\n\nPole 4 ścian bocznych: $4 P_s = 72\\sqrt{3}$.\n\nPole powierzchni całkowitej:\n\n$$P_c = P_p + 4 P_s = 108 + 72\\sqrt{3}$$\n\nPo co to umieć\n\nW ostrosłupie prawidłowym kluczowym trójkątem prostokątnym jest: apotema podstawy + wysokość bryły + wysokość ściany bocznej. Ten trójkąt łączy wszystkie 3 parametry. Z dwóch znanych można zawsze obliczyć trzeci (Pitagoras lub funkcje trygonometryczne).\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie **wysokości ściany bocznej** ($h_s$, apotema ściany) z **krawędzią boczną** (od wierzchołka podstawy do szczytu). To dwie różne wielkości.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"ostrosłup prawidłowy, objętość, pole powierzchni, Kombinatoryka","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 28. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko<br>cyfry 0, 5, 7 (np. 57 075, 55 555), jest<br>A. 53<br>B. 2 ⋅43<br>C. 2 ⋅34<br>D. 35</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0,5,7 (np. 57075, 55555), jest A. 5³ B. 2⋅4³ C. 2⋅3^4 D. 3^5</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 28. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>XI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach<br>kombinatorycznych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>C<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: <strong>Objętość: $V = 108$</strong> <strong>Pole całkowite: $P_c = 108 + 72\\sqrt{3}$</strong> Bok podstawy: $a = 6\\sqrt{3}$, wysokość ostrosłupa: $H = 3$.</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Dane: ostrosłup prawidłowy czworokątny (podstawa = kwadrat), wysokość ściany bocznej $h_s = 6$, kąt nachylenia ściany bocznej $\\alpha = 30°$. Wyznacz $V$ i $P_c$.</p>\n<p>Wyznacz bok podstawy $a$. Trójkąt prostokątny: apotema podstawy ($\\frac{a}{2}$), wysokość ostrosłupa ($H$), wysokość ściany bocznej ($h_s$).</p>\n<p>$$\\cos 30° = \\frac{a/2}{h_s} = \\frac{a/2}{6}$$</p>\n<p>$$\\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{a/2}{6} \\implies a/2 = 3\\sqrt{3} \\implies a = 6\\sqrt{3}$$</p>\n<p>Wyznacz wysokość ostrosłupa $H$:</p>\n<p>$$\\sin 30° = \\frac{H}{h_s} = \\frac{H}{6}$$</p>\n<p>$$\\frac{1}{2} = \\frac{H}{6} \\implies H = 3$$</p>\n<p>Pole podstawy (kwadrat):</p>\n<p>$$P_p = a^2 = (6\\sqrt{3})^2 = 108$$</p>\n<p>Objętość ostrosłupa:</p>\n<p>$$V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot H = \\frac{1}{3} \\cdot 108 \\cdot 3 = 108$$</p>\n<p>Pole jednej ściany bocznej (trójkąt o podstawie $a$ i wysokości $h_s$):</p>\n<p>$$P_s = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_s = \\frac{1}{2} \\cdot 6\\sqrt{3} \\cdot 6 = 18\\sqrt{3}$$</p>\n<p>Pole 4 ścian bocznych: $4 P_s = 72\\sqrt{3}$.</p>\n<p>Pole powierzchni całkowitej:</p>\n<p>$$P_c = P_p + 4 P_s = 108 + 72\\sqrt{3}$$</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>W ostrosłupie prawidłowym kluczowym trójkątem prostokątnym jest: apotema podstawy + wysokość bryły + wysokość ściany bocznej. Ten trójkąt łączy wszystkie 3 parametry. Z dwóch znanych można zawsze obliczyć trzeci (Pitagoras lub funkcje trygonometryczne).</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie <strong>wysokości ściany bocznej</strong> ($h_s$, apotema ściany) z <strong>krawędzią boczną</strong> (od wierzchołka podstawy do szczytu). To dwie różne wielkości.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(6\\sqrt{5}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Środek przekątnej = środek symetrii</h4>\n<p><strong>Kluczowa własność równoległoboku:</strong> przekątne równoległoboku przecinają się w połowie - punkt przecięcia jest środkiem każdej z nich.</p>\n<p>Zatem \\(S = (2, 2)\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\), gdzie \\(A = (-1, -4)\\).</p>\n<p>Wyznaczamy współrzędne wierzchołka \\(C\\) ze wzoru na środek odcinka:</p>\n<p>\\[x_S = \\frac{x_A + x_C}{2} \\implies 2 = \\frac{-1 + x_C}{2} \\implies x_C = 5\\]</p>\n<p>\\[y_S = \\frac{y_A + y_C}{2} \\implies 2 = \\frac{-4 + y_C}{2} \\implies y_C = 8\\]</p>\n<p>Mamy więc \\(C = (5, 8)\\).</p>\n<p>Liczymy długość przekątnej \\(AC\\):</p>\n<p>\\[|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\\]</p>\n<p>\\[|AC| = \\sqrt{(5 - (-1))^2 + (8 - (-4))^2} = \\sqrt{6^2 + 12^2}\\]</p>\n<p>\\[|AC| = \\sqrt{36 + 144} = \\sqrt{180} = \\sqrt{36 \\cdot 5} = \\mathbf{6\\sqrt{5}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez długość połówki przekątnej</h4>\n<p>Skoro \\(S\\) jest środkiem \\(AC\\), możemy policzyć \\(|AS|\\) (odległość od \\(A\\) do środka przekątnej), a potem podwoić:</p>\n<p>\\[|AS| = \\sqrt{(2-(-1))^2 + (2-(-4))^2} = \\sqrt{3^2 + 6^2} = \\sqrt{9 + 36} = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(S\\) to środek \\(AC\\):</p>\n<p>\\[|AC| = 2 \\cdot |AS| = 2 \\cdot 3\\sqrt{5} = \\mathbf{6\\sqrt{5}}\\]</p>\n<p>Wyniki obu sposobów są zgodne. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)</strong> - długość odcinka:<br>\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]<br>Użyliśmy do wyznaczenia \\(|AC|\\) (Sposób 1) i \\(|AS|\\) (Sposób 2).</p>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)</strong> - środek odcinka:<br>\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]<br>Użyliśmy do wyznaczenia współrzędnych \\(C\\) (Sposób 1).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A - \\(\\sqrt{5}\\) | Policzono \\(\\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \\sqrt{25} = 5\\) - czyli coś bez sensu z samych współrzędnych \\(A\\), bez uwzględnienia \\(S\\) |<br>| B - \\(2\\sqrt{5}\\) | Policzono odległość \\(|AS|\\) bez pomnożenia przez 2 - uczeń zapomniał, że \\(S\\) to <strong>środek</strong>, więc \\(|AC| = 2|AS|\\) |<br>| C - \\(3\\sqrt{5}\\) | Błąd j.w. - wyliczono tylko \\(|AS| = 3\\sqrt{5}\\) i uznano to za wynik końcowy |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to policzenie \\(|AS|\\) zamiast \\(|AC|\\). Pamiętaj - \\(S\\) to <strong>środek</strong> przekątnej, więc \\(|AC| = 2 \\cdot |AS|\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy odejmowaniu współrzędnych łatwo o błąd znaku. \\(y_C - y_A = 8 - (-4) = 12\\), nie \\(8-4=4\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{180}\\) trzeba uprościć - wyciągnij \\(\\sqrt{36} = 6\\) przed pierwiastek, żeby dostać \\(6\\sqrt{5}\\). Nie zostawiaj w postaci \\(\\sqrt{180}\\) - to nie jest uproszczona forma.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Środek symetrii = środek przekątnej</h5>\n<p>W równoległoboku przekątne przecinają się w środku, który jest środkiem symetrii. Zatem \\(S\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\).<br>Z własności środka: \\(|AC| = 2|AS|\\).</p>\n<p>Odległość \\(|AS|\\) (karta wzorów):<br>\\[|AS| = \\sqrt{(2-(-1))^{2} + (2-(-4))^{2}} = \\sqrt{3^{2} + 6^{2}} = \\sqrt{9 + 36} = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}.\\]<br>Stąd \\(|AC| = 2\\cdot 3\\sqrt{5} = 6\\sqrt{5}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Obliczenie \\(C\\) i potem \\(|AC|\\)</h5>\n<p>\\(S\\) środek \\(AC\\), więc \\(C = 2S - A = (4-(-1), 4-(-4)) = (5, 8)\\).<br>\\[|AC| = \\sqrt{(5-(-1))^{2} + (8-(-4))^{2}} = \\sqrt{36 + 144} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> \\(\\sqrt{5}\\) - zdający obliczył, ale zapomniał podnieść do kwadratu różnice.</li><li><strong>B.</strong> \\(2\\sqrt{5}\\) - zdający policzył \\(|AS|\\) błędnie.</li><li><strong>C.</strong> \\(3\\sqrt{5}\\) - zdający obliczył \\(|AS|\\) i <strong>zapomniał pomnożyć przez 2</strong>.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> środek symetrii równoległoboku dzieli przekątne na pół - przekątna jest dwa razy dłuższa niż odcinek od wierzchołka do środka.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, zauważ, że mamy utworzyć liczby pięciocyfrowe, w których mogą występować jedynie cyfry $\\{0,5,7\\}$, ale jedna z nich jest równa $0$, zatem nie może być ona cyfrą dziesiątek tysięcy utworzonej liczby. Stąd cyfrą dziesiątek tysięcy może być jedynie $5$ lub $7$ czyli mamy $2$ możliwości. Każdą z pozostałych cyfr tej liczby wybieramy na $3$ sposoby ze zbioru $\\{0,5,7\\}$. Więc liczba wszystkich pięciocyfrowych liczb, które możemy utworzyć w ten sposób wynosi ${2\\cdot3\\cdot3\\cdot3\\cdot3=2\\cdot3^4}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc mamy 2 możliwości: 5 lub 7 . Na każdej z pozostałych czterech pozycji można wybrać jedną z 3 cyfr. Liczba takich liczb wynosi</p>\n<p>2·3^4.</p>"}]}