{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nNa diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.\nUzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną\nspośród oznaczonych literami A-E.\n29.1.\nMediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest\nrówna\n29.2.\nŚrednia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest\nrówna\nA. 5,80 zł\nB. 5,73 zł\nC. 5,85 zł\nD. 6,00 zł\nE. 5,70 zł\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n5,05\n5,60\n5,70\n6,00\n6,30\nliczba\nsklepów\ncena za 1 kg pomidorów (w zł)\n29.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nNa diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach. [rysunek] Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-E. Mediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa Średnia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa A. 5,80 zł B. 5,73 zł C. 5,85 zł D. 6,00 zł D. 5,70 zł","answer":"29","answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną i […]\nznajduje medianę […].\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi.\n1 pkt - wybranie jednej poprawnej odpowiedzi.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\n29.1. C\n29.1. B\n29.2. A\n29.2. E\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz liczbę boków podstawy $n$, gdy $\\frac{W}{K} = \\frac{3}{5}$.\n\nZapisz wzory dla ostrosłupa prawidłowego z $n$-kątną podstawą:\n\n- Wierzchołki: $n$ (z podstawy) + $1$ (szczyt) = $n + 1$\n- Krawędzie: $n$ (boki podstawy) + $n$ (krawędzie boczne) = $2n$\n\nZastosuj warunek:\n\n$$\\frac{W}{K} = \\frac{n+1}{2n} = \\frac{3}{5}$$\n\nPomnóż na krzyż:\n\n$$5(n+1) = 6n$$\n$$5n + 5 = 6n$$\n$$n = 5$$\n\nWniosek: podstawa to pięciokąt foremny.\n\nSprawdzenie: $W = 6$, $K = 10$, $\\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}$ ✓\n\nPo co to umieć\n\nDla ostrosłupa o $n$-kątnej podstawie:\n- Wierzchołki: $W = n+1$\n- Krawędzie: $K = 2n$\n- Ściany: $S = n+1$\n\nSprawdza się wzorem Eulera dla wielościanów wypukłych: $W - K + S = 2$. Dla ostrosłupa: $(n+1) - 2n + (n+1) = 2$ ✓.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: zapomnienie o wierzchołku **na szczycie** ostrosłupa lub o tym, że krawędzie boczne też się liczą. Wzory: $W = n+1$ (podstawa + szczyt), $K = 2n$ (podstawa + boczne).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"ostrosłup, wierzchołki, krawędzie, Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 29. (0-2)<br>Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.<br>Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną<br>spośród oznaczonych literami A-E.<br>29.1.<br>Mediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest<br>równa<br>29.2.<br>Średnia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest<br>równa<br>A. 5,80 zł<br>B. 5,73 zł<br>C. 5,85 zł<br>D. 6,00 zł<br>E. 5,70 zł<br>0<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>6<br>5,05<br>5,60<br>5,70<br>6,00<br>6,30<br>liczba<br>sklepów<br>cena za 1 kg pomidorów (w zł)<br>29.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach. [rysunek] Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-E. Mediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa Średnia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa A. 5,80 zł B. 5,73 zł C. 5,85 zł D. 6,00 zł D. 5,70 zł</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 29. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>I. Sprawność rachunkowa.<br>Wykonywanie obliczeń na liczbach<br>rzeczywistych, także przy użyciu<br>kalkulatora, stosowanie praw działań<br>matematycznych przy przekształcaniu<br>wyrażeń algebraicznych oraz<br>wykorzystywanie tych umiejętności przy<br>rozwiązywaniu problemów w kontekstach<br>rzeczywistych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>XII.2) oblicza średnią arytmetyczną i […]<br>znajduje medianę […].<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi.<br>1 pkt - wybranie jednej poprawnej odpowiedzi.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>29.1. C<br>29.1. B<br>29.2. A<br>29.2. E<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: B</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Wyznacz liczbę boków podstawy $n$, gdy $\\frac{W}{K} = \\frac{3}{5}$.</p>\n<p>Zapisz wzory dla ostrosłupa prawidłowego z $n$-kątną podstawą:</p>\n<ul><li>Wierzchołki: $n$ (z podstawy) + $1$ (szczyt) = $n + 1$</li><li>Krawędzie: $n$ (boki podstawy) + $n$ (krawędzie boczne) = $2n$</li></ul>\n<p>Zastosuj warunek:</p>\n<p>$$\\frac{W}{K} = \\frac{n+1}{2n} = \\frac{3}{5}$$</p>\n<p>Pomnóż na krzyż:</p>\n<p>$$5(n+1) = 6n$$<br>$$5n + 5 = 6n$$<br>$$n = 5$$</p>\n<p>Wniosek: podstawa to pięciokąt foremny.</p>\n<p>Sprawdzenie: $W = 6$, $K = 10$, $\\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}$ ✓</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Dla ostrosłupa o $n$-kątnej podstawie:</p>\n<ul><li>Wierzchołki: $W = n+1$</li><li>Krawędzie: $K = 2n$</li><li>Ściany: $S = n+1$</li></ul>\n<p>Sprawdza się wzorem Eulera dla wielościanów wypukłych: $W - K + S = 2$. Dla ostrosłupa: $(n+1) - 2n + (n+1) = 2$ ✓.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: zapomnienie o wierzchołku <strong>na szczycie</strong> ostrosłupa lub o tym, że krawędzie boczne też się liczą. Wzory: $W = n+1$ (podstawa + szczyt), $K = 2n$ (podstawa + boczne).</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<p><strong>29.1.</strong> ## Poprawna odpowiedź: D - \\(216 + 108\\sqrt{3}\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Pole podstawy + pole boczne (z definicji)</h4>\n<p>Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma:</p>\n<ul><li>podstawę = sześciokąt foremny o boku \\(a = 6\\)</li><li>wysokość = \\(h = 6\\) (każda krawędź boczna też ma długość 6)</li></ul>\n<p><strong>Krok 1: Pole jednej podstawy</strong></p>\n<p>Sześciokąt foremny dzielimy na <strong>6 trójkątów równobocznych</strong> o boku \\(a = 6\\):</p>\n<p>\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{36\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>\\[P_{\\text{podstawy}} = 6 \\cdot P_{\\triangle} = 6 \\cdot 9\\sqrt{3} = 54\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Pole powierzchni bocznej</strong></p>\n<p>Powierzchnia boczna to 6 prostokątów, każdy o wymiarach \\(a \\times h = 6 \\times 6\\):</p>\n<p>\\[P_b = 6 \\cdot a \\cdot h = 6 \\cdot 6 \\cdot 6 = 216\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Pole całkowite</strong></p>\n<p>Graniastosłup ma <strong>2 podstawy</strong>:</p>\n<p>\\[P_c = 2P_{\\text{podstawy}} + P_b = 2 \\cdot 54\\sqrt{3} + 216 = \\mathbf{216 + 108\\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór ogólny na graniastosłup prosty</h4>\n<p>Ze wzoru dla graniastosłupa prostego:</p>\n<p>\\[P_b = O_b \\cdot h\\]</p>\n<p>gdzie \\(O_b\\) to obwód podstawy.</p>\n<p><strong>Obwód sześciokąta foremnego o boku 6:</strong></p>\n<p>\\[O_b = 6 \\cdot 6 = 36\\]</p>\n<p><strong>Pole boczne:</strong></p>\n<p>\\[P_b = 36 \\cdot 6 = 216\\]</p>\n<p><strong>Pole podstawy</strong> (wzór bezpośredni na sześciokąt foremny o boku \\(a\\)):</p>\n<p>\\[P_{\\text{podstawy}} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\cdot a^2 = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\cdot 36 = 54\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Wynik:</strong></p>\n<p>\\[P_c = P_b + 2P_{\\text{podstawy}} = 216 + 2 \\cdot 54\\sqrt{3} = \\mathbf{216 + 108\\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - wzór na pole graniastosłupa prostego:<br>\\[P_b = O_b \\cdot h\\]<br>Użyliśmy tego do obliczenia powierzchni bocznej - obwód podstawy razy wysokość.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)</strong> - pole trójkąta równobocznego:<br>\\[P_\\triangle = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]<br>Użyliśmy tego, by policzyć pole sześciokąta foremnego rozbijając go na 6 trójkątów równobocznych.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A: \\(216 + 18\\sqrt{3}\\) | Policzono pole <strong>tylko jednego</strong> trójkąta równobocznego (\\(9\\sqrt{3}\\)) i pomnożono przez 2 zamiast przez 12 (czyli \\(2 \\times 6\\)) |<br>| B: \\(216 + 54\\sqrt{3}\\) | Dodano pole tylko <strong>jednej</strong> podstawy zamiast dwóch - zapomniano o górnej ścianie |<br>| C: \\(216 + 216\\sqrt{3}\\) | Pomylono sześciokąt foremny z sześcioma kwadratami (przemnożono \\(6 \\times 36\\) zamiast \\(6 \\times 9\\sqrt{3}\\)) lub błędnie użyto wzoru \\(a^2\\) bez czynnika \\(\\frac{\\sqrt{3}}{4}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> &quot;Każda krawędź ma długość 6&quot; oznacza, że krawędzie <strong>boczne</strong> i krawędzie <strong>podstawy</strong> mają tę samą długość. Nie mylić z graniastosłupem, gdzie podana jest tylko krawędź podstawy!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sześciokąt foremny = <strong>6 trójkątów równobocznych</strong>. To kluczowe skojarzenie - nie liczyć pola sześciokąta jako \\(6 \\times a^2\\) (to byłoby pole 6 kwadratów!).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Graniastosłup ma <strong>dwie</strong> podstawy - górną i dolną. Bardzo częsty błąd to dodanie pola tylko jednej podstawy.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Suma pól boków i podstaw (karta wzorów)</h5>\n<p>Graniastosłup prawidłowy sześciokątny: podstawy to sześciokąty foremne o boku \\(a = 6\\), ściany boczne to prostokąty \\(a \\times H\\), gdzie \\(H = 6\\).</p>\n<p><strong>Pole podstawy:</strong> sześciokąt foremny o boku \\(a\\):<br>\\[P_{6} = \\dfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3\\cdot 36\\cdot\\sqrt{3}}{2} = 54\\sqrt{3}.\\]<br>Są dwie podstawy: \\(2\\cdot 54\\sqrt{3} = 108\\sqrt{3}\\).</p>\n<p><strong>Pole powierzchni bocznej:</strong> \\(6\\) prostokątów \\(6\\times 6\\):<br>\\[P_{b} = 6\\cdot 6\\cdot 6 = 216.\\]</p>\n<p><strong>Pole całkowite:</strong><br>\\[P_{c} = 216 + 108\\sqrt{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sześciokąt jako 6 trójkątów równobocznych</h5>\n<p>Sześciokąt foremny o boku \\(a\\) = \\(6\\) trójkątów równobocznych o boku \\(a\\): pole \\(= 6\\cdot\\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} = \\tfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2} = 54\\sqrt{3}\\). Dalej jak wyżej.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> \\(216 + 18\\sqrt{3}\\) - zdający policzył tylko jedno pole podstawy jako \\(9\\sqrt{3}\\) (błąd we wzorze).</li><li><strong>B.</strong> \\(216 + 54\\sqrt{3}\\) - zdający uwzględnił tylko <strong>jedną</strong> podstawę zamiast dwóch.</li><li><strong>C.</strong> \\(216 + 216\\sqrt{3}\\) - błąd w polu podstawy.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> pole sześciokąta foremnego \\(= \\tfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2}\\) - zapamiętaj; nie myl z \\(\\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\) dla trójkąta równobocznego.</p>\n<p><strong>29.2.</strong> ## Poprawna odpowiedź: D</p>\n<p>Cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej do płaszczyzny podstawy wynosi \\(\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - geometryczny (trójkąt prostokątny z przekątną)</h4>\n<p><strong>Co wiemy:</strong></p>\n<ul><li>Graniastosłup prawidłowy sześciokątny - podstawa to sześciokąt foremny o boku \\(a = 6\\)</li><li>Krawędź boczna (wysokość graniastosłupa) \\(h = 6\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz długość dłuższej przekątnej podstawy.</strong></p>\n<p>W sześciokącie foremnym o boku \\(a\\) dłuższa przekątna łączy dwa wierzchołki leżące naprzeciwko siebie. Składa się z dwóch promieni sześciokąta, a promień sześciokąta foremnego równa się długości boku. Stąd:<br>\\[d_{\\text{podstawy}} = 2a = 2 \\cdot 6 = 12\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz długość dłuższej przekątnej przestrzennej graniastosłupa.</strong></p>\n<p>Dłuższa przekątna przestrzenna łączy wierzchołek \\(A\\) dolnej podstawy z wierzchołkiem \\(D&#x27;\\) górnej podstawy, gdzie \\(D&#x27;\\) leży dokładnie nad wierzchołkiem naprzeciwległym do \\(A\\). Jej rzut na podstawę to właśnie dłuższa przekątna podstawy o długości 12. Z twierdzenia Pitagorasa:<br>\\[d = \\sqrt{d_{\\text{podstawy}}^2 + h^2} = \\sqrt{12^2 + 6^2} = \\sqrt{144 + 36} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Oblicz cosinus kąta nachylenia.</strong></p>\n<p>Kąt \\(\\alpha\\) między przekątną przestrzenną a płaszczyzną podstawy to kąt w trójkącie prostokątnym, gdzie:</p>\n<ul><li>przyprostokątna pozioma = rzut na podstawę = \\(12\\)</li><li>przyprostokątna pionowa = wysokość = \\(6\\)</li><li>przeciwprostokątna = przekątna przestrzenna = \\(6\\sqrt{5}\\)</li></ul>\n<p>\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{rzut na podstawę}}{\\text{długość przekątnej}} = \\frac{12}{6\\sqrt{5}} = \\frac{2}{\\sqrt{5}} = \\frac{2\\sqrt{5}}{5}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - przez współrzędne wierzchołków</h4>\n<p><strong>Umieść graniastosłup w układzie współrzędnych.</strong> Środek dolnej podstawy w \\((0, 0, 0)\\), oś \\(z\\) pionowo.</p>\n<p>Wierzchołki dolnej podstawy sześciokąta foremnego o boku 6 i centrum w początku układu (promień = 6):<br>\\[A = (6,\\ 0,\\ 0), \\quad D = (-6,\\ 0,\\ 0)\\]</p>\n<p>Wierzchołek górnej podstawy leżący nad \\(D\\):<br>\\[D&#x27; = (-6,\\ 0,\\ 6)\\]</p>\n<p><strong>Wektor przekątnej</strong> \\(\\overrightarrow{AD&#x27;}\\):<br>\\[\\overrightarrow{AD&#x27;} = [-6-6,\\ 0-0,\\ 6-0] = [-12,\\ 0,\\ 6]\\]</p>\n<p><strong>Długość wektora:</strong><br>\\[|\\overrightarrow{AD&#x27;}| = \\sqrt{(-12)^2 + 0^2 + 6^2} = \\sqrt{144 + 36} = 6\\sqrt{5}\\]</p>\n<p><strong>Rzut na płaszczyznę podstawy</strong> (\\(z = 0\\)) to wektor \\([-12, 0, 0]\\) o długości \\(12\\).</p>\n<p>Cosinus kąta między przekątną a płaszczyzną \\(z=0\\):<br>\\[\\cos\\alpha = \\frac{|\\text{rzut poziomy}|}{|\\overrightarrow{AD&#x27;}|} = \\frac{12}{6\\sqrt{5}} = \\frac{2\\sqrt{5}}{5}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny z Metodą 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)</strong> - Twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[c^2 = a^2 + b^2\\]<br>Użyte w Kroku 2 do obliczenia długości przekątnej przestrzennej z rzutu poziomego i wysokości.</p>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - graniastosłup prosty:<br>\\[V = P_p \\cdot h\\]<br>Pojawia się kontekstowo; kluczowe jest tu, że wysokość graniastosłupa prostego = krawędź boczna.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]<br>Użyte w Kroku 3 do wyznaczenia kąta nachylenia.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Wzięcie krótszej przekątnej podstawy (\\(a\\sqrt{3} = 6\\sqrt{3}\\)) zamiast dłuższej (\\(2a = 12\\)) |<br>| B | Obliczenie sinusa zamiast cosinusa: \\(\\sin\\alpha = \\frac{6}{6\\sqrt{5}} = \\frac{\\sqrt{5}}{5}\\) |<br>| C | Pominięcie pierwiastka - błędne uproszczenie \\(\\frac{12}{6\\sqrt{5}} = \\frac{2}{5}\\) zamiast \\(\\frac{2\\sqrt{5}}{5}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W sześciokącie foremnym są DWA rodzaje przekątnych - krótsza (\\(a\\sqrt{3}\\)) i dłuższa (\\(2a\\)). Zadanie pyta o dłuższą - to tę, która przechodzi przez środek. Nie myl ich!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między prostą a jej <strong>rzutem</strong> na tę płaszczyznę. Do cosinusa bierzemy stosunek rzutu do długości przekątnej (przyprostokątna pozioma do przeciwprostokątnej) - nie pionowej do całości!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Racjonalizacja mianownika: \\(\\dfrac{2}{\\sqrt{5}} = \\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\) - egzamin wymaga formy bez pierwiastka w mianowniku.</blockquote>\n<p><strong>Rozwiązanie: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{5}} = \\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\).</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z przekątną</h5>\n<p>Dłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego łączy dwa przeciwległe wierzchołki (np. dolny \\(A\\) z górnym \\(D&#x27;\\)).</p>\n<ul><li>W sześciokącie foremnym o boku \\(6\\): dłuższa przekątna podstawy \\(|AD|\\) ma długość \\(2a = 2\\cdot 6 = 12\\).</li><li>Wysokość graniastosłupa \\(H = 6\\).</li></ul>\n<p>Rozważmy trójkąt prostokątny \\(ADD&#x27;\\), gdzie \\(|AD|=12\\), \\(|DD&#x27;|=6\\), a przekątna \\(|AD&#x27;| = \\sqrt{12^{2} + 6^{2}} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\).</p>\n<p>Kąt \\(\\alpha\\) to kąt między \\(AD&#x27;\\) a podstawą (czyli \\(AD\\)):<br>\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{|AD|}{|AD&#x27;|} = \\dfrac{12}{6\\sqrt{5}} = \\dfrac{2}{\\sqrt{5}} = \\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Z tangensa i jedynki trygonometrycznej</h5>\n<p>\\(\\tan\\alpha = \\dfrac{H}{|AD|} = \\dfrac{6}{12} = \\dfrac{1}{2}\\).<br>Z zależności: \\(1 + \\tan^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^{2}\\alpha}\\):<br>\\[\\cos^{2}\\alpha = \\dfrac{1}{1 + \\tfrac{1}{4}} = \\dfrac{4}{5}, \\quad \\cos\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{5}}.\\]</p>\n<h5>Uwagi o punktacji (CKE)</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong> - rozwiązanie poprawne z wynikiem \\(\\dfrac{2}{\\sqrt{5}}\\) lub \\(\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\).</li><li><strong>0 pkt</strong> - rozwiązanie niepoprawne lub brak rozwiązania.</li></ul>\n<h5>Kluczowe fakty o sześciokącie foremnym</h5>\n<ul><li>Krótsza przekątna: \\(a\\sqrt{3}\\).</li><li><strong>Dłuższa przekątna: \\(2a\\)</strong> (przechodzi przez środek figury).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w sześciokącie foremnym dłuższa przekątna jest <strong>dwa razy dłuższa niż bok</strong> - prosto, bez pierwiastków.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Ceny uporządkowane występują odpowiednio 2,4,2,5,3 razy. Jest 16 obserwacji. Ósma wartość to 5 , 70 , a dziewiąta to 6 , 00 , więc</p>\n<p>Me=frac 5 , 70+6 , 00 2 =5 , 85.</p>\n<p>Średnia:</p>\n<p>frac 2·5 , 05+4·5 , 60+2·5 , 70+5·6 , 00+3·6 , 30 16<br>=5 , 80.</p>"}]}