{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba (𝟐𝒏+ 𝟏)𝟐-𝟏 jest podzielna\nprzez 𝟖.\n3.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej $x\\xge1$ liczba (2n+1)^2-1 jest podzielna przez 8.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia nie trudniejsze niż dowód\npodzielności przez 24 iloczynu czterech\nkolejnych liczb naturalnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci iloczynu 4𝑛(𝑛+ 1) oraz\nstwierdzenie, że iloczyn 𝑛(𝑛+ 1) jest liczbą parzystą\nlub przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 4(𝑛2 + 𝑛) i uzasadnienie,\nże suma 𝑛2 + 𝑛 jest liczbą parzystą\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 2𝑛(2𝑛+ 2) oraz\nstwierdzenie, że wśród dwóch kolejnych liczb parzystych jedna z nich jest liczbą\npodzielną przez 4,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑙 (gdzie 𝑙∈ℕ), tj. przekształcenie wyrażenia\n(2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 8𝑙(2𝑙+ 1) i zapisanie, że iloczyn 𝑙(2𝑙+ 1) jest liczbą\nnaturalną/całkowitą oraz rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑙+ 1 (gdzie 𝑙∈ℕ),\ntj. przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 8(2𝑙2 + 3𝑙+ 1) i\nzapisanie, że suma 2𝑙2 + 3𝑙+ 1 jest liczbą naturalną/całkowitą.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 4𝑛(𝑛+ 1) lub 4(𝑛2 + 𝑛),\nlub 2𝑛(2𝑛+ 2)\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 4𝑛2 + 4𝑛 i stwierdzenie, że\nta suma jest liczbą podzielną przez 4,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑙 (gdzie 𝑙∈ℕ), tj. przekształcenie wyrażenia\n(2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 8𝑙(2𝑙+ 1) i zapisanie, że iloczyn 𝑙(2𝑙+ 1) jest liczbą\nnaturalną/całkowitą,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑙+ 1 (gdzie 𝑙∈ℕ), tj. przekształcenie\nwyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 8(2𝑙2 + 3𝑙+ 1) i zapisanie, że suma\n2𝑙2 + 3𝑙+ 1 jest liczbą naturalną/całkowitą.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛= 8𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛\nprzez 8, i przeprowadzi poprawne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale\nnie przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt\nza całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje przypadki 𝑛= 2𝑙 oraz 𝑛= 2𝑙+ 1 (gdzie 𝑙∈ℕ) i przekształca\nwyrażenie (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci, odpowiednio, 8𝑙(2𝑙+ 1) oraz 2𝑙2 + 3𝑙+ 1, ale\nnie zapisze, że 8𝑙(2𝑙+ 1) oraz 2𝑙2 + 3𝑙+ 1 są liczbami naturalnymi/całkowitymi, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKorzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛+ 1)2 -1 w postaci\n(2𝑛+ 1)2 -1 = 4𝑛2 + 4𝑛+ 1 -1 = 4𝑛(𝑛+ 1)\nPonieważ liczby 𝑛 oraz 𝑛+ 1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą\nparzystą, zatem iloczyn 𝑛(𝑛+ 1) jest liczbą parzystą, więc iloczyn 4𝑛(𝑛+ 1) jest\npodzielny przez 8. To należało wykazać.\nSposób II\nKorzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛+ 1)2 -1 w postaci\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(2𝑛+ 1)2 -1 = 4𝑛2 + 4𝑛+ 1 -1 = 4(𝑛2 + 𝑛)\nGdy 𝑛 jest liczbą nieparzystą, to liczba 𝑛2 jest liczbą nieparzystą. Zatem 𝑛2 + 𝑛 jest\nliczbą parzystą jako suma dwóch liczb nieparzystych.\nGdy 𝑛 jest liczbą parzystą, to liczba 𝑛2 jest liczbą parzystą. Zatem 𝑛2 + 𝑛 jest liczbą\nparzystą jako suma dwóch liczb parzystych.\nStąd 4(𝑛2 + 𝑛) jest liczbą podzielną przez 8. To należało wykazać.\nSposób III\nKorzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛+ 1)2 -1 w postaci\n(2𝑛+ 1)2 -1 = [(2𝑛+ 1) -1] ⋅[(2𝑛+ 1) + 1] = 2𝑛⋅(2𝑛+ 2)\nPonieważ liczby 2𝑛 oraz 2𝑛+ 2 są kolejnymi liczbami parzystymi, to jedna z nich jest\nliczbą podzielną przez 4. Zatem iloczyn 2𝑛(2𝑛+ 2) jest liczbą podzielną przez 2 ⋅4, czyli\nprzez 8. To należało wykazać.\nSposób IV\nRozważmy dwa przypadki: gdy 𝑛 jest liczbą parzystą oraz gdy 𝑛 jest liczbą nieparzystą.\nJeśli 𝑛 jest liczbą parzystą, możemy ją zapisać w postaci 𝑛= 2𝑙, gdzie 𝑙∈ℕ. Wówczas\nbadana liczba ma postać\n(2𝑛+ 1)2 -1 = (2 ⋅2𝑙+ 1)2 -1 = 16𝑙2 + 8𝑙+ 1 -1 = 8𝑙(2𝑙+ 1)\nPonieważ 𝑙∈ℕ, to również iloczyn 𝑙(2𝑙+ 1) jest liczbą naturalną. Zatem iloczyn\n8𝑙(2𝑙+ 1) jest podzielny przez 8.\nJeśli liczba 𝑛 jest nieparzysta, zapisujemy ją w postaci 𝑛= 2𝑙+ 1, gdzie 𝑙∈ℕ. Wówczas\nbadana liczba ma postać\n(2𝑛+ 1)2 -1 = [2(2𝑙+ 1) + 1]2 -1 = [4𝑙+ 3]2 -1 =\n= 16𝑙2 + 24𝑙+ 9 -1 = 8(2𝑙2 + 3𝑙+ 1)\nPonieważ 𝑙∈ℕ, to również 2𝑙2 + 3𝑙+ 1 jest liczbą naturalną. Zatem iloczyn\n8(2𝑙2 + 3𝑙+ 1) jest podzielny przez 8. To należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: $(2n+1)^2 - 1 = 4n(n+1)$. Iloczyn $n(n+1)$ dwóch kolejnych liczb naturalnych jest **parzysty** (jedna z nich jest parzysta), więc $n(n+1) = 2k$ dla pewnego $k \\in \\mathbb{N}$. Stąd $4n(n+1) = 8k$ — liczba podzielna przez $8$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nTrzeba pokazać, że dla każdego $n \\in \\mathbb{N}_{+}$ wyrażenie $(2n+1)^2 - 1$ jest podzielne przez $8$. Strategia: rozwinąć kwadrat, wyłączyć wspólny czynnik i wykorzystać fakt, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty.\n\nRozwiń wzór skróconego mnożenia. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, więc:\n\n$$(2n+1)^2 = (2n)^2 + 2 \\cdot 2n \\cdot 1 + 1^2 = 4n^2 + 4n + 1$$\n\nOdejmij 1 i wyłącz wspólny czynnik.\n\n$$(2n+1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 4n^2 + 4n = 4n(n+1)$$\n\nZauważ kluczowy fakt: iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty.\n\n$n(n+1)$ to iloczyn $n$ i jego następnika. Jedna z tych liczb jest parzysta (bo z dwóch kolejnych liczb dokładnie jedna jest parzysta), więc:\n\n$$n(n+1) = 2k \\quad \\text{dla pewnego } k \\in \\mathbb{N}$$\n\nPołącz wyniki.\n\n$$(2n+1)^2 - 1 = 4n(n+1) = 4 \\cdot 2k = 8k$$\n\nTo znaczy, że $(2n+1)^2 - 1$ jest podzielne przez $8$ dla każdego $n \\in \\mathbb{N}_{+}$.\n\nCo należało dowieść.\n\nPo co to umieć\n\nDowody podzielności pojawiają się na maturze regularnie. Klucz: rozwinąć wzór skróconego mnożenia, wyłączyć wspólny czynnik, wykorzystać fakt o parzystości kolejnych liczb. Iloczyn $n$ kolejnych liczb jest podzielny przez $n!$.\n\nTypowy błąd: Pierwsza pułapka: rozwinięcie kwadratu z błędem, np. $(2n+1)^2 = 4n^2 + 1$ (zapomnienie podwojonego iloczynu). Druga: dowód „przez przykład\" zamiast ogólny — sprawdzenie dla $n=1, 2, 3$ to **nie jest dowód**, dostaniesz 0 pkt.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"dowód, podzielność, wzory skróconego mnożenia, Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba (𝟐𝒏+ 𝟏)𝟐-𝟏 jest podzielna
przez 𝟖.
3.
0-1-2

\n

MMAP-P0_100
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $x\\xge1$ liczba (2n+1)^2-1 jest podzielna przez 8.

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące
podzielności liczb całkowitych i reszt
z dzielenia nie trudniejsze niż dowód
podzielności przez 24 iloczynu czterech
kolejnych liczb naturalnych.
Zasady oceniania
2 pkt - przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci iloczynu 4𝑛(𝑛+ 1) oraz
stwierdzenie, że iloczyn 𝑛(𝑛+ 1) jest liczbą parzystą
lub przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 4(𝑛2 + 𝑛) i uzasadnienie,
że suma 𝑛2 + 𝑛 jest liczbą parzystą
ALBO

\n\n

stwierdzenie, że wśród dwóch kolejnych liczb parzystych jedna z nich jest liczbą
podzielną przez 4,
ALBO

\n\n

(2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 8𝑙(2𝑙+ 1) i zapisanie, że iloczyn 𝑙(2𝑙+ 1) jest liczbą
naturalną/całkowitą oraz rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑙+ 1 (gdzie 𝑙∈ℕ),
tj. przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 8(2𝑙2 + 3𝑙+ 1) i
zapisanie, że suma 2𝑙2 + 3𝑙+ 1 jest liczbą naturalną/całkowitą.
1 pkt - przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 4𝑛(𝑛+ 1) lub 4(𝑛2 + 𝑛),
lub 2𝑛(2𝑛+ 2)
ALBO

\n\n

ta suma jest liczbą podzielną przez 4,
ALBO

\n\n

(2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 8𝑙(2𝑙+ 1) i zapisanie, że iloczyn 𝑙(2𝑙+ 1) jest liczbą
naturalną/całkowitą,
ALBO

\n\n

wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 8(2𝑙2 + 3𝑙+ 1) i zapisanie, że suma
2𝑙2 + 3𝑙+ 1 jest liczbą naturalną/całkowitą.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje
\n

0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛= 8𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛
\n

przez 8, i przeprowadzi poprawne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale
nie przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt
za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający rozpatruje przypadki 𝑛= 2𝑙 oraz 𝑛= 2𝑙+ 1 (gdzie 𝑙∈ℕ) i przekształca
\n

wyrażenie (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci, odpowiednio, 8𝑙(2𝑙+ 1) oraz 2𝑙2 + 3𝑙+ 1, ale
nie zapisze, że 8𝑙(2𝑙+ 1) oraz 2𝑙2 + 3𝑙+ 1 są liczbami naturalnymi/całkowitymi, to
otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Korzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛+ 1)2 -1 w postaci
(2𝑛+ 1)2 -1 = 4𝑛2 + 4𝑛+ 1 -1 = 4𝑛(𝑛+ 1)
Ponieważ liczby 𝑛 oraz 𝑛+ 1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą
parzystą, zatem iloczyn 𝑛(𝑛+ 1) jest liczbą parzystą, więc iloczyn 4𝑛(𝑛+ 1) jest
podzielny przez 8. To należało wykazać.
Sposób II
Korzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛+ 1)2 -1 w postaci
Zasady oceniania rozwiązań zadań
(2𝑛+ 1)2 -1 = 4𝑛2 + 4𝑛+ 1 -1 = 4(𝑛2 + 𝑛)
Gdy 𝑛 jest liczbą nieparzystą, to liczba 𝑛2 jest liczbą nieparzystą. Zatem 𝑛2 + 𝑛 jest
liczbą parzystą jako suma dwóch liczb nieparzystych.
Gdy 𝑛 jest liczbą parzystą, to liczba 𝑛2 jest liczbą parzystą. Zatem 𝑛2 + 𝑛 jest liczbą
parzystą jako suma dwóch liczb parzystych.
Stąd 4(𝑛2 + 𝑛) jest liczbą podzielną przez 8. To należało wykazać.
Sposób III
Korzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛+ 1)2 -1 w postaci
(2𝑛+ 1)2 -1 = [(2𝑛+ 1) -1] ⋅[(2𝑛+ 1) + 1] = 2𝑛⋅(2𝑛+ 2)
Ponieważ liczby 2𝑛 oraz 2𝑛+ 2 są kolejnymi liczbami parzystymi, to jedna z nich jest
liczbą podzielną przez 4. Zatem iloczyn 2𝑛(2𝑛+ 2) jest liczbą podzielną przez 2 ⋅4, czyli
przez 8. To należało wykazać.
Sposób IV
Rozważmy dwa przypadki: gdy 𝑛 jest liczbą parzystą oraz gdy 𝑛 jest liczbą nieparzystą.
Jeśli 𝑛 jest liczbą parzystą, możemy ją zapisać w postaci 𝑛= 2𝑙, gdzie 𝑙∈ℕ. Wówczas
badana liczba ma postać
(2𝑛+ 1)2 -1 = (2 ⋅2𝑙+ 1)2 -1 = 16𝑙2 + 8𝑙+ 1 -1 = 8𝑙(2𝑙+ 1)
Ponieważ 𝑙∈ℕ, to również iloczyn 𝑙(2𝑙+ 1) jest liczbą naturalną. Zatem iloczyn
8𝑙(2𝑙+ 1) jest podzielny przez 8.
Jeśli liczba 𝑛 jest nieparzysta, zapisujemy ją w postaci 𝑛= 2𝑙+ 1, gdzie 𝑙∈ℕ. Wówczas
badana liczba ma postać
(2𝑛+ 1)2 -1 = [2(2𝑙+ 1) + 1]2 -1 = [4𝑙+ 3]2 -1 =
= 16𝑙2 + 24𝑙+ 9 -1 = 8(2𝑙2 + 3𝑙+ 1)
Ponieważ 𝑙∈ℕ, to również 2𝑙2 + 3𝑙+ 1 jest liczbą naturalną. Zatem iloczyn
8(2𝑙2 + 3𝑙+ 1) jest podzielny przez 8. To należało wykazać.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: $(2n+1)^2 - 1 = 4n(n+1)$. Iloczyn $n(n+1)$ dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty (jedna z nich jest parzysta), więc $n(n+1) = 2k$ dla pewnego $k \\in \\mathbb{N}$. Stąd $4n(n+1) = 8k$ — liczba podzielna przez $8$.

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

Trzeba pokazać, że dla każdego $n \\in \\mathbb{N}_{+}$ wyrażenie $(2n+1)^2 - 1$ jest podzielne przez $8$. Strategia: rozwinąć kwadrat, wyłączyć wspólny czynnik i wykorzystać fakt, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty.

\n

Rozwiń wzór skróconego mnożenia. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, więc:

\n

$$(2n+1)^2 = (2n)^2 + 2 \\cdot 2n \\cdot 1 + 1^2 = 4n^2 + 4n + 1$$

\n

Odejmij 1 i wyłącz wspólny czynnik.

\n

$$(2n+1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 4n^2 + 4n = 4n(n+1)$$

\n

Zauważ kluczowy fakt: iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty.

\n

$n(n+1)$ to iloczyn $n$ i jego następnika. Jedna z tych liczb jest parzysta (bo z dwóch kolejnych liczb dokładnie jedna jest parzysta), więc:

\n

$$n(n+1) = 2k \\quad \\text{dla pewnego } k \\in \\mathbb{N}$$

\n

Połącz wyniki.

\n

$$(2n+1)^2 - 1 = 4n(n+1) = 4 \\cdot 2k = 8k$$

\n

To znaczy, że $(2n+1)^2 - 1$ jest podzielne przez $8$ dla każdego $n \\in \\mathbb{N}_{+}$.

\n

Co należało dowieść.

\n

Po co to umieć

\n

Dowody podzielności pojawiają się na maturze regularnie. Klucz: rozwinąć wzór skróconego mnożenia, wyłączyć wspólny czynnik, wykorzystać fakt o parzystości kolejnych liczb. Iloczyn $n$ kolejnych liczb jest podzielny przez $n!$.

\n

Typowy błąd: Pierwsza pułapka: rozwinięcie kwadratu z błędem, np. $(2n+1)^2 = 4n^2 + 1$ (zapomnienie podwojonego iloczynu). Druga: dowód „przez przykład" zamiast ogólny — sprawdzenie dla $n=1, 2, 3$ to nie jest dowód, dostaniesz 0 pkt.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: $x_0 = -3$, styczna: $y = -\\dfrac{8}{11}x + \\dfrac{9}{11}$

\n

Sposób 1 - bezpośredni (podstawienie + reguła ilorazu)

\n

Krok 1: Wyznaczamy $x_0$

\n

Skoro $P = (x_0, 3)$ leży na wykresie $f$, to $f(x_0) = 3$:

\n

\\[\\frac{3x_0^2 - 2x_0}{x_0^2 + 2x_0 + 8} = 3\\]

\n

Mnożymy obie strony przez mianownik:

\n

\\[3x_0^2 - 2x_0 = 3(x_0^2 + 2x_0 + 8)\\]

\n

\\[3x_0^2 - 2x_0 = 3x_0^2 + 6x_0 + 24\\]

\n

\\[-2x_0 = 6x_0 + 24\\]

\n

\\[-8x_0 = 24 \\implies \\boxed{x_0 = -3}\\]

\n

Punkt $P = (-3, 3)$.

\n

Krok 2: Liczymy $f'(x)$ regułą ilorazu

\n

Oznaczamy $u = 3x^2 - 2x$, $v = x^2 + 2x + 8$, więc $u' = 6x - 2$, $v' = 2x + 2$.

\n

\\[f'(x) = \\frac{u'v - uv'}{v^2} = \\frac{(6x-2)(x^2+2x+8) - (3x^2-2x)(2x+2)}{(x^2+2x+8)^2}\\]

\n

Rozwijamy licznik:

\n

\\[(6x-2)(x^2+2x+8) = 6x^3 + 10x^2 + 44x - 16\\]

\n

\\[(3x^2-2x)(2x+2) = 6x^3 + 2x^2 - 4x\\]

\n

\\[\\text{Licznik} = (6x^3 + 10x^2 + 44x - 16) - (6x^3 + 2x^2 - 4x) = 8x^2 + 48x - 16 = 8(x^2 + 6x - 2)\\]

\n

Zatem:
\\[f'(x) = \\frac{8(x^2 + 6x - 2)}{(x^2 + 2x + 8)^2}\\]

\n

Krok 3: Obliczamy nachylenie stycznej w $x_0 = -3$

\n

Liczymy potrzebne wartości:

\n

\\[x^2 + 2x + 8 \\Big|_{x=-3} = 9 - 6 + 8 = 11\\]

\n

\\[x^2 + 6x - 2 \\Big|_{x=-3} = 9 - 18 - 2 = -11\\]

\n

\\[f'(-3) = \\frac{8 \\cdot (-11)}{11^2} = \\frac{-88}{121} = -\\frac{8}{11}\\]

\n

Krok 4: Równanie stycznej

\n

Korzystamy ze wzoru na styczną w punkcie $(x_0, f(x_0))$:

\n

\\[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\\]

\n

\\[y = -\\frac{8}{11}(x - (-3)) + 3\\]

\n

\\[y = -\\frac{8}{11}x - \\frac{24}{11} + \\frac{33}{11}\\]

\n

\\[\\boxed{y = -\\frac{8}{11}x + \\frac{9}{11}}\\]

\n

Sposób 2 - elegancki (dzielenie wielomianów najpierw)

\n

Zanim policzymy pochodną, uproszczamy $f(x)$ przez dzielenie wielomianów.

\n

Dzielimy $3x^2 - 2x$ przez $x^2 + 2x + 8$:

\n

\\[3x^2 - 2x = 3 \\cdot (x^2 + 2x + 8) + r(x)\\]

\n

\\[r(x) = (3x^2 - 2x) - (3x^2 + 6x + 24) = -8x - 24 = -8(x+3)\\]

\n

Zatem:

\n

\\[f(x) = 3 - \\frac{8(x+3)}{x^2 + 2x + 8}\\]

\n

Wyznaczenie $x_0$ - natychmiast!

\n

Mianownik $x^2 + 2x + 8 = (x+1)^2 + 7 > 0$ zawsze, więc $f(x) = 3 \\iff \\dfrac{8(x+3)}{x^2+2x+8} = 0 \\iff x + 3 = 0$, czyli $x_0 = -3$.

\n

Pochodna z uproszczonej postaci:

\n

\\[f'(x) = -\\left[\\frac{8(x+3)}{x^2+2x+8}\\right]' = -\\frac{8(x^2+2x+8) - 8(x+3)(2x+2)}{(x^2+2x+8)^2}\\]

\n

Licznik wewnętrzny:

\n

\\[(x^2+2x+8) - (x+3)(2x+2) = x^2+2x+8 - (2x^2+8x+6) = -x^2-6x+2\\]

\n

\\[f'(x) = -\\frac{-8(x^2+6x-2)}{(x^2+2x+8)^2} = \\frac{8(x^2+6x-2)}{(x^2+2x+8)^2}\\]

\n

Wynik ten sam co w Sposobie 1. Dalej identycznie: $f'(-3) = -\\dfrac{8}{11}$, styczna $y = -\\dfrac{8}{11}x + \\dfrac{9}{11}$.

\n

Weryfikacja: dla $x = -3$: $\\quad y = -\\dfrac{8}{11} \\cdot (-3) + \\dfrac{9}{11} = \\dfrac{24+9}{11} = \\dfrac{33}{11} = 3$ ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33) - reguła ilorazu:
\\[\\left[\\frac{f(x)}{g(x)}\\right]' = \\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\\]
Użyta w obu Sposobach do wyznaczenia $f'(x)$.

\n

Dział 16 - równanie stycznej w punkcie $(x_0, f(x_0))$:
\\[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\\]
Użyte w Kroku 4 do zapisania równania stycznej.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - obliczenie dyskryminanty $\\Delta$ trójmianu $x^2+2x+8$:
\\[\\Delta = 4 - 32 = -28 < 0\\]
Potwierdza, że mianownik jest zawsze dodatni (brak pierwiastków rzeczywistych, a $a = 1 > 0$).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Po przeniesieniu mianownika na prawą stronę (mnożenie przez $x^2+2x+8$) wyrazy $3x_0^2$ skracają się - to jest celowe i prawidłowe, nie oznacza błędu!
\n
⚠️ Uwaga: Przy regule ilorazu pamiętaj o kolejności: $u'v - uv'$, nie $uv' - u'v$! Zamiana znaków to jeden z najczęstszych błędów na maturze.
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź, czy mianownik nie zeruje się w $x_0 = -3$: $(-3)^2 + 2(-3) + 8 = 11 \\neq 0$, więc $f$ jest określona w tym punkcie. Zawsze warto to zweryfikować!
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x_{0} = -3\\); styczna: \\(y = -\\dfrac{8}{11}x + \\dfrac{9}{11}\\).

\n
Sposób 1
\n

Krok 1. Obliczamy odciętą punktu \\(P\\).

\n

Z warunku \\(f(x_{0}) = 3\\):
\\[\\dfrac{3x_{0}^{2} - 2x_{0}}{x_{0}^{2} + 2x_{0} + 8} = 3\\]
\\[3x_{0}^{2} - 2x_{0} = 3x_{0}^{2} + 6x_{0} + 24\\]
\\[-8x_{0} = 24 \\implies x_{0} = -3\\]

\n

Krok 2. Wyznaczamy pochodną funkcji.

\n

Z wzoru na pochodną ilorazu:
\\[f'(x) = \\dfrac{(6x - 2)(x^{2} + 2x + 8) - (3x^{2} - 2x)(2x + 2)}{(x^{2} + 2x + 8)^{2}}\\]

\n

Po uproszczeniu licznika:
\\[f'(x) = \\dfrac{8x^{2} + 48x - 16}{(x^{2} + 2x + 8)^{2}}\\]

\n

Krok 3. Obliczamy współczynnik kierunkowy stycznej.

\n

Dla \\(x_{0} = -3\\):

\n\n

\\[a = f'(-3) = \\dfrac{-88}{121} = -\\dfrac{8}{11}\\]

\n

Krok 4. Wyznaczamy równanie stycznej.

\n

Styczna: \\(y - 3 = -\\dfrac{8}{11}(x - (-3))\\), czyli \\(y = -\\dfrac{8}{11}(x + 3) + 3\\).

\n

Po uproszczeniu:
\\[y = -\\dfrac{8}{11}x + \\dfrac{9}{11}\\]

\n
Sposób 2 (podstawienie)
\n

Podstawienie \\(y = a(x+3) + 3\\) pod styczną w \\(P\\) i wymaganie styczności (pojedynczy pierwiastek dwukrotny \\(f(x) - y = 0\\) w \\(x = -3\\)) daje ten sam współczynnik \\(a = -\\tfrac{8}{11}\\). Metoda bezpośrednia przez pochodną jest prostsza.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Równanie stycznej: \\(y = f'(x_{0})(x - x_{0}) + f(x_{0})\\). Zawsze przekształcaj do postaci \\(y = ax + b\\).

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

(2n+1)^2-1=4n^2+4n=4n(n+1).

\n

Liczby n i n+1 są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta. Iloczyn n(n+1) jest zatem podzielny przez 2 , a liczba

\n

4n(n+1)

\n

jest podzielna przez 8 .

"}]}