{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31.\nWłaściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów\nz 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę 𝐿 obsługiwanych klientów 𝑛-tego dnia opisuje\nfunkcja\n𝐿(𝑛) = -𝑛2 + 22𝑛+ 279\ngdzie 𝑛 jest liczbą naturalną spełniającą warunki 𝑛≥1 i 𝑛≤30.\nWłaściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę L obsługiwanych klientów n-tego dnia opisuje funkcja L(n) = -n² + 22n + 279 gdzie n jest liczbą naturalną spełniającą warunki n≥1 i n≤30. Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: **29.1 (mediana): C — $5{,}85$ zł** **29.2 (średnia): A — $5{,}80$ zł**\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nW $16$ sklepach ceny pomidorów (zł/kg) i liczba sklepów: $5{,}05 \\to 2$, $5{,}60 \\to 4$, $5{,}70 \\to 2$, $6{,}00 \\to 5$, $6{,}30 \\to 3$. Oblicz medianę (29.1) i średnią (29.2).\n\nMediana — wartość środkowa dla $n = 16$ (parzyste) = średnia arytmetyczna 8. i 9. elementu po posortowaniu.\n\nUstaw ceny rosnąco z częstościami:\n\nPozycja | 1-2 | 3-6 | 7-8 | 9-13 | 14-16\nCena | $5{,}05$ | $5{,}60$ | $5{,}70$ | $6{,}00$ | $6{,}30$\n\nPozycja 8: $5{,}70$. Pozycja 9: $6{,}00$.\n\n$$\\text{mediana} = \\frac{5{,}70 + 6{,}00}{2} = \\frac{11{,}70}{2} = 5{,}85 \\text{ zł}$$\n\nŚrednia ważona (każda cena × liczba sklepów):\n\n$$\\bar{x} = \\frac{2 \\cdot 5{,}05 + 4 \\cdot 5{,}60 + 2 \\cdot 5{,}70 + 5 \\cdot 6{,}00 + 3 \\cdot 6{,}30}{16}$$\n\n$$= \\frac{10{,}10 + 22{,}40 + 11{,}40 + 30{,}00 + 18{,}90}{16}$$\n\n$$= \\frac{92{,}80}{16} = 5{,}80 \\text{ zł}$$\n\nPo co to umieć\n\nMediana dla $n$ uporządkowanych liczb:\n- $n$ nieparzyste: środkowy element ($\\frac{n+1}{2}$-ty)\n- $n$ parzyste: średnia z $\\frac{n}{2}$-tego i $\\frac{n}{2}+1$-tego elementu\n\nŚrednia ważona (z częstościami $f_i$): $\\bar{x} = \\frac{\\sum x_i f_i}{\\sum f_i}$.\n\nKlucz: zawsze sprawdź, czy diagram pokazuje wartości czy częstości.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: traktowanie 5 wartości cen jako 5 sklepów i liczenie średniej $\\frac{5{,}05+5{,}60+5{,}70+6{,}00+6{,}30}{5} = 5{,}73$ (odpowiedź B). To **błąd** — sklepów jest $16$, każda cena ma **częstość** wskazaną na diagramie.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"statystyka, mediana, średnia arytmetyczna","page_from":27,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31.
Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów
z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę 𝐿 obsługiwanych klientów 𝑛-tego dnia opisuje
funkcja
𝐿(𝑛) = -𝑛2 + 22𝑛+ 279
gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną spełniającą warunki 𝑛≥1 i 𝑛≤30.
Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę L obsługiwanych klientów n-tego dnia opisuje funkcja L(n) = -n² + 22n + 279 gdzie n jest liczbą naturalną spełniającą warunki n≥1 i n≤30. Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: 29.1 (mediana): C — $5{,}85$ zł 29.2 (średnia): A — $5{,}80$ zł

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

W $16$ sklepach ceny pomidorów (zł/kg) i liczba sklepów: $5{,}05 \\to 2$, $5{,}60 \\to 4$, $5{,}70 \\to 2$, $6{,}00 \\to 5$, $6{,}30 \\to 3$. Oblicz medianę (29.1) i średnią (29.2).

\n

Mediana — wartość środkowa dla $n = 16$ (parzyste) = średnia arytmetyczna 8. i 9. elementu po posortowaniu.

\n

Ustaw ceny rosnąco z częstościami:

\n

Pozycja | 1-2 | 3-6 | 7-8 | 9-13 | 14-16
Cena | $5{,}05$ | $5{,}60$ | $5{,}70$ | $6{,}00$ | $6{,}30$

\n

Pozycja 8: $5{,}70$. Pozycja 9: $6{,}00$.

\n

$$\\text{mediana} = \\frac{5{,}70 + 6{,}00}{2} = \\frac{11{,}70}{2} = 5{,}85 \\text{ zł}$$

\n

Średnia ważona (każda cena × liczba sklepów):

\n

$$\\bar{x} = \\frac{2 \\cdot 5{,}05 + 4 \\cdot 5{,}60 + 2 \\cdot 5{,}70 + 5 \\cdot 6{,}00 + 3 \\cdot 6{,}30}{16}$$

\n

$$= \\frac{10{,}10 + 22{,}40 + 11{,}40 + 30{,}00 + 18{,}90}{16}$$

\n

$$= \\frac{92{,}80}{16} = 5{,}80 \\text{ zł}$$

\n

Po co to umieć

\n

Mediana dla $n$ uporządkowanych liczb:

\n\n

Średnia ważona (z częstościami $f_i$): $\\bar{x} = \\frac{\\sum x_i f_i}{\\sum f_i}$.

\n

Klucz: zawsze sprawdź, czy diagram pokazuje wartości czy częstości.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: traktowanie 5 wartości cen jako 5 sklepów i liczenie średniej $\\frac{5{,}05+5{,}60+5{,}70+6{,}00+6{,}30}{5} = 5{,}73$ (odpowiedź B). To błąd — sklepów jest $16$, każda cena ma częstość wskazaną na diagramie.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{3}{10}\\)

\n

Sposób 1 - Klasyczne prawdopodobieństwo (kombinatoryczne)

\n

Przestrzeń zdarzeń - losujemy bez zwracania kolejno 2 liczby z 5. Ponieważ pytamy tylko o to, które liczby wylosowaliśmy (nie o kolejność), liczymy kombinacje.

\n

Liczba wszystkich sposobów wyboru 2 liczb z 5:
\\[|\\Omega| = \\binom{5}{2} = \\frac{5!}{2! \\cdot 3!} = 10\\]

\n

Zdarzenie A - obie wylosowane liczby są nieparzyste.

\n

Liczby nieparzyste w zbiorze \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\): to \\(1, 3, 5\\) - 3 liczby.

\n

Liczba sposobów wylosowania 2 liczb nieparzystych z tych 3:
\\[|A| = \\binom{3}{2} = \\frac{3!}{2! \\cdot 1!} = 3\\]

\n

Prawdopodobieństwo:
\\[\\boxed{P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{3}{10}}\\]

\n

Sposób 2 - Prawdopodobieństwo warunkowe (mnożenie)

\n

Tym razem korzystamy z kolejności losowania wprost.

\n

Pierwsze losowanie - szansa na liczbę nieparzystą:
\\[P(\\text{1. nieparzysta}) = \\frac{3}{5}\\]
(3 nieparzyste spośród 5 liczb)

\n

Drugie losowanie - pod warunkiem, że pierwsza była nieparzysta, pozostały już 4 liczby, w tym 2 nieparzyste:
\\[P(\\text{2. nieparzysta} \\mid \\text{1. nieparzysta}) = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Mnożenie prawdopodobieństw (zdarzenia zależne):
\\[P(A) = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{2}{4} = \\frac{6}{20} = \\frac{3}{10}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)

\n

Prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyte w Sposobie 1 - liczymy sprzyjające przypadki i dzielimy przez wszystkie możliwe.

\n

Symbol Newtona (Dział 4, s. 6):
\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]
Użyte do policzenia \\(\\binom{5}{2} = 10\\) i \\(\\binom{3}{2} = 3\\).

\n

Prawdopodobieństwo warunkowe (Dział 14, s. 30):
\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B \\mid A)\\]
Użyte w Sposobie 2 - mnożenie szans z kolejnych losowań.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: To losowanie bez zwracania - po wylosowaniu pierwszej liczby nie wraca ona do zbioru! Zostają już tylko 4 liczby. Częsty błąd: liczenie \\(\\frac{3}{5} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{9}{25}\\) jak dla losowania ze zwracaniem.
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl \\(\\binom{5}{2}\\) z \\(5 \\times 4 = 20\\). Wynik \\(\\frac{6}{20} = \\frac{3}{10}\\) jest poprawny też gdy liczymy pary uporządkowane - ważne, żeby liczyć tak samo w liczniku i mianowniku (albo oba kombinacje, albo oba permutacje).
\n
⚠️ Uwaga: Zbiór \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\) ma 3 liczby nieparzyste (1, 3, 5) i 2 parzyste (2, 4) - nie po równo! Sprawdź to zawsze przed obliczeniami.
\n

Rozwiązanie: \\(P(A) = \\dfrac{6}{20} = \\dfrac{3}{10}\\).

\n
Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (karta wzorów)
\n

Zdarzenia elementarne: uporządkowane pary \\((a, b)\\), \\(a, b \\in \\{1,2,3,4,5\\}\\), \\(a \\neq b\\).
\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 4 = 20.\\]
Liczby nieparzyste w zbiorze: \\(1, 3, 5\\) - trzy elementy.
Pary \\((a, b)\\), gdzie obie są nieparzyste i \\(a \\neq b\\):
\\[|A| = 3 \\cdot 2 = 6.\\]
(Wypisując: \\((1,3), (1,5), (3,1), (3,5), (5,1), (5,3)\\).)
Zatem:
\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{6}{20} = \\dfrac{3}{10}.\\]

\n
Sposób 2 - Drzewo stochastyczne
\n\n

\\[P(A) = \\tfrac{3}{5}\\cdot\\tfrac{1}{2} = \\tfrac{3}{10}.\\]

\n
Sposób 3 - Kombinacje
\n

Pary nieuporządkowane: wybieramy 2 z 3 nieparzystych spośród 5:
\\[P(A) = \\dfrac{\\binom{3}{2}}{\\binom{5}{2}} = \\dfrac{3}{10}.\\]

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: dwuetapowe losowanie bez zwracania - mnożymy kolejne prawdopodobieństwa warunkowe: \\(P(1.\\text{ niep.})\\cdot P(2.\\text{ niep.}|1.\\text{ niep.})\\).

"}]}