{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/31.1","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"31.1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31.1. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nŁączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni\njest równa 𝐿(30).\nP\nF\nW trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono 336 klientów.\nP\nF\nWłaściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę L obsługiwanych klientów n-tego dnia opisuje funkcja L(n) = -n² + 22n + 279 gdzie n jest liczbą naturalną spełniającą warunki n≥1 i n≤30. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa L(30). P F W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono 336 klientów. P F","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 31.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nV.3) […] interpretuje wartości funkcji\nokreślonych za pomocą […] wzorów […];\nV.2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem\nalgebraicznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nFP\nFP","solution":"## Poprawna odpowiedź: FP\n\nStwierdzenie 1 - **Fałsz**, Stwierdzenie 2 - **Prawda**\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie podstawienie i analiza znaczenia wyrażeń\n\n### Stwierdzenie 1: *Łączna liczba klientów ze wszystkich 30 dni = L(30)*\n\n**Co to jest L(30)?**\n\n\\[L(30) = -(30)^2 + 22 \\cdot 30 + 279 = -900 + 660 + 279 = \\mathbf{39}\\]\n\nZatem \\(L(30) = 39\\) to liczba klientów obsłużonych **wyłącznie w 30. dniu**.\n\n**Co to jest łączna liczba klientów?**\n\nŁączna liczba klientów to **suma** \\(L(1) + L(2) + \\ldots + L(30)\\), którą zapisujemy:\n\\[\\sum_{n=1}^{30} L(n)\\]\n\nJuż z pierwszych dni widać, że ta suma jest wielokrotnie większa niż 39:\n\\[L(1) = -1 + 22 + 279 = 300, \\quad L(2) = -4 + 44 + 279 = 319, \\quad \\ldots\\]\n\nSuma 30 liczb, z których każda jest rzędu kilkuset, **nie może** równać się 39.\n\n**Wniosek:** Stwierdzenie 1 myli wartość funkcji w punkcie \\(n = 30\\) z sumą wszystkich wartości. To **FAŁSZ**.\n\n### Stwierdzenie 2: *W trzecim dniu obsłużono 336 klientów*\n\nPodstawiamy \\(n = 3\\):\n\\[L(3) = -(3)^2 + 22 \\cdot 3 + 279\\]\n\\[L(3) = -9 + 66 + 279\\]\n\\[L(3) = \\mathbf{336}\\]\n\nWynik zgadza się dokładnie z treścią stwierdzenia. To **PRAWDA**.\n\n## Sposób 2 - weryfikacja sumy (dlaczego Stwierdzenie 1 jest tak oczywistym fałszem)\n\nPoliczmy kilka wartości \\(L(n)\\), by zobaczyć skalę sumy:\n\n| \\(n\\) | \\(L(n)\\) |\n| 1 | \\(-1 + 22 + 279 = 300\\) |\n| 11 | \\(-121 + 242 + 279 = 400\\) |\n| 11 | maksimum (wierzchołek) |\n| 30 | \\(-900 + 660 + 279 = 39\\) |\n\nWierzchołek paraboli to \\(p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{22}{2 \\cdot (-1)} = 11\\), więc w dniu 11. klientów jest najwięcej:\n\\[L(11) = -121 + 242 + 279 = 400\\]\n\nJuż sam fakt, że np. \\(L(1) = 300 \\gg 39 = L(30)\\), dowodzi że suma 30 wyrazów nie może równać się \\(L(30)\\).\n\nDla porządku - przybliżona suma przez wzór na sumę ciągu (parabola):\n\nSuma \\(\\sum_{n=1}^{30}(-n^2 + 22n + 279)\\) to suma trzech ciągów. Korzystamy ze znanych wzorów:\n\\[\\sum_{n=1}^{30} 1 = 30, \\quad \\sum_{n=1}^{30} n = \\frac{30 \\cdot 31}{2} = 465, \\quad \\sum_{n=1}^{30} n^2 = \\frac{30 \\cdot 31 \\cdot 61}{6} = 9455\\]\n\n\\[\\sum_{n=1}^{30} L(n) = -9455 + 22 \\cdot 465 + 279 \\cdot 30 = -9455 + 10230 + 8370 = \\mathbf{9145}\\]\n\nŁączna liczba klientów to **9145**, a nie 39. Stwierdzenie 1 jest fałszywe z ogromnym marginesem.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyty w Sposobie 2 przy wyznaczaniu dnia z maksymalną liczbą klientów (\\(n = 11\\)).\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - pojęcie sumy wyrazów (łączna liczba klientów to suma \\(L(1) + L(2) + \\ldots + L(30)\\)), nie wartość w jednym punkcie.\n\nW tym zadaniu kluczowe są jednak **definicje**, nie konkretne wzory z karty - rozróżnienie między \\(L(30)\\) (wartość funkcji dla \\(n=30\\)) a \\(\\sum_{n=1}^{30} L(n)\\) (suma wszystkich wartości).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odpowiedź | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **PP** (oba prawdziwe) | Uczeń myli \\(L(30)\\) z łączną sumą - twierdzi, że skoro \\(L\\) opisuje liczbę klientów, to \\(L(30)\\) to \"suma przez 30 dni\". Błędne rozumienie notacji funkcji. |\n| **FF** (oba fałszywe) | Uczeń niepoprawnie oblicza \\(L(3)\\): np. liczy \\(-(3^2 + 22 \\cdot 3 + 279)\\) z błędną kolejnością działań lub podstawia \\(n=3\\) do \\(n^2\\) jako \\(3^2=6\\). |\n| **PF** (odwrotnie) | Uczeń uznaje, że \\(L(30)\\) to suma (bo \"30 dni\"), i jednocześnie popełnia błąd rachunkowy przy \\(L(3)\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(L(n)\\) to liczba klientów **w jednym konkretnym dniu** \\(n\\), NIE suma klientów z pierwszych \\(n\\) dni. Łączna suma to \\(\\sum_{n=1}^{30} L(n)\\) - zapis zupełnie inny niż \\(L(30)\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(L(3)\\) pamiętaj o kolejności działań - najpierw \\(-(3)^2 = -9\\), a nie \\((-3)^2 = +9\\). Minus przed \\(n^2\\) dotyczy całej potęgi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stwierdzenia PF należy oceniać **niezależnie** - błąd w pierwszym nie \"przenosi się\" na drugie. Zawsze sprawdzaj każde stwierdzenie osobno, nie sugeruj się tym, że jedno jest oczywiste.\n\n**Poprawne odpowiedzi: Stwierdzenie 1 - Fałsz, Stwierdzenie 2 - Prawda.**\n\n### Stwierdzenie 1: \"Łączna liczba klientów = \\(L(30)\\)\" - **Fałsz**\n\\(L(30) = -30^2 + 22\\cdot 30 + 279 = -900 + 660 + 279 = 39\\).\nTo liczba klientów obsłużonych \\(30\\)-go dnia, **a nie łączna liczba** w ciągu \\(30\\) dni.\nŁączna liczba = \\(\\sum_{n=1}^{30} L(n)\\), co jest znacznie większe niż \\(39\\).\n\n### Stwierdzenie 2: \"W 3-cim dniu obsłużono 336 klientów\" - **Prawda**\n\\(L(3) = -9 + 66 + 279 = 336\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Kontrola wyniku\n\\(L(3) = -3^2 + 22\\cdot 3 + 279 = -9 + 66 + 279 = 336\\). OK.\n\n**Kluczowe:** \\(L(n)\\) to wartość funkcji w \\(n\\)-tym dniu, nie suma narastająco!","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-31.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-31.1.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31.1. (0-1)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest
prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni
jest równa 𝐿(30).
P
F
W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono 336 klientów.
P
F
Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę L obsługiwanych klientów n-tego dnia opisuje funkcja L(n) = -n² + 22n + 279 gdzie n jest liczbą naturalną spełniającą warunki n≥1 i n≤30. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa L(30). P F W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono 336 klientów. P F

","answer_text_html":"

Zadanie 31.1. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach
rzeczywistych, także przy użyciu
kalkulatora, stosowanie praw działań
matematycznych przy przekształcaniu
wyrażeń algebraicznych oraz
wykorzystywanie tych umiejętności przy
rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Zdający:
V.3) […] interpretuje wartości funkcji
określonych za pomocą […] wzorów […];
V.2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem
algebraicznym.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
FP
FP

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-31.1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: FP

\n

Stwierdzenie 1 - Fałsz, Stwierdzenie 2 - Prawda

\n

Sposób 1 - bezpośrednie podstawienie i analiza znaczenia wyrażeń

\n
Stwierdzenie 1: Łączna liczba klientów ze wszystkich 30 dni = L(30)
\n

Co to jest L(30)?

\n

\\[L(30) = -(30)^2 + 22 \\cdot 30 + 279 = -900 + 660 + 279 = \\mathbf{39}\\]

\n

Zatem \\(L(30) = 39\\) to liczba klientów obsłużonych wyłącznie w 30. dniu.

\n

Co to jest łączna liczba klientów?

\n

Łączna liczba klientów to suma \\(L(1) + L(2) + \\ldots + L(30)\\), którą zapisujemy:
\\[\\sum_{n=1}^{30} L(n)\\]

\n

Już z pierwszych dni widać, że ta suma jest wielokrotnie większa niż 39:
\\[L(1) = -1 + 22 + 279 = 300, \\quad L(2) = -4 + 44 + 279 = 319, \\quad \\ldots\\]

\n

Suma 30 liczb, z których każda jest rzędu kilkuset, nie może równać się 39.

\n

Wniosek: Stwierdzenie 1 myli wartość funkcji w punkcie \\(n = 30\\) z sumą wszystkich wartości. To FAŁSZ.

\n
Stwierdzenie 2: W trzecim dniu obsłużono 336 klientów
\n

Podstawiamy \\(n = 3\\):
\\[L(3) = -(3)^2 + 22 \\cdot 3 + 279\\]
\\[L(3) = -9 + 66 + 279\\]
\\[L(3) = \\mathbf{336}\\]

\n

Wynik zgadza się dokładnie z treścią stwierdzenia. To PRAWDA.

\n

Sposób 2 - weryfikacja sumy (dlaczego Stwierdzenie 1 jest tak oczywistym fałszem)

\n

Policzmy kilka wartości \\(L(n)\\), by zobaczyć skalę sumy:

\n

| \\(n\\) | \\(L(n)\\) |
| 1 | \\(-1 + 22 + 279 = 300\\) |
| 11 | \\(-121 + 242 + 279 = 400\\) |
| 11 | maksimum (wierzchołek) |
| 30 | \\(-900 + 660 + 279 = 39\\) |

\n

Wierzchołek paraboli to \\(p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{22}{2 \\cdot (-1)} = 11\\), więc w dniu 11. klientów jest najwięcej:
\\[L(11) = -121 + 242 + 279 = 400\\]

\n

Już sam fakt, że np. \\(L(1) = 300 \\gg 39 = L(30)\\), dowodzi że suma 30 wyrazów nie może równać się \\(L(30)\\).

\n

Dla porządku - przybliżona suma przez wzór na sumę ciągu (parabola):

\n

Suma \\(\\sum_{n=1}^{30}(-n^2 + 22n + 279)\\) to suma trzech ciągów. Korzystamy ze znanych wzorów:
\\[\\sum_{n=1}^{30} 1 = 30, \\quad \\sum_{n=1}^{30} n = \\frac{30 \\cdot 31}{2} = 465, \\quad \\sum_{n=1}^{30} n^2 = \\frac{30 \\cdot 31 \\cdot 61}{6} = 9455\\]

\n

\\[\\sum_{n=1}^{30} L(n) = -9455 + 22 \\cdot 465 + 279 \\cdot 30 = -9455 + 10230 + 8370 = \\mathbf{9145}\\]

\n

Łączna liczba klientów to 9145, a nie 39. Stwierdzenie 1 jest fałszywe z ogromnym marginesem.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzór na wierzchołek paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]
Użyty w Sposobie 2 przy wyznaczaniu dnia z maksymalną liczbą klientów (\\(n = 11\\)).

\n

Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - pojęcie sumy wyrazów (łączna liczba klientów to suma \\(L(1) + L(2) + \\ldots + L(30)\\)), nie wartość w jednym punkcie.

\n

W tym zadaniu kluczowe są jednak definicje, nie konkretne wzory z karty - rozróżnienie między \\(L(30)\\) (wartość funkcji dla \\(n=30\\)) a \\(\\sum_{n=1}^{30} L(n)\\) (suma wszystkich wartości).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odpowiedź | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| PP (oba prawdziwe) | Uczeń myli \\(L(30)\\) z łączną sumą - twierdzi, że skoro \\(L\\) opisuje liczbę klientów, to \\(L(30)\\) to "suma przez 30 dni". Błędne rozumienie notacji funkcji. |
| FF (oba fałszywe) | Uczeń niepoprawnie oblicza \\(L(3)\\): np. liczy \\(-(3^2 + 22 \\cdot 3 + 279)\\) z błędną kolejnością działań lub podstawia \\(n=3\\) do \\(n^2\\) jako \\(3^2=6\\). |
| PF (odwrotnie) | Uczeń uznaje, że \\(L(30)\\) to suma (bo "30 dni"), i jednocześnie popełnia błąd rachunkowy przy \\(L(3)\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(L(n)\\) to liczba klientów w jednym konkretnym dniu \\(n\\), NIE suma klientów z pierwszych \\(n\\) dni. Łączna suma to \\(\\sum_{n=1}^{30} L(n)\\) - zapis zupełnie inny niż \\(L(30)\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(L(3)\\) pamiętaj o kolejności działań - najpierw \\(-(3)^2 = -9\\), a nie \\((-3)^2 = +9\\). Minus przed \\(n^2\\) dotyczy całej potęgi.
\n
⚠️ Uwaga: Stwierdzenia PF należy oceniać niezależnie - błąd w pierwszym nie "przenosi się" na drugie. Zawsze sprawdzaj każde stwierdzenie osobno, nie sugeruj się tym, że jedno jest oczywiste.
\n

Poprawne odpowiedzi: Stwierdzenie 1 - Fałsz, Stwierdzenie 2 - Prawda.

\n
Stwierdzenie 1: "Łączna liczba klientów = \\(L(30)\\)" - Fałsz
\n

\\(L(30) = -30^2 + 22\\cdot 30 + 279 = -900 + 660 + 279 = 39\\).
To liczba klientów obsłużonych \\(30\\)-go dnia, a nie łączna liczba w ciągu \\(30\\) dni.
Łączna liczba = \\(\\sum_{n=1}^{30} L(n)\\), co jest znacznie większe niż \\(39\\).

\n
Stwierdzenie 2: "W 3-cim dniu obsłużono 336 klientów" - Prawda
\n

\\(L(3) = -9 + 66 + 279 = 336\\) ✓.

\n
Sposób 2 - Kontrola wyniku
\n

\\(L(3) = -3^2 + 22\\cdot 3 + 279 = -9 + 66 + 279 = 336\\). OK.

\n

Kluczowe: \\(L(n)\\) to wartość funkcji w \\(n\\)-tym dniu, nie suma narastająco!

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Pierwsze zdanie jest fałszywe, ponieważ L(30) oznacza liczbę klientów obsłużonych trzydziestego dnia, a nie łączną liczbę klientów z trzydziestu dni.

\n

Dla trzeciego dnia:

\n

L(3)=-3^2+22·3+279=-9+66+279=336.

\n

Drugie zdanie jest prawdziwe.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

FP

"}]}