{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/31.2","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"31.2","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31.2. (0-2)\nKtórego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów?\nOblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.\n31.2.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31.2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania zadania oraz poprawne wyniki: 11 i 400.\n1 pkt - wyznaczenie postaci kanonicznej funkcji 𝐿: 𝐿(𝑛) = -(𝑛-11)2 + 400\nALBO\n- obliczenie, którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę\nklientów lub obliczenie największej liczby klientów: 11 lub 400,\nALBO\n- obliczenie pierwszej współrzędnej 𝑝 wierzchołka paraboli z własności\n𝐿(𝑘1) = 𝐿(𝑘2), gdzie 𝑘1, 𝑘2 są różnymi liczbami takimi, że |𝑝-𝑘1| = |𝑝-𝑘2|:\n𝑝= 𝑘1 + 𝑘2\n2\n= 11\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający błędnie oblicza pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli,\ni konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza drugą współrzędną, to może otrzymać\n1 punkt za całe rozwiązanie (o ile pierwsza współrzędna jest liczbą należącą do\ndziedziny).\n2. Jeżeli zdający nie zapisze, że 11 należy do dziedziny funkcji 𝐿, to może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝐿, korzystając z rachunku\nróżniczkowego, i nie zapisze przedziałów monotoniczności funkcji, to może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie (gdy wyznaczy pochodną funkcji 𝐿(𝑥) określoną dla\n𝑥∈[1, 30], obliczy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝐿(𝑥) i wartość funkcji 𝐿 w tym\npunkcie).\n4. Jeżeli zdający oblicza 𝐿(11) = 400 i 𝐿(11 -𝑘) = 𝐿(11 + 𝑘), gdzie 𝑘≠0, i wskaże\nwartość największą, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝐿(11) = 400, to otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWykresem funkcji 𝐿(𝑛) = -𝑛2 + 22𝑛+ 279, gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną z przedziału\n[1, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół.\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝐿 do postaci kanonicznej:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝐿(𝑛) = -𝑛2 + 22𝑛+ 279 = -[𝑛2 -22𝑛] + 279 = -[(𝑛-11)2 -112] + 279 =\n= -(𝑛-11)2 + 121 + 279 = -(𝑛-11)2 + 400\nZ postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: 𝑊= (11, 400).\nInterpretujemy otrzymane wartości: największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia\nbadanego okresu i było to 400 osób.\nSposób II\nWykresem funkcji 𝐿(𝑛) = -𝑛2 + 22𝑛+ 279, gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną z przedziału\n[1, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół. Jej\nnajwiększa wartość jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli 𝑊= (𝑝, 𝑞).\nStąd\n𝑝=\n-22\n2 ⋅(-1) = 11, 11 ∈{1, 2, … , 30}\n𝑞= 𝐿(𝑝) = -112 + 22 ⋅11 + 279 = 400\nNajwiększą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia badanego okresu i było to\n400 osób.\nSposób III\nWykorzystamy następującą własność funkcji kwadratowej 𝐿(𝑥) = -𝑥2 + 22𝑥+ 279.\nJeśli 𝐿(𝑘1) = 𝐿(𝑘2), to liczba\n𝑘1 + 𝑘2\n2\njest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝐿. Jeśli ponadto\nwspółczynnik przy 𝑥2 jest liczbą ujemną, to liczba\n𝐿(𝑘1 + 𝑘2\n2\n)\njest największą wartością funkcji 𝐿.\nWykonujemy obliczenia - szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje tę samą\nwartość:\n𝐿(9) = 396\n𝐿(10) = 399\n𝐿(11) = 400\n𝐿(12) = 399\nZauważamy, że 𝐿(10) = 𝐿(12). Ponieważ\n10 + 12\n2\n= 11 oraz 11 ∈{1, … 30}\nwięc funkcja 𝐿 przyjmuje wartość największą równą 400 dla argumentu 11. To oznacza,\nże największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia badanego okresu i było to\n400 osób.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin główny 2023.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 3.\n1 pkt - zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy do wyrażenia\n(2𝑛+ 1)2.\nZadanie 9.\n2 pkt - zapisanie dwóch pierwiastków wielomianu 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 (o ile nie zostały\none uzyskane w wyniku błędnej metody).\n1 pkt - przekształcenie wielomianu 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 do postaci\n3(𝑥2 -4) -2(𝑥2 -4) lub 𝑥2(3𝑥-2) -4(3𝑥-2).\nZadanie 17.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 22.\n1 pkt - obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz wykorzystanie\npodobieństwa trójkątów i zapisanie związku między długościami przyprostokątnych\ntrójkąta 𝑇2 : 𝑐1 = 13 i 𝑎2\n𝑏2 = 12\n5\nALBO\n- obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie równania\npozwalającego obliczyć długość jednej z przyprostokątnych trójkąta 𝑇2, np.\n𝑐1 = 13 i 13\n12 = 26\n𝑎2\n, 𝑐1 = 13 i 13\n5 = 26\n𝑏2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 26.\n1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie\no kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością\nostrosłupa lub połową długości krawędzi podstawy), np.\n|𝑂𝐸|\n6\n= cos 30°, 𝐻\n6 = 1\n2 .\nZadanie 30.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 64 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze\nwynik 5\n64 , to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 31.2.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":"## Poprawna odpowiedź: 11. dnia, obsłużono 400 klientów\n\n## Sposób 1 - Wierzchołek paraboli\n\nFunkcja \\(L(n) = -n^2 + 22n + 279\\) jest **trójmianem kwadratowym** ze współczynnikiem \\(a = -1 < 0\\), więc parabola jest skierowana **ramionami w dół** - ma **maksimum** w wierzchołku.\n\n**Wyznaczamy numer dnia, w którym funkcja osiąga maksimum:**\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{22}{2 \\cdot (-1)} = -\\frac{22}{-2} = 11\\]\n\nPonieważ \\(n = 11\\) należy do dziedziny \\(\\langle 1, 30 \\rangle\\), wierzchołek leży wewnątrz analizowanego okresu - maksimum jest osiągane.\n\n**Obliczamy liczbę klientów 11. dnia:**\n\n\\[L(11) = -(11)^2 + 22 \\cdot 11 + 279\\]\n\\[L(11) = -121 + 242 + 279\\]\n\\[L(11) = 400\\]\n\n**Odpowiedź: 11. dnia obsłużono 400 klientów.**\n\n## Sposób 2 - Postać kanoniczna (dopełnienie do kwadratu)\n\nSprowadzamy funkcję do postaci \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), by bezpośrednio odczytać wierzchołek.\n\n\\[L(n) = -n^2 + 22n + 279\\]\n\nWyciągamy \\(-1\\) przed wyrazy z \\(n\\):\n\n\\[L(n) = -(n^2 - 22n) + 279\\]\n\nDopełniamy do kwadratu - do wyrażenia \\(n^2 - 22n\\) brakuje \\(\\left(\\frac{22}{2}\\right)^2 = 121\\):\n\n\\[L(n) = -(n^2 - 22n + 121 - 121) + 279\\]\n\\[L(n) = -\\bigl((n-11)^2 - 121\\bigr) + 279\\]\n\\[L(n) = -(n-11)^2 + 121 + 279\\]\n\\[L(n) = -(n-11)^2 + 400\\]\n\nZ postaci kanonicznej **wprost odczytujemy**, że:\n- wierzchołek to \\(W = (11, 400)\\)\n- maksimum funkcji wynosi \\(\\mathbf{400}\\), osiągane dla \\(n = 11\\)\n\nWyrażenie \\(-(n-11)^2 \\leq 0\\) dla każdego \\(n\\), a równa się \\(0\\) dokładnie gdy \\(n = 11\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyliśmy wzoru na \\(p\\) w Sposobie 1, by wyznaczyć dzień maksimum.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\nW Sposobie 2 sprowadziliśmy funkcję do tej postaci przez dopełnienie do kwadratu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja kwadratowa może mieć wierzchołek **poza dziedziną** - zawsze sprawdź, czy \\(n = p\\) mieści się w przedziale \\(\\langle 1, 30 \\rangle\\). Gdyby \\(p\\) było np. poza tym przedziałem, maksimum byłoby na jednym z krańców.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(L(11)\\) łatwo pomylić znak: \\(-(11)^2 = -121\\), **nie** \\(+121\\). Potęgowanie ma wyższy priorytet niż negacja!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **dzień** (wynik \\(n = 11\\)) **i liczbę klientów** (wynik \\(L(11) = 400\\)) - napisz oba, inaczej odpowiedź jest niepełna i możesz stracić punkty.\n\n**Odpowiedź: Jedenastego dnia obsłużono największą liczbę klientów - \\(400\\) osób.**\n\n### Sposób 1 - Pierwsza współrzędna wierzchołka\nFunkcja kwadratowa \\(L(n) = -n^2 + 22n + 279\\), współczynnik przy \\(n^2\\) ujemny → parabola ramionami w dół, wierzchołek = maksimum.\n\\[n_W = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{22}{2\\cdot(-1)} = 11.\\]\n\\(11 \\in \\{1, 2, , 30\\}\\) ✓ - należy do dziedziny.\n\n\\[L(11) = -121 + 242 + 279 = 400.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\[L(n) = -(n^2 - 22n) + 279 = -[(n-11)^2 - 121] + 279 = -(n-11)^2 + 400.\\]\nMaksimum: \\(n = 11\\), \\(L(11) = 400\\).\n\n### Sposób 3 - Symetria\nJeśli \\(L(k_1) = L(k_2)\\), to \\(\\dfrac{k_1+k_2}{2}\\) to pierwsza współrzędna wierzchołka.\n\\(L(10) = -100 + 220 + 279 = 399\\), \\(L(12) = -144 + 264 + 279 = 399\\).\nŚrednia: \\(\\dfrac{10+12}{2} = 11\\). \\(L(11) = 400\\).\n\n**Wniosek:** \\(n = 11\\), \\(L_{\\max} = \\mathbf{400}\\) klientów.\n\n**Trik:** dla funkcji kwadratowej \\(ax^2 + bx + c\\) (gdy \\(a<0\\)) maksimum w \\(x = -\\dfrac{b}{2a}\\).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-31.2.webp","solution_image":null,"topics":"Optymalizacja, funkcje","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31.2. (0-2)
Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów?
Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.
31.2.
0-1-2

\n

MMAP-P0_100

\n

MMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMAP-P0_100

\n

MMAP-P0_100

\n

MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2023

","answer_text_html":"

Zadanie 31.2. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne
w sytuacjach dających się opisać funkcją
kwadratową.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda rozwiązania zadania oraz poprawne wyniki: 11 i 400.
1 pkt - wyznaczenie postaci kanonicznej funkcji 𝐿: 𝐿(𝑛) = -(𝑛-11)2 + 400
ALBO

\n\n

klientów lub obliczenie największej liczby klientów: 11 lub 400,
ALBO

\n\n

𝐿(𝑘1) = 𝐿(𝑘2), gdzie 𝑘1, 𝑘2 są różnymi liczbami takimi, że |𝑝-𝑘1| = |𝑝-𝑘2|:
𝑝= 𝑘1 + 𝑘2
2
= 11
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie oblicza pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli,
\n

i konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza drugą współrzędną, to może otrzymać
1 punkt za całe rozwiązanie (o ile pierwsza współrzędna jest liczbą należącą do
dziedziny).

\n
  1. Jeżeli zdający nie zapisze, że 11 należy do dziedziny funkcji 𝐿, to może otrzymać
\n

2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝐿, korzystając z rachunku
\n

różniczkowego, i nie zapisze przedziałów monotoniczności funkcji, to może otrzymać
2 punkty za całe rozwiązanie (gdy wyznaczy pochodną funkcji 𝐿(𝑥) określoną dla
𝑥∈[1, 30], obliczy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝐿(𝑥) i wartość funkcji 𝐿 w tym
punkcie).

\n
  1. Jeżeli zdający oblicza 𝐿(11) = 400 i 𝐿(11 -𝑘) = 𝐿(11 + 𝑘), gdzie 𝑘≠0, i wskaże
\n

wartość największą, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝐿(11) = 400, to otrzymuje 1 punkt.
\n

Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Wykresem funkcji 𝐿(𝑛) = -𝑛2 + 22𝑛+ 279, gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną z przedziału
[1, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół.
Przekształcamy wzór funkcji 𝐿 do postaci kanonicznej:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝐿(𝑛) = -𝑛2 + 22𝑛+ 279 = -[𝑛2 -22𝑛] + 279 = -[(𝑛-11)2 -112] + 279 =
= -(𝑛-11)2 + 121 + 279 = -(𝑛-11)2 + 400
Z postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: 𝑊= (11, 400).
Interpretujemy otrzymane wartości: największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia
badanego okresu i było to 400 osób.
Sposób II
Wykresem funkcji 𝐿(𝑛) = -𝑛2 + 22𝑛+ 279, gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną z przedziału
[1, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół. Jej
największa wartość jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli 𝑊= (𝑝, 𝑞).
Stąd
𝑝=
-22
2 ⋅(-1) = 11, 11 ∈{1, 2, … , 30}
𝑞= 𝐿(𝑝) = -112 + 22 ⋅11 + 279 = 400
Największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia badanego okresu i było to
400 osób.
Sposób III
Wykorzystamy następującą własność funkcji kwadratowej 𝐿(𝑥) = -𝑥2 + 22𝑥+ 279.
Jeśli 𝐿(𝑘1) = 𝐿(𝑘2), to liczba
𝑘1 + 𝑘2
2
jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝐿. Jeśli ponadto
współczynnik przy 𝑥2 jest liczbą ujemną, to liczba
𝐿(𝑘1 + 𝑘2
2
)
jest największą wartością funkcji 𝐿.
Wykonujemy obliczenia - szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje tę samą
wartość:
𝐿(9) = 396
𝐿(10) = 399
𝐿(11) = 400
𝐿(12) = 399
Zauważamy, że 𝐿(10) = 𝐿(12). Ponieważ
10 + 12
2
= 11 oraz 11 ∈{1, … 30}
więc funkcja 𝐿 przyjmuje wartość największą równą 400 dla argumentu 11. To oznacza,
że największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia badanego okresu i było to
400 osób.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej
dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);
II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom
podstawowy, termin główny 2023.
I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią

\n
  1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
\n

błędnego przepisania
przestawienia cyfr
zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
przestawienia położenia przecinka.

\n
  1. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
\n

oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.

\n
  1. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę
\n

rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej
1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.

\n
  1. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub
\n

zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne
rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt
za rozwiązanie zadania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
\n

kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
\n

może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
\n

zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
\n

lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
\n

płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.

\n
  1. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
\n

przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.

\n
  1. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
\n

podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
\n

geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
Zadanie 3.
1 pkt - zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy do wyrażenia
(2𝑛+ 1)2.
Zadanie 9.
2 pkt - zapisanie dwóch pierwiastków wielomianu 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 (o ile nie zostały
one uzyskane w wyniku błędnej metody).
1 pkt - przekształcenie wielomianu 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 do postaci
3(𝑥2 -4) -2(𝑥2 -4) lub 𝑥2(3𝑥-2) -4(3𝑥-2).
Zadanie 17.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zadanie 22.
1 pkt - obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz wykorzystanie
podobieństwa trójkątów i zapisanie związku między długościami przyprostokątnych
trójkąta 𝑇2 : 𝑐1 = 13 i 𝑎2
𝑏2 = 12
5
ALBO

\n\n

pozwalającego obliczyć długość jednej z przyprostokątnych trójkąta 𝑇2, np.
𝑐1 = 13 i 13
12 = 26
𝑎2
, 𝑐1 = 13 i 13
5 = 26
𝑏2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zadanie 26.
1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie
o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością
ostrosłupa lub połową długości krawędzi podstawy), np.
|𝑂𝐸|
6
= cos 30°, 𝐻
6 = 1
2 .
Zadanie 30.
1 pkt - zapisanie jedynie liczby 64 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych).
Uwagi:

\n
  1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze
\n

standardowych zasad oceniania.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
\n

zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze
wynik 5
64 , to otrzymuje 2 punkty.
Zadanie 31.2.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 11. dnia, obsłużono 400 klientów

\n

Sposób 1 - Wierzchołek paraboli

\n

Funkcja \\(L(n) = -n^2 + 22n + 279\\) jest trójmianem kwadratowym ze współczynnikiem \\(a = -1 < 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w dół - ma maksimum w wierzchołku.

\n

Wyznaczamy numer dnia, w którym funkcja osiąga maksimum:

\n

\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{22}{2 \\cdot (-1)} = -\\frac{22}{-2} = 11\\]

\n

Ponieważ \\(n = 11\\) należy do dziedziny \\(\\langle 1, 30 \\rangle\\), wierzchołek leży wewnątrz analizowanego okresu - maksimum jest osiągane.

\n

Obliczamy liczbę klientów 11. dnia:

\n

\\[L(11) = -(11)^2 + 22 \\cdot 11 + 279\\]
\\[L(11) = -121 + 242 + 279\\]
\\[L(11) = 400\\]

\n

Odpowiedź: 11. dnia obsłużono 400 klientów.

\n

Sposób 2 - Postać kanoniczna (dopełnienie do kwadratu)

\n

Sprowadzamy funkcję do postaci \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), by bezpośrednio odczytać wierzchołek.

\n

\\[L(n) = -n^2 + 22n + 279\\]

\n

Wyciągamy \\(-1\\) przed wyrazy z \\(n\\):

\n

\\[L(n) = -(n^2 - 22n) + 279\\]

\n

Dopełniamy do kwadratu - do wyrażenia \\(n^2 - 22n\\) brakuje \\(\\left(\\frac{22}{2}\\right)^2 = 121\\):

\n

\\[L(n) = -(n^2 - 22n + 121 - 121) + 279\\]
\\[L(n) = -\\bigl((n-11)^2 - 121\\bigr) + 279\\]
\\[L(n) = -(n-11)^2 + 121 + 279\\]
\\[L(n) = -(n-11)^2 + 400\\]

\n

Z postaci kanonicznej wprost odczytujemy, że:

\n\n

Wyrażenie \\(-(n-11)^2 \\leq 0\\) dla każdego \\(n\\), a równa się \\(0\\) dokładnie gdy \\(n = 11\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wierzchołek paraboli:
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
Użyliśmy wzoru na \\(p\\) w Sposobie 1, by wyznaczyć dzień maksimum.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać kanoniczna:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]
W Sposobie 2 sprowadziliśmy funkcję do tej postaci przez dopełnienie do kwadratu.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Funkcja kwadratowa może mieć wierzchołek poza dziedziną - zawsze sprawdź, czy \\(n = p\\) mieści się w przedziale \\(\\langle 1, 30 \\rangle\\). Gdyby \\(p\\) było np. poza tym przedziałem, maksimum byłoby na jednym z krańców.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(L(11)\\) łatwo pomylić znak: \\(-(11)^2 = -121\\), nie \\(+121\\). Potęgowanie ma wyższy priorytet niż negacja!
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o dzień (wynik \\(n = 11\\)) i liczbę klientów (wynik \\(L(11) = 400\\)) - napisz oba, inaczej odpowiedź jest niepełna i możesz stracić punkty.
\n

Odpowiedź: Jedenastego dnia obsłużono największą liczbę klientów - \\(400\\) osób.

\n
Sposób 1 - Pierwsza współrzędna wierzchołka
\n

Funkcja kwadratowa \\(L(n) = -n^2 + 22n + 279\\), współczynnik przy \\(n^2\\) ujemny → parabola ramionami w dół, wierzchołek = maksimum.
\\[n_W = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{22}{2\\cdot(-1)} = 11.\\]
\\(11 \\in \\{1, 2, , 30\\}\\) ✓ - należy do dziedziny.

\n

\\[L(11) = -121 + 242 + 279 = 400.\\]

\n
Sposób 2 - Postać kanoniczna
\n

\\[L(n) = -(n^2 - 22n) + 279 = -[(n-11)^2 - 121] + 279 = -(n-11)^2 + 400.\\]
Maksimum: \\(n = 11\\), \\(L(11) = 400\\).

\n
Sposób 3 - Symetria
\n

Jeśli \\(L(k_1) = L(k_2)\\), to \\(\\dfrac{k_1+k_2}{2}\\) to pierwsza współrzędna wierzchołka.
\\(L(10) = -100 + 220 + 279 = 399\\), \\(L(12) = -144 + 264 + 279 = 399\\).
Średnia: \\(\\dfrac{10+12}{2} = 11\\). \\(L(11) = 400\\).

\n

Wniosek: \\(n = 11\\), \\(L_{\\max} = \\mathbf{400}\\) klientów.

\n

Trik: dla funkcji kwadratowej \\(ax^2 + bx + c\\) (gdy \\(a<0\\)) maksimum w \\(x = -\\dfrac{b}{2a}\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Rozpoczynamy od zapisania funkcji, która opisuje liczbę klientów w aptece w zależności od dnia $n$: $$L(n) = -n^2 + 22n + 279$$
\n
  1. Przekształcamy funkcję do postaci kanonicznej. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej ma postać $$L(n) = a(n - p)^2 + q$$, gdzie $W = (p, q)$ to wierzchołek paraboli. Najpierw obliczamy termin dla $p$: $$p = \\frac{-b}{2a} = \\frac{-22}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{-22}{-2} = 11$$
\n
  1. Teraz, aby znaleźć współrzędną $q$, obliczamy wartość funkcji w punkcie $p = 11$: $$q = L(11) = -11^2 + 22 \\cdot 11 + 279$$
\n
  1. Obliczamy $L(11)$: $$L(11) = -121 + 242 + 279 = 400$$
\n
  1. Ostatecznie zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej: $$L(n) = -(n - 11)^2 + 400$$
\n
  1. Odczytujemy współrzędne wierzchołka: $W = (11, 400)$. Oznacza to, że największa liczba klientów została obsłużona dnia 11, a liczba ta wynosi 400.
\n

Odpowiedź: Największa liczba klientów została obsłużona 11 dnia analizowanego okresu i wynosi 400.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Funkcja

\n

L(n)=-n^2+22n+279

\n

jest funkcją kwadratową o ramionach skierowanych w dół. Współrzędna wierzchołka:

\n

n=-(22)/(2·(-1))=11.

\n

L(11)=-121+242+279=400.

\n

Największą liczbę klientów, równą 400 , obsłużono 11. dnia.

"}]}