{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \\(x \\neq 1\\) i dla każdej liczby rzeczywistej \\(y\\) prawdziwa jest nierówność\n\\[x^{2} + y^{2} + 5 > 2x + 4y\\]","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa (zadanie otwarte - dowód poniżej)\n\n## Sposób 1 - Uzupełnianie do pełnego kwadratu\n\n**Cel:** przenieść wszystko na lewą stronę i pokazać, że wyrażenie jest dodatnie.\n\nPrzenosimy prawą stronę na lewą:\n\\[x^2 + y^2 + 5 - 2x - 4y > 0\\]\n\nGrupujemy wyrazy z \\(x\\) i z \\(y\\) osobno:\n\\[(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 5 > 0\\]\n\nUzupełniamy każdą grupę do pełnego kwadratu (dodajemy i odejmujemy brakujący składnik):\n\\[(x^2 - 2x + 1 - 1) + (y^2 - 4y + 4 - 4) + 5 > 0\\]\n\n\\[(x-1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 + 5 > 0\\]\n\n\\[(x-1)^2 + (y-2)^2 > 0\\]\n\nTeraz korzystamy z założeń:\n- Ponieważ \\(x \\neq 1\\), mamy \\((x-1)^2 > 0\\)\n- Dla każdego \\(y \\in \\mathbb{R}\\) mamy \\((y-2)^2 \\geq 0\\)\n\nZatem:\n\\[(x-1)^2 + (y-2)^2 \\geq (x-1)^2 > 0\\]\n\n**Nierówność \\(x^2 + y^2 + 5 > 2x + 4y\\) jest udowodniona.** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Szacowanie dwóch nierówności i ich dodawanie\n\nZamiast uzupełniać obydwa kwadraty jednocześnie, rozłóżmy zadanie na dwa kroki.\n\n**Krok 1.** Ponieważ \\(x \\neq 1\\), mamy \\(x - 1 \\neq 0\\), więc:\n\\[(x-1)^2 > 0 \\implies x^2 - 2x + 1 > 0\\]\n\n**Krok 2.** Dla każdego \\(y \\in \\mathbb{R}\\):\n\\[(y-2)^2 \\geq 0 \\implies y^2 - 4y + 4 \\geq 0\\]\n\n**Krok 3.** Dodajemy obie stronne nierówności (stronami):\n\\[(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) > 0\\]\n\n\\[x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 > 0\\]\n\n\\[x^2 + y^2 + 5 > 2x + 4y\\]\n\n**Nierówność udowodniona.** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego do rozpoznania i uzupełnienia wyrażeń do pełnych kwadratów:\n\\[x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2, \\qquad y^2 - 4y + 4 = (y-2)^2\\]\n\nW tym zadaniu nie potrzeba innych wzorów z karty - kluczem jest umiejętność uzupełniania do pełnego kwadratu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj „rozwiązywać\" tej nierówności jak równania - to jest zadanie na **dowód**, nie na wyznaczenie \\(x\\) i \\(y\\). Trzeba pokazać, że wyrażenie jest zawsze dodatnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(x \\neq 1\\) jest kluczowy! Bez niego suma \\((x-1)^2 + (y-2)^2\\) mogłaby być równa zero (dla \\(x = 1, y = 2\\)), a nie większa od zera. Dla \\(x = 1\\), \\(y = 2\\) obie strony byłyby równe - nierówność ostra przestałaby zachodzić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy uzupełnianiu do kwadratu łatwo o pomyłkę w znaku. Pamiętaj: do \\(x^2 - 2x\\) dodajesz \\(1\\) (bo \\(\\left(\\frac{-2}{2}\\right)^2 = 1\\)), a do \\(y^2 - 4y\\) dodajesz \\(4\\) (bo \\(\\left(\\frac{-4}{2}\\right)^2 = 4\\)). Co dodasz, to musisz natychmiast odjąć!\n\n**Poprawna odpowiedź: Dowód**\n\n### Sposób 1 - Uzupełnienie do kwadratów\nPrzenieśmy wszystko na lewo: \\(x^2 + y^2 + 5 - 2x - 4y > 0.\\)\nGrupujemy: \\((x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (5 - 1 - 4) > 0.\\)\n\\((x-1)^2 + (y-2)^2 + 0 > 0.\\)\nCzyli: \\((x-1)^2 + (y-2)^2 > 0.\\)\nZ założenia \\(x \\ne 1\\), więc \\((x-1)^2 > 0\\), a \\((y-2)^2 \\geq 0\\). Suma jest dodatnia. CKD.\n\n### Sposób 2 - Analiza przypadku\nNierówność \\(a^2 + b^2 > 0\\) zachodzi, gdy co najmniej jedna liczba \\(\\ne 0\\). Tu \\(a = x-1 \\ne 0\\), więc lewa strona jest ostro dodatnia.\n\n### CKE - Zasady oceniania\n- **2 pkt:** pełny dowód przez kwadraty + uzasadnienie ostrej nierówności.\n- **1 pkt:** sprowadzenie do \\((x-1)^2 + (y-2)^2 > 0\\) bez uzasadnienia ostrości.\n- **0 pkt:** błędna metoda.\n\n**Trik:** suma kwadratów ≥ 0; warunek \\(x \\ne 1\\) gwarantuje ścisłą dodatniość.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \\(x \\neq 1\\) i dla każdej liczby rzeczywistej \\(y\\) prawdziwa jest nierówność
\\[x^{2} + y^{2} + 5 > 2x + 4y\\]

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa (zadanie otwarte - dowód poniżej)

\n

Sposób 1 - Uzupełnianie do pełnego kwadratu

\n

Cel: przenieść wszystko na lewą stronę i pokazać, że wyrażenie jest dodatnie.

\n

Przenosimy prawą stronę na lewą:
\\[x^2 + y^2 + 5 - 2x - 4y > 0\\]

\n

Grupujemy wyrazy z \\(x\\) i z \\(y\\) osobno:
\\[(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 5 > 0\\]

\n

Uzupełniamy każdą grupę do pełnego kwadratu (dodajemy i odejmujemy brakujący składnik):
\\[(x^2 - 2x + 1 - 1) + (y^2 - 4y + 4 - 4) + 5 > 0\\]

\n

\\[(x-1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 + 5 > 0\\]

\n

\\[(x-1)^2 + (y-2)^2 > 0\\]

\n

Teraz korzystamy z założeń:

\n\n

Zatem:
\\[(x-1)^2 + (y-2)^2 \\geq (x-1)^2 > 0\\]

\n

Nierówność \\(x^2 + y^2 + 5 > 2x + 4y\\) jest udowodniona. \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - Szacowanie dwóch nierówności i ich dodawanie

\n

Zamiast uzupełniać obydwa kwadraty jednocześnie, rozłóżmy zadanie na dwa kroki.

\n

Krok 1. Ponieważ \\(x \\neq 1\\), mamy \\(x - 1 \\neq 0\\), więc:
\\[(x-1)^2 > 0 \\implies x^2 - 2x + 1 > 0\\]

\n

Krok 2. Dla każdego \\(y \\in \\mathbb{R}\\):
\\[(y-2)^2 \\geq 0 \\implies y^2 - 4y + 4 \\geq 0\\]

\n

Krok 3. Dodajemy obie stronne nierówności (stronami):
\\[(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) > 0\\]

\n

\\[x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 > 0\\]

\n

\\[x^2 + y^2 + 5 > 2x + 4y\\]

\n

Nierówność udowodniona. \\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego do rozpoznania i uzupełnienia wyrażeń do pełnych kwadratów:
\\[x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2, \\qquad y^2 - 4y + 4 = (y-2)^2\\]

\n

W tym zadaniu nie potrzeba innych wzorów z karty - kluczem jest umiejętność uzupełniania do pełnego kwadratu.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie próbuj „rozwiązywać" tej nierówności jak równania - to jest zadanie na dowód, nie na wyznaczenie \\(x\\) i \\(y\\). Trzeba pokazać, że wyrażenie jest zawsze dodatnie.
\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(x \\neq 1\\) jest kluczowy! Bez niego suma \\((x-1)^2 + (y-2)^2\\) mogłaby być równa zero (dla \\(x = 1, y = 2\\)), a nie większa od zera. Dla \\(x = 1\\), \\(y = 2\\) obie strony byłyby równe - nierówność ostra przestałaby zachodzić.
\n
⚠️ Uwaga: Przy uzupełnianiu do kwadratu łatwo o pomyłkę w znaku. Pamiętaj: do \\(x^2 - 2x\\) dodajesz \\(1\\) (bo \\(\\left(\\frac{-2}{2}\\right)^2 = 1\\)), a do \\(y^2 - 4y\\) dodajesz \\(4\\) (bo \\(\\left(\\frac{-4}{2}\\right)^2 = 4\\)). Co dodasz, to musisz natychmiast odjąć!
\n

Poprawna odpowiedź: Dowód

\n
Sposób 1 - Uzupełnienie do kwadratów
\n

Przenieśmy wszystko na lewo: \\(x^2 + y^2 + 5 - 2x - 4y > 0.\\)
Grupujemy: \\((x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (5 - 1 - 4) > 0.\\)
\\((x-1)^2 + (y-2)^2 + 0 > 0.\\)
Czyli: \\((x-1)^2 + (y-2)^2 > 0.\\)
Z założenia \\(x \\ne 1\\), więc \\((x-1)^2 > 0\\), a \\((y-2)^2 \\geq 0\\). Suma jest dodatnia. CKD.

\n
Sposób 2 - Analiza przypadku
\n

Nierówność \\(a^2 + b^2 > 0\\) zachodzi, gdy co najmniej jedna liczba \\(\\ne 0\\). Tu \\(a = x-1 \\ne 0\\), więc lewa strona jest ostro dodatnia.

\n
CKE - Zasady oceniania
\n\n

Trik: suma kwadratów ≥ 0; warunek \\(x \\ne 1\\) gwarantuje ścisłą dodatniość.

"}]}