{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Trójkąty prostokątne \\(T_{1}\\) i \\(T_{2}\\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \\(T_{1}\\) mają długości \\(5\\) i \\(12\\). Przeciwprostokątna trójkąta \\(T_{2}\\) ma długość \\(26\\). Oblicz pole trójkąta \\(T_{2}\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: 120\n\nPole trójkąta \\(T_2\\) wynosi \\(\\mathbf{120}\\).\n\n## Sposób 1 - Skala podobieństwa i skala pól\n\n**Krok 1: Wyznaczamy przeciwprostokątną trójkąta \\(T_1\\).**\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\\[c_1 = \\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{25 + 144} = \\sqrt{169} = 13\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy skalę podobieństwa \\(k\\).**\n\nTrójkąty są podobne, więc odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Przeciwprostokątna to bok odpowiadający przeciwprostokątnej, zatem:\n\\[k = \\frac{c_2}{c_1} = \\frac{26}{13} = 2\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy pole trójkąta \\(T_1\\).**\n\n\\[P_1 = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 12 = 30\\]\n\n**Krok 4: Stosujemy własność pól figur podobnych.**\n\nPola figur podobnych mają się jak kwadrat skali podobieństwa:\n\\[\\frac{P_2}{P_1} = k^2 = 2^2 = 4\\]\n\nZatem:\n\\[P_2 = 4 \\cdot P_1 = 4 \\cdot 30 = \\mathbf{120}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie przyprostokątnych \\(T_2\\) wprost\n\n**Krok 1: Wyznaczamy skalę \\(k = 2\\)** (tak samo jak wyżej).\n\n**Krok 2: Skalujemy każdy bok \\(T_1\\) przez \\(k\\).**\n\nPrzyprostokątne \\(T_2\\):\n\\[a_2 = k \\cdot 5 = 2 \\cdot 5 = 10\\]\n\\[b_2 = k \\cdot 12 = 2 \\cdot 12 = 24\\]\n\n**Krok 3: Sprawdzamy przeciwprostokątną (weryfikacja).**\n\n\\[\\sqrt{10^2 + 24^2} = \\sqrt{100 + 576} = \\sqrt{676} = 26 \\checkmark\\]\n\n**Krok 4: Liczymy pole bezpośrednio.**\n\n\\[P_2 = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 24 = \\frac{240}{2} = \\mathbf{120}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad (\\text{gdy } \\gamma = 90°)\\]\nUżyte w Kroku 1 do wyznaczenia \\(c_1 = 13\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nW trójkącie prostokątnym obie przyprostokątne pełnią rolę podstawy i wysokości, więc \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 21)** - pola figur podobnych:\n\\[\\frac{P_2}{P_1} = k^2\\]\nKluczowy wzór w Sposobie 1 - skala pól to **kwadrat** skali liniowej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to przyjęcie, że pola mają się jak \\(k\\) zamiast \\(k^2\\). Skala liniowa \\(k = 2\\) oznacza, że pola rosną czterokrotnie - nie dwukrotnie! Długości skalujemy przez \\(k\\), pola przez \\(k^2\\), objętości przez \\(k^3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj od razu, że \\(T_2\\) jest podobny do \\(T_1\\) w tej samej orientacji. Skala \\(k\\) zawsze liczymy jako stosunek **odpowiadających sobie boków** - tutaj obu przeciwprostokątnych. Gdyby zadanie podało np. jedną z przyprostokątnych \\(T_2\\), trzeba by sprawdzić, który bok \\(T_1\\) mu odpowiada.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o sprawdzeniu trójki pitagorejskiej: \\((5, 12, 13)\\) to klasyczna trójka pitagorejska - warto ją znać na pamięć, żeby nie liczyć pierwiastka każdy raz. Jej podwojenie daje \\((10, 24, 26)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P_{T_2} = 120\\)**\n\n### Sposób 1 - Skala podobieństwa\nPrzeciwprostokątna \\(T_1\\): \\(c_1 = \\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{169} = 13.\\)\nSkala: \\(k = \\dfrac{26}{13} = 2.\\)\nPole \\(T_1\\): \\(P_1 = \\tfrac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 12 = 30.\\)\nPola trójkątów podobnych: \\(P_2 = k^2 \\cdot P_1 = 4 \\cdot 30 = 120.\\)\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio przyprostokątne \\(T_2\\)\nSkala \\(k = 2\\), więc przyprostokątne \\(T_2\\): \\(10\\) i \\(24\\).\nPole: \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 10 \\cdot 24 = 120.\\)\n\n### CKE - Zasady oceniania\n- **2 pkt:** obliczenie pola \\(= 120\\) z uzasadnieniem.\n- **1 pkt:** wyznaczenie skali lub boków trójkąta \\(T_2\\).\n- **0 pkt:** błędna metoda.\n\n**Trik:** stosunek pól trójkątów podobnych = kwadrat skali \\(k^2\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Trójkąty prostokątne \\(T_{1}\\) i \\(T_{2}\\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \\(T_{1}\\) mają długości \\(5\\) i \\(12\\). Przeciwprostokątna trójkąta \\(T_{2}\\) ma długość \\(26\\). Oblicz pole trójkąta \\(T_{2}\\).

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 120

\n

Pole trójkąta \\(T_2\\) wynosi \\(\\mathbf{120}\\).

\n

Sposób 1 - Skala podobieństwa i skala pól

\n

Krok 1: Wyznaczamy przeciwprostokątną trójkąta \\(T_1\\).

\n

Z twierdzenia Pitagorasa:
\\[c_1 = \\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{25 + 144} = \\sqrt{169} = 13\\]

\n

Krok 2: Wyznaczamy skalę podobieństwa \\(k\\).

\n

Trójkąty są podobne, więc odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Przeciwprostokątna to bok odpowiadający przeciwprostokątnej, zatem:
\\[k = \\frac{c_2}{c_1} = \\frac{26}{13} = 2\\]

\n

Krok 3: Obliczamy pole trójkąta \\(T_1\\).

\n

\\[P_1 = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 12 = 30\\]

\n

Krok 4: Stosujemy własność pól figur podobnych.

\n

Pola figur podobnych mają się jak kwadrat skali podobieństwa:
\\[\\frac{P_2}{P_1} = k^2 = 2^2 = 4\\]

\n

Zatem:
\\[P_2 = 4 \\cdot P_1 = 4 \\cdot 30 = \\mathbf{120}\\]

\n

Sposób 2 - Wyznaczenie przyprostokątnych \\(T_2\\) wprost

\n

Krok 1: Wyznaczamy skalę \\(k = 2\\) (tak samo jak wyżej).

\n

Krok 2: Skalujemy każdy bok \\(T_1\\) przez \\(k\\).

\n

Przyprostokątne \\(T_2\\):
\\[a_2 = k \\cdot 5 = 2 \\cdot 5 = 10\\]
\\[b_2 = k \\cdot 12 = 2 \\cdot 12 = 24\\]

\n

Krok 3: Sprawdzamy przeciwprostokątną (weryfikacja).

\n

\\[\\sqrt{10^2 + 24^2} = \\sqrt{100 + 576} = \\sqrt{676} = 26 \\checkmark\\]

\n

Krok 4: Liczymy pole bezpośrednio.

\n

\\[P_2 = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 24 = \\frac{240}{2} = \\mathbf{120}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad (\\text{gdy } \\gamma = 90°)\\]
Użyte w Kroku 1 do wyznaczenia \\(c_1 = 13\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 16) - pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]
W trójkącie prostokątnym obie przyprostokątne pełnią rolę podstawy i wysokości, więc \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 21) - pola figur podobnych:
\\[\\frac{P_2}{P_1} = k^2\\]
Kluczowy wzór w Sposobie 1 - skala pól to kwadrat skali liniowej.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to przyjęcie, że pola mają się jak \\(k\\) zamiast \\(k^2\\). Skala liniowa \\(k = 2\\) oznacza, że pola rosną czterokrotnie - nie dwukrotnie! Długości skalujemy przez \\(k\\), pola przez \\(k^2\\), objętości przez \\(k^3\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie zakładaj od razu, że \\(T_2\\) jest podobny do \\(T_1\\) w tej samej orientacji. Skala \\(k\\) zawsze liczymy jako stosunek odpowiadających sobie boków - tutaj obu przeciwprostokątnych. Gdyby zadanie podało np. jedną z przyprostokątnych \\(T_2\\), trzeba by sprawdzić, który bok \\(T_1\\) mu odpowiada.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o sprawdzeniu trójki pitagorejskiej: \\((5, 12, 13)\\) to klasyczna trójka pitagorejska - warto ją znać na pamięć, żeby nie liczyć pierwiastka każdy raz. Jej podwojenie daje \\((10, 24, 26)\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(P_{T_2} = 120\\)

\n
Sposób 1 - Skala podobieństwa
\n

Przeciwprostokątna \\(T_1\\): \\(c_1 = \\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{169} = 13.\\)
Skala: \\(k = \\dfrac{26}{13} = 2.\\)
Pole \\(T_1\\): \\(P_1 = \\tfrac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 12 = 30.\\)
Pola trójkątów podobnych: \\(P_2 = k^2 \\cdot P_1 = 4 \\cdot 30 = 120.\\)

\n
Sposób 2 - Bezpośrednio przyprostokątne \\(T_2\\)
\n

Skala \\(k = 2\\), więc przyprostokątne \\(T_2\\): \\(10\\) i \\(24\\).
Pole: \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 10 \\cdot 24 = 120.\\)

\n
CKE - Zasady oceniania
\n\n

Trik: stosunek pól trójkątów podobnych = kwadrat skali \\(k^2\\).

"}]}