{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"W kwadracie \\(ABCD\\) punkty \\(A = (-8, -2)\\) oraz \\(C = (0, 4)\\) są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \\(BD\\) tego kwadratu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nRównanie prostej zawierającej przekątną \\(BD\\) to:\n\\[y = -\\frac{4}{3}x - \\frac{13}{3}\\]\n(równoważnie: \\(4x + 3y + 13 = 0\\))\n\n## Sposób 1 - Środek przekątnych + prostopadłość\n\nKorzystamy z dwóch kluczowych własności kwadratu:\n1. **Przekątne kwadratu przecinają się w połowie** (środki obu przekątnych są wspólne).\n2. **Przekątne kwadratu są prostopadłe.**\n\n**Krok 1: Środek przekątnej AC**\n\nŚrodek \\(M\\) odcinka \\(AC\\) (gdzie \\(A = (-8, -2)\\), \\(C = (0, 4)\\)):\n\\[M = \\left(\\frac{-8 + 0}{2},\\ \\frac{-2 + 4}{2}\\right) = (-4,\\ 1)\\]\n\nPonieważ przekątne kwadratu bisekują się, punkt \\(M(-4, 1)\\) leży również na prostej \\(BD\\).\n\n**Krok 2: Nachylenie prostej AC**\n\n\\[a_{AC} = \\frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \\frac{4 - (-2)}{0 - (-8)} = \\frac{6}{8} = \\frac{3}{4}\\]\n\n**Krok 3: Nachylenie prostej BD**\n\nProsta \\(BD \\perp AC\\), więc:\n\\[a_{BD} \\cdot a_{AC} = -1 \\implies a_{BD} = -\\frac{1}{a_{AC}} = -\\frac{1}{\\frac{3}{4}} = -\\frac{4}{3}\\]\n\n**Krok 4: Równanie prostej BD**\n\nProsta przechodzi przez \\(M(-4, 1)\\) o nachyleniu \\(-\\frac{4}{3}\\):\n\\[y - 1 = -\\frac{4}{3}(x - (-4))\\]\n\\[y - 1 = -\\frac{4}{3}(x + 4)\\]\n\\[y - 1 = -\\frac{4}{3}x - \\frac{16}{3}\\]\n\\[y = -\\frac{4}{3}x - \\frac{16}{3} + \\frac{3}{3}\\]\n\\[\\boxed{y = -\\frac{4}{3}x - \\frac{13}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Równanie ogólne (przez układ równań)\n\nSzukamy prostej w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\).\n\nZ prostopadłości do \\(AC\\): wektorem kierunkowym \\(AC\\) jest \\(\\vec{AC} = [8, 6]\\), który jest jednocześnie **wektorem normalnym** prostej \\(BD\\). Zatem:\n\n\\[8x + 6y + C = 0\\]\n\nProsta \\(BD\\) przechodzi przez \\(M(-4, 1)\\):\n\\[8 \\cdot (-4) + 6 \\cdot 1 + C = 0\\]\n\\[-32 + 6 + C = 0\\]\n\\[C = 26\\]\n\nRównanie: \\(8x + 6y + 26 = 0\\), upraszczamy przez 2:\n\\[4x + 3y + 13 = 0\\]\n\nDla postaci kierunkowej: \\(y = -\\frac{4}{3}x - \\frac{13}{3}\\) ✓\n\n**Weryfikacja środka:** \\(4 \\cdot (-4) + 3 \\cdot 1 + 13 = -16 + 3 + 13 = 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n1. Środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyte w Kroku 1 do wyznaczenia środka przekątnej \\(AC\\).\n\n2. Równanie kierunkowe prostej: \\(y = ax + b\\), gdzie \\(a\\) = współczynnik kierunkowy.\n\n3. Warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyte w Kroku 3 do wyznaczenia nachylenia prostej \\(BD\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wiele osób wyznacza równanie prostej **AC** zamiast **BD** - to najczęstszy błąd w tym zadaniu. Pamiętaj: zadanie pyta o **drugą** przekątną!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu nachylenia prostej prostopadłej nie wystarczy zmienić znak - trzeba wziąć **odwrotność i zmienić znak**: jeśli \\(a = \\frac{3}{4}\\), to prostopadła ma \\(a_\\perp = -\\frac{4}{3}\\), nie \\(-\\frac{3}{4}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek \\(M(-4, 1)\\) musi leżeć na prostej \\(BD\\) - zawsze warto to sprawdzić na końcu, podstawiając do wyznaczonego równania. To błyskawiczna weryfikacja, która uchroni przed utratą punktów.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(y = -\\dfrac{4}{3}x - \\dfrac{11}{3}\\)** (lub równoważnie \\(4x + 3y + 11 = 0\\))\n\n### Sposób 1 - Środek + prostopadłość\nŚrodek przekątnej \\(S = \\left(\\dfrac{-8+0}{2}, \\dfrac{-2+4}{2}\\right) = (-4, 1)\\).\nWspółczynnik \\(AC\\): \\(a_{AC} = \\dfrac{4-(-2)}{0-(-8)} = \\dfrac{6}{8} = \\dfrac{3}{4}.\\)\n\\(BD \\perp AC\\), więc \\(a_{BD} = -\\dfrac{4}{3}.\\)\nRównanie \\(BD\\): \\(y - 1 = -\\dfrac{4}{3}(x+4) \\Rightarrow y = -\\dfrac{4}{3}x - \\dfrac{16}{3} + 1 = -\\dfrac{4}{3}x - \\dfrac{13}{3}.\\)\nKorekta: \\(-\\tfrac{16}{3} + \\tfrac{3}{3} = -\\tfrac{13}{3}\\). Zatem \\(y = -\\dfrac{4}{3}x - \\dfrac{13}{3}\\), lub \\(4x + 3y + 13 = 0.\\)\n\n### Sposób 2 - Ogólna postać\n\\(AC: 3x - 4y + c = 0\\) (poprzez \\(A\\): \\(-24 + 8 + c = 0 \\Rightarrow c = 16\\)). Prostopadła: \\(4x + 3y + d = 0\\) przez \\(S(-4,1)\\): \\(-16 + 3 + d = 0 \\Rightarrow d = 13.\\)\nWynik: \\(4x + 3y + 13 = 0\\) lub \\(y = -\\dfrac{4}{3}x - \\dfrac{13}{3}.\\)\n\n### CKE - Zasady oceniania\n- **2 pkt:** poprawne równanie \\(BD\\).\n- **1 pkt:** wyznaczenie środka \\(S\\) lub współczynnika prostopadłości.\n- **0 pkt:** błędna metoda.\n\n**Trik:** w kwadracie przekątne są prostopadłe i przecinają się w środku.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

W kwadracie \\(ABCD\\) punkty \\(A = (-8, -2)\\) oraz \\(C = (0, 4)\\) są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \\(BD\\) tego kwadratu.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

Równanie prostej zawierającej przekątną \\(BD\\) to:
\\[y = -\\frac{4}{3}x - \\frac{13}{3}\\]
(równoważnie: \\(4x + 3y + 13 = 0\\))

\n

Sposób 1 - Środek przekątnych + prostopadłość

\n

Korzystamy z dwóch kluczowych własności kwadratu:

\n
  1. Przekątne kwadratu przecinają się w połowie (środki obu przekątnych są wspólne).
  2. Przekątne kwadratu są prostopadłe.
\n

Krok 1: Środek przekątnej AC

\n

Środek \\(M\\) odcinka \\(AC\\) (gdzie \\(A = (-8, -2)\\), \\(C = (0, 4)\\)):
\\[M = \\left(\\frac{-8 + 0}{2},\\ \\frac{-2 + 4}{2}\\right) = (-4,\\ 1)\\]

\n

Ponieważ przekątne kwadratu bisekują się, punkt \\(M(-4, 1)\\) leży również na prostej \\(BD\\).

\n

Krok 2: Nachylenie prostej AC

\n

\\[a_{AC} = \\frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \\frac{4 - (-2)}{0 - (-8)} = \\frac{6}{8} = \\frac{3}{4}\\]

\n

Krok 3: Nachylenie prostej BD

\n

Prosta \\(BD \\perp AC\\), więc:
\\[a_{BD} \\cdot a_{AC} = -1 \\implies a_{BD} = -\\frac{1}{a_{AC}} = -\\frac{1}{\\frac{3}{4}} = -\\frac{4}{3}\\]

\n

Krok 4: Równanie prostej BD

\n

Prosta przechodzi przez \\(M(-4, 1)\\) o nachyleniu \\(-\\frac{4}{3}\\):
\\[y - 1 = -\\frac{4}{3}(x - (-4))\\]
\\[y - 1 = -\\frac{4}{3}(x + 4)\\]
\\[y - 1 = -\\frac{4}{3}x - \\frac{16}{3}\\]
\\[y = -\\frac{4}{3}x - \\frac{16}{3} + \\frac{3}{3}\\]
\\[\\boxed{y = -\\frac{4}{3}x - \\frac{13}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Równanie ogólne (przez układ równań)

\n

Szukamy prostej w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\).

\n

Z prostopadłości do \\(AC\\): wektorem kierunkowym \\(AC\\) jest \\(\\vec{AC} = [8, 6]\\), który jest jednocześnie wektorem normalnym prostej \\(BD\\). Zatem:

\n

\\[8x + 6y + C = 0\\]

\n

Prosta \\(BD\\) przechodzi przez \\(M(-4, 1)\\):
\\[8 \\cdot (-4) + 6 \\cdot 1 + C = 0\\]
\\[-32 + 6 + C = 0\\]
\\[C = 26\\]

\n

Równanie: \\(8x + 6y + 26 = 0\\), upraszczamy przez 2:
\\[4x + 3y + 13 = 0\\]

\n

Dla postaci kierunkowej: \\(y = -\\frac{4}{3}x - \\frac{13}{3}\\) ✓

\n

Weryfikacja środka: \\(4 \\cdot (-4) + 3 \\cdot 1 + 13 = -16 + 3 + 13 = 0\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n
  1. Środek odcinka:
\n

\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Użyte w Kroku 1 do wyznaczenia środka przekątnej \\(AC\\).

\n
  1. Równanie kierunkowe prostej: \\(y = ax + b\\), gdzie \\(a\\) = współczynnik kierunkowy.
\n
  1. Warunek prostopadłości prostych:
\n

\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
Użyte w Kroku 3 do wyznaczenia nachylenia prostej \\(BD\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wiele osób wyznacza równanie prostej AC zamiast BD - to najczęstszy błąd w tym zadaniu. Pamiętaj: zadanie pyta o drugą przekątną!
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu nachylenia prostej prostopadłej nie wystarczy zmienić znak - trzeba wziąć odwrotność i zmienić znak: jeśli \\(a = \\frac{3}{4}\\), to prostopadła ma \\(a_\\perp = -\\frac{4}{3}\\), nie \\(-\\frac{3}{4}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Środek \\(M(-4, 1)\\) musi leżeć na prostej \\(BD\\) - zawsze warto to sprawdzić na końcu, podstawiając do wyznaczonego równania. To błyskawiczna weryfikacja, która uchroni przed utratą punktów.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(y = -\\dfrac{4}{3}x - \\dfrac{11}{3}\\) (lub równoważnie \\(4x + 3y + 11 = 0\\))

\n
Sposób 1 - Środek + prostopadłość
\n

Środek przekątnej \\(S = \\left(\\dfrac{-8+0}{2}, \\dfrac{-2+4}{2}\\right) = (-4, 1)\\).
Współczynnik \\(AC\\): \\(a_{AC} = \\dfrac{4-(-2)}{0-(-8)} = \\dfrac{6}{8} = \\dfrac{3}{4}.\\)
\\(BD \\perp AC\\), więc \\(a_{BD} = -\\dfrac{4}{3}.\\)
Równanie \\(BD\\): \\(y - 1 = -\\dfrac{4}{3}(x+4) \\Rightarrow y = -\\dfrac{4}{3}x - \\dfrac{16}{3} + 1 = -\\dfrac{4}{3}x - \\dfrac{13}{3}.\\)
Korekta: \\(-\\tfrac{16}{3} + \\tfrac{3}{3} = -\\tfrac{13}{3}\\). Zatem \\(y = -\\dfrac{4}{3}x - \\dfrac{13}{3}\\), lub \\(4x + 3y + 13 = 0.\\)

\n
Sposób 2 - Ogólna postać
\n

\\(AC: 3x - 4y + c = 0\\) (poprzez \\(A\\): \\(-24 + 8 + c = 0 \\Rightarrow c = 16\\)). Prostopadła: \\(4x + 3y + d = 0\\) przez \\(S(-4,1)\\): \\(-16 + 3 + d = 0 \\Rightarrow d = 13.\\)
Wynik: \\(4x + 3y + 13 = 0\\) lub \\(y = -\\dfrac{4}{3}x - \\dfrac{13}{3}.\\)

\n
CKE - Zasady oceniania
\n\n

Trik: w kwadracie przekątne są prostopadłe i przecinają się w środku.

"}]}