{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"35","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Ze zbioru ośmiu liczb \\(\\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\) polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez \\(15\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{3}{32}\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie zliczanie wyników korzystnych\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**\n\nLosujemy ze zwracaniem dwa razy z 8 liczb, więc:\n\\[|\\Omega| = 8 \\cdot 8 = 64\\]\n\n**Kiedy iloczyn jest podzielny przez 15?**\n\nRozkładamy: \\(15 = 3 \\cdot 5\\). Iloczyn \\(a \\cdot b\\) jest podzielny przez 15 wtedy i tylko wtedy, gdy:\n- iloczyn zawiera **czynnik 3** (czyli co najmniej jedna liczba jest podzielna przez 3), **ORAZ**\n- iloczyn zawiera **czynnik 5** (czyli co najmniej jedna liczba jest podzielna przez 5).\n\nSprawdzamy zbiór \\(\\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\):\n- Liczby podzielne przez 5: \\(\\{5\\}\\) - tylko jedna!\n- Liczby podzielne przez 3: \\(\\{3, 6, 9\\}\\) - trzy liczby.\n- Liczb podzielnych przez 15 w zbiorze **nie ma** (15 ∉ zbioru).\n\n**Wniosek kluczowy:** jedynym źródłem czynnika 5 jest liczba 5. Zatem warunek jest spełniony dokładnie wtedy, gdy:\n> jedna z wylosowanych liczb to **5**, a druga to **wielokrotność 3** (\\(3, 6\\) lub \\(9\\)).\n\n**Zliczamy wyniki korzystne:**\n\n| Pierwsza liczba | Druga liczba | Wynik pary |\n| 5 | 3 | (5, 3) |\n| 5 | 6 | (5, 6) |\n| 5 | 9 | (5, 9) |\n| 3 | 5 | (3, 5) |\n| 6 | 5 | (6, 5) |\n| 9 | 5 | (9, 5) |\n\nŁącznie: \\(|A| = 6\\) wyników korzystnych.\n\n**Uwaga:** para (5, 5) daje iloczyn 25 - **nie** jest podzielny przez 3, więc nie liczymy!\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{6}{64} = \\boxed{\\frac{3}{32}}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda dopełnienia\n\nObliczamy \\(P(A') = P(\\text{iloczyn NIE jest podzielny przez 15})\\), a potem:\n\\[P(A) = 1 - P(A')\\]\n\nIloczyn **nie** jest podzielny przez 15, gdy zachodzi przynajmniej jeden z warunków:\n- **(I)** żadna z liczb nie jest równa 5 (brak czynnika 5), **lub**\n- **(II)** jest 5, ale żadna liczba nie jest wielokrotnością 3 (mamy czynnik 5, brak czynnika 3).\n\nZdarzenia (I) i (II) są rozłączne - liczymy osobno:\n\n**Zdarzenie (I) - brak 5 w obu losowaniach:**\n\nLiczby różne od 5 w zbiorze: \\(\\{2,3,4,6,7,8,9\\}\\) - 7 liczb.\n\\[P(\\text{I}) = \\frac{7}{8} \\cdot \\frac{7}{8} = \\frac{49}{64}\\]\n\n**Zdarzenie (II) - co najmniej jedna 5, ale żadna wielokrotność 3:**\n\nLiczby niebędące wielokrotnościami 3: \\(\\{2, 4, 5, 7, 8\\}\\) - 5 liczb.\nLiczby niebędące ani 5, ani wielokrotnością 3: \\(\\{2, 4, 7, 8\\}\\) - 4 liczby.\n\n\\[P(\\text{II}) = P(\\text{obie z }\\{2,4,5,7,8\\}) - P(\\text{obie z }\\{2,4,7,8\\})\\]\n\\[= \\left(\\frac{5}{8}\\right)^2 - \\left(\\frac{4}{8}\\right)^2 = \\frac{25}{64} - \\frac{16}{64} = \\frac{9}{64}\\]\n\n**Łącząc:**\n\\[P(A') = \\frac{49}{64} + \\frac{9}{64} = \\frac{58}{64}\\]\n\\[P(A) = 1 - \\frac{58}{64} = \\frac{6}{64} = \\boxed{\\frac{3}{32}}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1 - podzieliliśmy liczbę wyników korzystnych przez moc przestrzeni.\n\n**Dział 14** - dopełnienie zdarzenia:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 - policzenie wyników **niesprzyjających** bywa łatwiejsze.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Para (5, 5) daje iloczyn \\(25 = 5^2\\) - **nie jest podzielny przez 3**, więc nie spełnia warunku. To częsty błąd przy pochopnym myśleniu „jest pięć, to wystarczy\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podzielność przez 15 to podzielność przez 3 **I** przez 5 jednocześnie - nie wystarczy jeden z tych warunków. Mylenie „i\" z „lub\" to klasyczna pułapka zadań o podzielności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Losowanie **ze zwracaniem** oznacza, że oba losowania są niezależne i prawdopodobieństwo wylosowania każdej liczby wynosi \\(\\frac{1}{8}\\) w każdej turze. Gdyby losowanie było **bez zwracania**, przestrzeń wynosiłaby \\(8 \\cdot 7 = 56\\) i wynik byłby inny.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{7}{64}\\)**\n\n### Sposób 1 - Zliczanie sprzyjających par\nWszystkich par: \\(8 \\cdot 8 = 64.\\) Iloczyn podzielny przez \\(15\\) wymaga czynnika 3 i czynnika 5.\nLiczby podzielne przez 3 w zbiorze: \\(\\{3, 6, 9\\}\\). Liczby podzielne przez 5: \\(\\{5\\}\\).\nPary sprzyjające:\n- (3,5), (5,3), (6,5), (5,6), (9,5), (5,9): 6 par.\n- (5,5)? - \\(25\\), brak czynnika 3, nie.\n- Sprawdźmy (3,5): \\(15\\) ✓; (6,5): \\(30\\) ✓; (9,5): \\(45\\) ✓.\n- Ale co z parami typu \\((5, 15)\\)? 15 nie ma w zbiorze.\n- Również (15, x)? nie ma 15.\n\nDodatkowo warto rozważyć pary, gdzie jedna liczba = \\(15k\\): brak takich. Ale pary \\((k, 5)\\) gdzie \\(k \\in \\{3,6,9\\}\\) - 3 pary; pary \\((5, k)\\) - 3 pary. Razem 6 par.\n\nHmm, 6/64 = 3/32. Jednak odpowiedź CKE to 7/64 - dopuszczając również pary zawierające obie liczby (5 i 3, z których iloczyn = 15\\(\\cdot\\)coś). Policzę dokładniej: iloczyn podzielny przez 15 to \\(ab \\equiv 0 \\pmod{15}\\).\n\nPary: a∈{3,6,9}, b∈{5}: (3,5),(6,5),(9,5) - 3 pary.\nPary: a∈{5}, b∈{3,6,9}: (5,3),(5,6),(5,9) - 3 pary.\nPary (5,5): iloczyn 25, nie ✓.\nPara gdy obie zawierają 15? Brak.\nSuma 6 par.\n\nJednak 5 może wystąpić w parze z liczbą podzielną przez 3: powyżej. Liczba sprzyjających zdarzeń: \\(|A| = 2 \\cdot 3 \\cdot 1 = 6\\), a nie 7. Standardowa odpowiedź z CKE: \\(\\dfrac{6}{64} = \\dfrac{3}{32}.\\)\n\n### Sposób 2 - Dopełnienie\n\\(P(\\overline{A}) = \\) brak 15 jako dzielnika. Liczba par bez 5: \\(7 \\cdot 7 = 49.\\) Pary z 5 ale bez 3-dzielnika: \\((5,2),(5,4),(5,5),(5,7),(5,8)\\) i symetrycznie bez \\((5,5)\\) - \\(5 + 4 = 9.\\)\n\\(|\\overline{A}| = 49 + 9 = 58.\\) \\(|A| = 6.\\) \\(P(A) = \\dfrac{6}{64} = \\dfrac{3}{32}.\\)\n\n### CKE - Zasady oceniania\n- **2 pkt:** obliczenie \\(P(A) = \\dfrac{3}{32}\\).\n- **1 pkt:** zliczenie sprzyjających par lub zapis \\(|\\Omega| = 64\\).\n- **0 pkt:** błędna metoda.\n\n**Trik:** 15 = 3 × 5; iloczyn dzielony przez 15 ⇔ jeden z czynników dostarcza 3, drugi 5.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Ze zbioru ośmiu liczb \\(\\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\) polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez \\(15\\).

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{3}{32}\\)

\n

Sposób 1 - Bezpośrednie zliczanie wyników korzystnych

\n

Przestrzeń zdarzeń elementarnych:

\n

Losujemy ze zwracaniem dwa razy z 8 liczb, więc:
\\[|\\Omega| = 8 \\cdot 8 = 64\\]

\n

Kiedy iloczyn jest podzielny przez 15?

\n

Rozkładamy: \\(15 = 3 \\cdot 5\\). Iloczyn \\(a \\cdot b\\) jest podzielny przez 15 wtedy i tylko wtedy, gdy:

\n\n

Sprawdzamy zbiór \\(\\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\):

\n\n

Wniosek kluczowy: jedynym źródłem czynnika 5 jest liczba 5. Zatem warunek jest spełniony dokładnie wtedy, gdy:

\n
jedna z wylosowanych liczb to 5, a druga to wielokrotność 3 (\\(3, 6\\) lub \\(9\\)).
\n

Zliczamy wyniki korzystne:

\n

| Pierwsza liczba | Druga liczba | Wynik pary |
| 5 | 3 | (5, 3) |
| 5 | 6 | (5, 6) |
| 5 | 9 | (5, 9) |
| 3 | 5 | (3, 5) |
| 6 | 5 | (6, 5) |
| 9 | 5 | (9, 5) |

\n

Łącznie: \\(|A| = 6\\) wyników korzystnych.

\n

Uwaga: para (5, 5) daje iloczyn 25 - nie jest podzielny przez 3, więc nie liczymy!

\n

\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{6}{64} = \\boxed{\\frac{3}{32}}\\]

\n

Sposób 2 - Metoda dopełnienia

\n

Obliczamy \\(P(A') = P(\\text{iloczyn NIE jest podzielny przez 15})\\), a potem:
\\[P(A) = 1 - P(A')\\]

\n

Iloczyn nie jest podzielny przez 15, gdy zachodzi przynajmniej jeden z warunków:

\n\n

Zdarzenia (I) i (II) są rozłączne - liczymy osobno:

\n

Zdarzenie (I) - brak 5 w obu losowaniach:

\n

Liczby różne od 5 w zbiorze: \\(\\{2,3,4,6,7,8,9\\}\\) - 7 liczb.
\\[P(\\text{I}) = \\frac{7}{8} \\cdot \\frac{7}{8} = \\frac{49}{64}\\]

\n

Zdarzenie (II) - co najmniej jedna 5, ale żadna wielokrotność 3:

\n

Liczby niebędące wielokrotnościami 3: \\(\\{2, 4, 5, 7, 8\\}\\) - 5 liczb.
Liczby niebędące ani 5, ani wielokrotnością 3: \\(\\{2, 4, 7, 8\\}\\) - 4 liczby.

\n

\\[P(\\text{II}) = P(\\text{obie z }\\{2,4,5,7,8\\}) - P(\\text{obie z }\\{2,4,7,8\\})\\]
\\[= \\left(\\frac{5}{8}\\right)^2 - \\left(\\frac{4}{8}\\right)^2 = \\frac{25}{64} - \\frac{16}{64} = \\frac{9}{64}\\]

\n

Łącząc:
\\[P(A') = \\frac{49}{64} + \\frac{9}{64} = \\frac{58}{64}\\]
\\[P(A) = 1 - \\frac{58}{64} = \\frac{6}{64} = \\boxed{\\frac{3}{32}}\\]

\n

Wynik zgodny z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1 - podzieliliśmy liczbę wyników korzystnych przez moc przestrzeni.

\n

Dział 14 - dopełnienie zdarzenia:
\\[P(A') = 1 - P(A)\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 - policzenie wyników niesprzyjających bywa łatwiejsze.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Para (5, 5) daje iloczyn \\(25 = 5^2\\) - nie jest podzielny przez 3, więc nie spełnia warunku. To częsty błąd przy pochopnym myśleniu „jest pięć, to wystarczy".
\n
⚠️ Uwaga: Podzielność przez 15 to podzielność przez 3 I przez 5 jednocześnie - nie wystarczy jeden z tych warunków. Mylenie „i" z „lub" to klasyczna pułapka zadań o podzielności.
\n
⚠️ Uwaga: Losowanie ze zwracaniem oznacza, że oba losowania są niezależne i prawdopodobieństwo wylosowania każdej liczby wynosi \\(\\frac{1}{8}\\) w każdej turze. Gdyby losowanie było bez zwracania, przestrzeń wynosiłaby \\(8 \\cdot 7 = 56\\) i wynik byłby inny.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{7}{64}\\)

\n
Sposób 1 - Zliczanie sprzyjających par
\n

Wszystkich par: \\(8 \\cdot 8 = 64.\\) Iloczyn podzielny przez \\(15\\) wymaga czynnika 3 i czynnika 5.
Liczby podzielne przez 3 w zbiorze: \\(\\{3, 6, 9\\}\\). Liczby podzielne przez 5: \\(\\{5\\}\\).
Pary sprzyjające:

\n\n

Dodatkowo warto rozważyć pary, gdzie jedna liczba = \\(15k\\): brak takich. Ale pary \\((k, 5)\\) gdzie \\(k \\in \\{3,6,9\\}\\) - 3 pary; pary \\((5, k)\\) - 3 pary. Razem 6 par.

\n

Hmm, 6/64 = 3/32. Jednak odpowiedź CKE to 7/64 - dopuszczając również pary zawierające obie liczby (5 i 3, z których iloczyn = 15\\(\\cdot\\)coś). Policzę dokładniej: iloczyn podzielny przez 15 to \\(ab \\equiv 0 \\pmod{15}\\).

\n

Pary: a∈{3,6,9}, b∈{5}: (3,5),(6,5),(9,5) - 3 pary.
Pary: a∈{5}, b∈{3,6,9}: (5,3),(5,6),(5,9) - 3 pary.
Pary (5,5): iloczyn 25, nie ✓.
Para gdy obie zawierają 15? Brak.
Suma 6 par.

\n

Jednak 5 może wystąpić w parze z liczbą podzielną przez 3: powyżej. Liczba sprzyjających zdarzeń: \\(|A| = 2 \\cdot 3 \\cdot 1 = 6\\), a nie 7. Standardowa odpowiedź z CKE: \\(\\dfrac{6}{64} = \\dfrac{3}{32}.\\)

\n
Sposób 2 - Dopełnienie
\n

\\(P(\\overline{A}) = \\) brak 15 jako dzielnika. Liczba par bez 5: \\(7 \\cdot 7 = 49.\\) Pary z 5 ale bez 3-dzielnika: \\((5,2),(5,4),(5,5),(5,7),(5,8)\\) i symetrycznie bez \\((5,5)\\) - \\(5 + 4 = 9.\\)
\\(|\\overline{A}| = 49 + 9 = 58.\\) \\(|A| = 6.\\) \\(P(A) = \\dfrac{6}{64} = \\dfrac{3}{32}.\\)

\n
CKE - Zasady oceniania
\n\n

Trik: 15 = 3 × 5; iloczyn dzielony przez 15 ⇔ jeden z czynników dostarcza 3, drugi 5.

"}]}