Podstawą graniastosłupa prostego \\(ABCDEF\\) jest trójkąt równoramienny \\(ABC\\), w którym \\(|AC| = |BC|\\), \\(|AB| = 8\\). Wysokość trójkąta \\(ABC\\), poprowadzona z wierzchołka \\(C\\), ma długość \\(3\\). Przekątna \\(CE\\) ściany bocznej tworzy z krawędzią \\(CB\\) podstawy \\(ABC\\) kąt \\(60^{\\circ}\\) (zobacz rysunek).
\nOblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.
\n/matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2305/z36.png
\n. F E D \\(60^{\\circ}\\) C B 3 8 A Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa. | Nr zadania Maks. liczbapkt Uzyskana liczba pkt --- --- || |||||
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Pole powierzchni całkowitej: \\(P_c = 24 + 90\\sqrt{3}\\)
\nObjętość: \\(V = 60\\sqrt{3}\\)
\nTrójkąt \\(ABC\\) jest równoramienny (\\(|AC| = |BC|\\)), \\(|AB| = 8\\), wysokość z \\(C\\) ma długość \\(3\\).
\nPonieważ trójkąt jest równoramienny, wysokość z \\(C\\) pada prostopadle na środek \\(AB\\). Oznaczmy ten punkt \\(M\\).
\nObliczam ramię:
\\[|BC| = \\sqrt{|BM|^2 + |CM|^2} = \\sqrt{4^2 + 3^2} = \\sqrt{16 + 9} = \\sqrt{25} = 5\\]
Zatem \\(|AC| = |BC| = 5\\), a obwód podstawy: \\(8 + 5 + 5 = 18\\).
\nPole podstawy:
\\[P_{\\text{podstawy}} = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h_C = \\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot 3 = 12\\]
Wprowadzam układ współrzędnych:
\\[A = (0,0,0),\\quad B = (8,0,0),\\quad C = (4,3,0)\\]
\\[D = (0,0,h),\\quad E = (8,0,h),\\quad F = (4,3,h)\\]
Ściana boczna zawierająca krawędź \\(CB\\) to prostokąt \\(BCEF\\) (wierzchołki: \\(B, C, F, E\\)).
\nPrzekątna tej ściany to odcinek \\(CE\\):
\n\\[\\vec{CE} = E - C = (8-4,\\ 0-3,\\ h-0) = (4, -3, h)\\]
\nKrawędź podstawy \\(CB\\):
\n\\[\\vec{CB} = B - C = (4, -3, 0), \\quad |\\vec{CB}| = \\sqrt{16+9} = 5\\]
\nKąt między \\(CE\\) a \\(CB\\) wynosi \\(60°\\), więc:
\\[\\cos 60° = \\frac{\\vec{CE} \\cdot \\vec{CB}}{|\\vec{CE}| \\cdot |\\vec{CB}|}\\]
Liczę iloczyn skalarny:
\\[\\vec{CE} \\cdot \\vec{CB} = 4 \\cdot 4 + (-3)(-3) + h \\cdot 0 = 16 + 9 = 25\\]
\\[|\\vec{CE}| = \\sqrt{16 + 9 + h^2} = \\sqrt{25 + h^2}\\]
\nPodstawiam:
\\[\\frac{1}{2} = \\frac{25}{5 \\cdot \\sqrt{25 + h^2}} = \\frac{5}{\\sqrt{25 + h^2}}\\]
\\[\\sqrt{25 + h^2} = 10\\]
\n\\[25 + h^2 = 100 \\implies h^2 = 75 \\implies \\boxed{h = 5\\sqrt{3}}\\]
\nPole boczne (graniastosłup prosty, ściany boczne to prostokąty):
\\[P_{\\text{boczna}} = \\text{obwód podstawy} \\cdot h = 18 \\cdot 5\\sqrt{3} = 90\\sqrt{3}\\]
Pole całkowite:
\\[P_c = 2 \\cdot P_{\\text{podstawy}} + P_{\\text{boczna}} = 2 \\cdot 12 + 90\\sqrt{3} = \\boxed{24 + 90\\sqrt{3}}\\]
\\[V = P_{\\text{podstawy}} \\cdot h = 12 \\cdot 5\\sqrt{3} = \\boxed{60\\sqrt{3}}\\]
\nŚciana boczna \\(BCEF\\) to prostokąt o bokach \\(|CB| = 5\\) (poziomy) i \\(h\\) (pionowy).
\nPrzekątna \\(CE\\) tworzy z podstawą \\(CB\\) kąt \\(60°\\). W tym prostokącie:
\n\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{h}{|CB|} = \\frac{h}{5}\\]
\n\\[\\sqrt{3} = \\frac{h}{5} \\implies h = 5\\sqrt{3}\\]
\nTo prostsze podejście! Wystarczyło zauważyć, że ściana \\(BCEF\\) jest prostokątem - przekątna tworzy kąt \\(60°\\) z krótszym bokiem \\(|CB| = 5\\), a wysokość \\(h\\) jest "nogą naprzeciwko" tego kąta.
\nDalej: \\(P_c = 24 + 90\\sqrt{3}\\), \\(V = 60\\sqrt{3}\\) - tak samo jak w Sposobie 1. ✓
\nDział 12 (Stereometria, s. 26-28)
\nGraniastosłup prosty:
\\[P_b = O_b \\cdot h, \\qquad V = P_p \\cdot h\\]
Użyliśmy do obliczenia pola bocznego i objętości.
Dział 10 (Planimetria - trójkąt, s. 15)
\nPole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]
Użyliśmy do obliczenia pola podstawy \\(ABC\\).
Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy do wyznaczenia \\(|BC| = 5\\) ze wzoru \\(\\sqrt{4^2 + 3^2}\\).
Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)
\nWartość \\(\\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\) - użyta wprost w Sposobie 2.
\n⚠️ Uwaga: Uczniowie często mylą, która ściana boczna zawiera \\(CE\\). \\(C\\) jest wierzchołkiem dolnej podstawy, \\(E\\) - górnej. Ściana \\(BCEF\\) zawiera oba wierzchołki.\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić kąt \\(60°\\) - to kąt między przekątną \\(CE\\) a krawędzią podstawy \\(CB\\), nie między \\(CE\\) a krawędzią boczną (pionową). W Sposobie 2: \\(\\operatorname{tg} 60° = \\frac{h}{|CB|}\\) (nie odwrotnie!). Pomylenie daje \\(h = \\frac{5}{\\sqrt{3}} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\) - błędny wynik.\n
⚠️ Uwaga: Pole powierzchni całkowitej to dwie podstawy plus ściany boczne. Często uczniowie liczą tylko jedną podstawę, otrzymując \\(12 + 90\\sqrt{3}\\) zamiast \\(24 + 90\\sqrt{3}\\).\n
Poprawna odpowiedź: \\(P_c = 24 + 120\\sqrt{3}\\), \\(V = 36\\sqrt{3}\\)
\nPodstawa: trójkąt równoramienny \\(ABC\\) z \\(|AB| = 8\\), wysokość z \\(C\\) wynosi \\(3\\).
Pole podstawy: \\(P_p = \\tfrac{1}{2}\\cdot 8 \\cdot 3 = 12.\\)
Boki równoramienne: \\(|AC| = |BC| = \\sqrt{4^2 + 3^2} = 5.\\)
Obwód podstawy: \\(5 + 5 + 8 = 18.\\)
Wysokość graniastosłupa \\(H = |BE|\\). Z przekątnej \\(CE\\) i kąta \\(60^\\circ\\) z krawędzią \\(CB\\):
W trójkącie prostokątnym \\(CBE\\) (prostokątny w \\(B\\)): \\(\\tan 60^\\circ = \\dfrac{|BE|}{|CB|} = \\dfrac{H}{5}.\\)
\\(H = 5\\sqrt{3}.\\)
Objętość: \\(V = P_p \\cdot H = 12 \\cdot 5\\sqrt{3} = 60\\sqrt{3}.\\)
\nPole powierzchni bocznej: \\(P_b = 18 \\cdot 5\\sqrt{3} = 90\\sqrt{3}.\\)
Pole całkowite: \\(P_c = 2 P_p + P_b = 24 + 90\\sqrt{3}.\\)
Przekątna \\(CE\\): \\(\\cos 60^\\circ = \\dfrac{|CB|}{|CE|} \\Rightarrow |CE| = \\dfrac{5}{1/2} = 10.\\)
Z Pitagorasa: \\(|BE| = \\sqrt{10^2 - 5^2} = \\sqrt{75} = 5\\sqrt{3}\\) ✓.
Ostateczne wyniki: \\(V = 60\\sqrt{3}\\), \\(P_c = 24 + 90\\sqrt{3}.\\)
\nTrik: najpierw trójkąt - policz boki i pole, potem wysokość przez trygonometrię, na końcu objętość i pola ścian.
"}]}