Zadanie 4. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba log9 27 + log9 3 jest równa
A. 81
B. 9
C. 4
D. 2
Liczba log_9 27 + log_9 3 jest równa A. 81 B. 9 C. 4 D. 2
Zadanie 4. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
I.1) wykonuje działania ([…]
logarytmowanie) w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
D
C
Odpowiedź: D
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nOblicz $\\log_9 27 + \\log_9 3$.
\nUżyj wzoru na logarytm iloczynu. Dla tej samej podstawy:
\n$$\\log_a x + \\log_a y = \\log_a (x \\cdot y)$$
\nW naszym przypadku:
\n$$\\log_9 27 + \\log_9 3 = \\log_9 (27 \\cdot 3) = \\log_9 81$$
\nZauważ, że $81 = 9^2$.
\n$$\\log_9 81 = \\log_9 9^2$$
\nSkorzystaj z własności logarytmu potęgi.
\n$$\\log_a a^k = k$$
\nTutaj $a = 9$, $k = 2$:
\n$$\\log_9 9^2 = 2$$
\nPo co to umieć
\nLogarytmy w arkuszu maturalnym pojawiają się 1-2 razy na sesję. Trzy własności do zapamiętania:
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomnożenie zamiast dodania logarytmów. $\\log a + \\log b = \\log(ab)$, nie $\\log a \\cdot \\log b$. Drugi błąd: $\\log_9 81 = 9$ zamiast $2$ — pamiętaj, że szukamy wykładnika $x$, dla którego $9^x = 81$.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Jest to zadanie otwarte - należy udowodnić, że jedyną parą spełniającą oba warunki jednocześnie jest \\(x = y = 2\\).
\nPrzekształcamy nierówność - przenosimy wszystko na lewą stronę:
\n\\[x^3 - x^2y \\leq xy^2 - y^3\\]
\\[x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 \\leq 0\\]
Faktoryzujemy lewą stronę - grupujemy:
\n\\[x^2(x - y) - y^2(x - y) \\leq 0\\]
\\[(x^2 - y^2)(x - y) \\leq 0\\]
Korzystamy ze wzoru \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):
\n\\[(x - y)(x + y)(x - y) \\leq 0\\]
\\[\\boxed{(x - y)^2 \\cdot (x + y) \\leq 0}\\]
Podstawiamy warunek \\(x + y = 4\\):
\n\\[(x - y)^2 \\cdot 4 \\leq 0\\]
\nAnaliza znaku:
\nJednocześnie mamy \\(4(x-y)^2 \\leq 0$.
\nZ \\(\\geq 0\\) i \\(\\leq 0\\) wynika:
\n\\[4(x - y)^2 = 0 \\implies (x - y)^2 = 0 \\implies x - y = 0 \\implies x = y\\]
\nŁączymy z równaniem:
\n\\[\\begin{cases} x + y = 4 \\\\ x = y \\end{cases} \\implies 2x = 4 \\implies x = 2, \\quad y = 2\\]
\nWniosek: jedyną parą spełniającą oba warunki jest \\(x = 2\\), \\(y = 2\\). \\(\\blacksquare\\)
\nZ równania \\(x + y = 4\\) mamy \\(y = 4 - x\\). Podstawiamy bezpośrednio do nierówności:
\nLewa strona:
\\[x^3 - x^2(4 - x) = x^3 - 4x^2 + x^3 = 2x^3 - 4x^2\\]
Prawa strona:
\\[x(4-x)^2 - (4-x)^3\\]
Rozwijamy \\((4-x)^2 = 16 - 8x + x^2\\) oraz \\((4-x)^3 = 64 - 48x + 12x^2 - x^3\\):
\n\\[= x(16 - 8x + x^2) - (64 - 48x + 12x^2 - x^3)\\]
\\[= 16x - 8x^2 + x^3 - 64 + 48x - 12x^2 + x^3\\]
\\[= 2x^3 - 20x^2 + 64x - 64\\]
Nierówność staje się:
\\[2x^3 - 4x^2 \\leq 2x^3 - 20x^2 + 64x - 64\\]
Odejmujemy \\(2x^3\\) od obu stron:
\\[-4x^2 \\leq -20x^2 + 64x - 64\\]
\\[16x^2 - 64x + 64 \\leq 0\\]
\\[16(x^2 - 4x + 4) \\leq 0\\]
\\[\\mathbf{16(x - 2)^2 \\leq 0}\\]
Ponieważ \\(16(x-2)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\), to jedyną możliwością jest:
\n\\[(x-2)^2 = 0 \\implies x = 2\\]
\nStąd \\(y = 4 - 2 = 2\\).
\nWniosek: \\(x = 2\\), \\(y = 2\\). \\(\\blacksquare\\)
\nDział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Użyte w Sposobie 1 przy rozkładzie \\(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\\).
Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Pojawia się w obu sposobach - w Sposobie 2 rozwijamy \\((4-x)^2\\) i \\((4-x)^3\\).
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy sprawdzić, że \\(x = 2\\), \\(y = 2\\) spełnia oba warunki. To zadanie wymaga dowodu, że nie istnieje inna para - kluczowy krok to pokazanie, że \\((x-y)^2 = 0\\).\n
⚠️ Uwaga: Przy przenoszeniu wyrazów na lewą stronę łatwo pomylić znak - szczególnie przy \\(-xy^2 + y^3\\). Zawsze sprawdź każdy wyraz osobno.\n
⚠️ Uwaga: \\((x-y)^2 \\geq 0\\) to fakt ogólny dla liczb rzeczywistych. Jeśli jednocześnie musi być \\(\\leq 0\\), to jedyną możliwością jest równość \\(= 0\\). To serce całego dowodu!\n
Poprawna odpowiedź: Dowodzimy, że jedyne rozwiązanie to \\(x = 2\\), \\(y = 2\\).
\nZ \\(x + y = 4\\) mamy \\(y = 4 - x\\). Podstawiamy do nierówności:
\\[x^{3} - x^{2}(4-x) \\leq x(4-x)^{2} - (4-x)^{3}\\]
Stosujemy wzory na kwadrat i sześcian różnicy:
\\[x^{3} - 4x^{2} + x^{3} \\leq x(16 - 8x + x^{2}) - (64 - 48x + 12x^{2} - x^{3})\\]
\\[2x^{3} - 4x^{2} \\leq 16x - 8x^{2} + x^{3} - 64 + 48x - 12x^{2} + x^{3}\\]
\\[2x^{3} - 4x^{2} \\leq 2x^{3} - 20x^{2} + 64x - 64\\]
\\[-4x^{2} \\leq -20x^{2} + 64x - 64\\]
\\[16x^{2} - 64x + 64 \\leq 0\\]
\\[(4x - 8)^{2} \\leq 0\\]
Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze \\(\\geq 0\\), więc jedynym rozwiązaniem jest \\((4x - 8)^{2} = 0\\), czyli \\(x = 2\\).
\nZatem \\(y = 4 - 2 = 2\\). \\(\\blacksquare\\)
\nPrzekształcamy nierówność:
\\[x^{3} - x^{2}y - xy^{2} + y^{3} \\leq 0\\]
\\[x^{2}(x - y) - y^{2}(x - y) \\leq 0\\]
\\[(x - y)(x^{2} - y^{2}) \\leq 0\\]
\\[(x - y)(x - y)(x + y) \\leq 0\\]
\\[(x + y)(x - y)^{2} \\leq 0\\]
Ponieważ \\(x + y = 4 > 0\\):
\\[4(x - y)^{2} \\leq 0\\]
Kwadrat jest nieujemny, więc \\((x - y)^{2} = 0\\), czyli \\(x = y\\). Z \\(x + y = 4\\) wynika \\(2x = 4\\), czyli \\(x = 2\\) i \\(y = 2\\). \\(\\blacksquare\\)
\nTrik: Wyrażenie \\(x^{3} - x^{2}y - xy^{2} + y^{3}\\) grupuje się jako \\((x-y)(x+y)(x-y) = (x+y)(x-y)^{2}\\) - wzór, który warto zapamiętać.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"\\
\n\\
\n\\
\n\\
\n\\
\n\\
\n\\
Odpowiedź: 2
Przechodzimy z logarytmów o podstawie 9 do potęg liczby 9 :
\n27=9^(3)/(2), 3=9^(1)/(2).
\nZatem
\nlog_9 27+log_9 3
=(3)/(2)+(1)/(2)
=2.
Równoważnie można zapisać:
\nlog_9 27+log_9 3
=log_9(27·3)
=log_9 81
=2,
ponieważ
\n9^2=81.
"}]}