{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności\n-2(𝑥+ 3) ≤2 -𝑥\n3\njest przedział\nA. (-∞, -4]\nB. (-∞, 4]\nC. [-4, ∞)\nD. [4, ∞)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności -2(x+3) ≤ 2-x/3 jest przedział A. (-∞,4> B. (-∞,4> C. <-4,∞) D. <4,∞)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną\nniewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nA","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nRozwiąż $-2(x+3) \\leq \\frac{2-x}{3}$.\n\nPozbądź się ułamka. Pomnóż obie strony przez $3$ (dodatnia liczba — znak nierówności bez zmiany):\n\n$$-6(x+3) \\leq 2-x$$\n\nRozwiń lewą stronę.\n\n$$-6x - 18 \\leq 2 - x$$\n\nPrzenieś niewiadome na lewo, liczby na prawo.\n\n$$-6x + x \\leq 2 + 18$$\n$$-5x \\leq 20$$\n\nPodziel obie strony przez $-5$ — UWAGA: znak nierówności się zmienia (bo dzielimy przez liczbę ujemną):\n\n$$x \\geq -4$$\n\nZapisz jako przedział. $x \\geq -4$ oznacza:\n\n$$x \\in \\langle -4, +\\infty)$$\n\nPo co to umieć\n\nNierówności liniowe to fundament — pojawiają się prawie w każdym arkuszu, czasem jako odrębne zadanie, czasem jako element większego problemu (dziedzina funkcji, granice). Najważniejsza zasada: mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: zapomnienie o zmianie znaku nierówności przy dzieleniu/mnożeniu obu stron przez liczbę ujemną. Tutaj pojawia się ten moment przy końcu rozwiązania.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"nierówność liniowa, Nierówności liniowe, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
-2(𝑥+ 3) ≤2 -𝑥
3
jest przedział
A. (-∞, -4]
B. (-∞, 4]
C. [-4, ∞)
D. [4, ∞)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności -2(x+3) ≤ 2-x/3 jest przedział A. (-∞,4> B. (-∞,4> C. <-4,∞) D. <4,∞)

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
III.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną
niewiadomą.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
C
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: C

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

Rozwiąż $-2(x+3) \\leq \\frac{2-x}{3}$.

\n

Pozbądź się ułamka. Pomnóż obie strony przez $3$ (dodatnia liczba — znak nierówności bez zmiany):

\n

$$-6(x+3) \\leq 2-x$$

\n

Rozwiń lewą stronę.

\n

$$-6x - 18 \\leq 2 - x$$

\n

Przenieś niewiadome na lewo, liczby na prawo.

\n

$$-6x + x \\leq 2 + 18$$
$$-5x \\leq 20$$

\n

Podziel obie strony przez $-5$ — UWAGA: znak nierówności się zmienia (bo dzielimy przez liczbę ujemną):

\n

$$x \\geq -4$$

\n

Zapisz jako przedział. $x \\geq -4$ oznacza:

\n

$$x \\in \\langle -4, +\\infty)$$

\n

Po co to umieć

\n

Nierówności liniowe to fundament — pojawiają się prawie w każdym arkuszu, czasem jako odrębne zadanie, czasem jako element większego problemu (dziedzina funkcji, granice). Najważniejsza zasada: mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: zapomnienie o zmianie znaku nierówności przy dzieleniu/mnożeniu obu stron przez liczbę ujemną. Tutaj pojawia się ten moment przy końcu rozwiązania.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\[x = -\\frac{\\pi}{12} + k\\pi \\quad \\text{lub} \\quad x = \\frac{7\\pi}{12} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}\\]

\n

Sposób 1 - wzór na iloczyn sinus × cosinus (produkt na sumę)

\n

Kluczowy pomysł: Lewą stronę zamieniamy na sumę sinusów, korzystając z tożsamości:
\\[2\\sin A \\cos B = \\sin(A+B) + \\sin(A-B)\\]
(wynika z karty CKE - patrz niżej)

\n

Krok 1. Piszemy lewą stronę:
\\[4\\sin(4x)\\cos(6x) = 2 \\cdot \\underbrace{2\\sin(4x)\\cos(6x)}_{= \\sin(10x) + \\sin(-2x)}\\]

\n

Stosujemy wzór z \\(A = 4x\\), \\(B = 6x\\):
\\[= 2\\bigl[\\sin(4x + 6x) + \\sin(4x - 6x)\\bigr] = 2\\bigl[\\sin(10x) + \\sin(-2x)\\bigr]\\]

\n

Ponieważ \\(\\sin(-2x) = -\\sin(2x)\\):
\\[4\\sin(4x)\\cos(6x) = 2\\sin(10x) - 2\\sin(2x)\\]

\n

Krok 2. Podstawiamy do równania:
\\[2\\sin(10x) - 2\\sin(2x) = 2\\sin(10x) + 1\\]

\n

Krok 3. Odejmujemy \\(2\\sin(10x)\\) od obu stron:
\\[-2\\sin(2x) = 1\\]
\\[\\sin(2x) = -\\frac{1}{2}\\]

\n

Krok 4. Rozwiązujemy \\(\\sin(2x) = -\\dfrac{1}{2}\\).

\n

Wiemy, że \\(\\sin\\theta = -\\dfrac{1}{2}\\) gdy \\(\\theta = -\\dfrac{\\pi}{6} + 2k\\pi\\) lub \\(\\theta = \\pi + \\dfrac{\\pi}{6} + 2k\\pi = \\dfrac{7\\pi}{6} + 2k\\pi\\).

\n

Podstawiamy \\(\\theta = 2x\\):

\n

\\[\\text{Przypadek I: } 2x = -\\frac{\\pi}{6} + 2k\\pi \\implies \\boxed{x = -\\frac{\\pi}{12} + k\\pi}, \\quad k \\in \\mathbb{Z}\\]

\n

\\[\\text{Przypadek II: } 2x = \\frac{7\\pi}{6} + 2k\\pi \\implies \\boxed{x = \\frac{7\\pi}{12} + k\\pi}, \\quad k \\in \\mathbb{Z}\\]

\n

Sposób 2 - rozwinięcie \\(\\sin(10x)\\) wzorem na sinus sumy

\n

Inny pomysł: zamiast wzoru produkt→sumę, przenosimy \\(2\\sin(10x)\\) na lewą stronę i rozwijamy \\(\\sin(10x) = \\sin(4x+6x)\\) wprost z karty.

\n

Krok 1. Przenosimy na lewą stronę:
\\[4\\sin(4x)\\cos(6x) - 2\\sin(10x) = 1\\]

\n

Krok 2. Zapisujemy \\(\\sin(10x) = \\sin(4x + 6x)\\) i stosujemy wzór addycyjny:
\\[\\sin(4x+6x) = \\sin(4x)\\cos(6x) + \\cos(4x)\\sin(6x)\\]

\n

Wstawiamy:
\\[4\\sin(4x)\\cos(6x) - 2\\bigl[\\sin(4x)\\cos(6x) + \\cos(4x)\\sin(6x)\\bigr] = 1\\]

\n

Krok 3. Rozwijamy nawias:
\\[4\\sin(4x)\\cos(6x) - 2\\sin(4x)\\cos(6x) - 2\\cos(4x)\\sin(6x) = 1\\]
\\[2\\sin(4x)\\cos(6x) - 2\\cos(4x)\\sin(6x) = 1\\]

\n

Krok 4. Wyłączamy 2 i rozpoznajemy wzór na \\(\\sin(A - B)\\):
\\[2\\bigl[\\sin(4x)\\cos(6x) - \\cos(4x)\\sin(6x)\\bigr] = 1\\]
\\[2\\sin(4x - 6x) = 1\\]
\\[2\\sin(-2x) = 1\\]
\\[-2\\sin(2x) = 1\\]
\\[\\sin(2x) = -\\frac{1}{2}\\]

\n

Dalej tak samo jak w Sposobie 1 - wynik identyczny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 13) - funkcje sumy i różnicy kątów:

\n

\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]
\\[\\sin(\\alpha - \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta - \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]

\n

Sposób 1 korzysta z kombinacji tych dwóch wzorów - dodając oba równania stronami:
\\[\\sin(A+B) + \\sin(A-B) = 2\\sin A\\cos B\\]
co daje nam wzór produkt→sumę.

\n

Sposób 2 stosuje oba wzory bezpośrednio: najpierw wzór na \\(\\sin(\\alpha+\\beta)\\) do rozwinięcia \\(\\sin(10x)\\), potem wzór na \\(\\sin(\\alpha - \\beta)\\) do uproszczenia różnicy.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - wartości funkcji trygonometrycznych:

\n

\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]

\n

Przydatne do rozwiązania \\(\\sin(2x) = -\\dfrac{1}{2}\\) - skąd wiemy, że kątem bazowym jest \\(30° = \\dfrac{\\pi}{6}\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Zapomnisz o \\(\\sin(-2x) = -\\sin(2x)\\) i napiszesz \\(+\\sin(2x)\\) - wtedy dostaniesz \\(\\sin(2x) = \\frac{1}{2}\\) zamiast \\(-\\frac{1}{2}\\). Sprawdzaj znaki!
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sin\\theta = -\\frac{1}{2}\\) daje DWA przedziały rodzin rozwiązań (III i IV ćwiartka). Łatwo pominąć jeden z nich. Zawsze rysuj sobie okrąg jednostkowy lub szkicuj wykres sinusa.
\n
⚠️ Uwaga: Po podzieleniu \\(2x = \\ldots\\) przez 2, okres sinusa \\(2\\pi\\) dzielisz też przez 2 - dostając \\(+k\\pi\\), nie \\(+2k\\pi\\). Bardzo częsty błąd na maturze!
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = \\dfrac{7}{12}\\pi + k\\pi\\) lub \\(x = \\dfrac{11}{12}\\pi + k\\pi\\), gdzie \\(k \\in \\mathbb{Z}\\).

\n
Sposób 1 (wzory na sumę/różnicę)
\n

Krok 1. Rozkładamy \\(\\sin(10x)\\).

\n

Ze wzoru \\(\\sin(a+b) = \\sin a \\cos b + \\cos a \\sin b\\):
\\[\\sin(10x) = \\sin(6x + 4x) = \\sin(6x)\\cos(4x) + \\cos(6x)\\sin(4x)\\]

\n

Krok 2. Podstawiamy do równania.
\\[4\\sin(4x)\\cos(6x) = 2[\\sin(6x)\\cos(4x) + \\cos(6x)\\sin(4x)] + 1\\]
\\[4\\sin(4x)\\cos(6x) - 2\\cos(6x)\\sin(4x) = 2\\sin(6x)\\cos(4x) + 1\\]
\\[2\\sin(4x)\\cos(6x) - 2\\sin(6x)\\cos(4x) = 1\\]

\n

Krok 3. Stosujemy wzór na różnicę sinusów.
\\[2[\\sin(4x)\\cos(6x) - \\cos(4x)\\sin(6x)] = 1\\]
\\[2\\sin(4x - 6x) = 1\\]
\\[2\\sin(-2x) = 1\\]
\\[\\sin(2x) = -\\dfrac{1}{2}\\]

\n

Krok 4. Rozwiązujemy równanie.
\\[2x = -\\dfrac{\\pi}{6} + 2k\\pi \\quad \\text{lub} \\quad 2x = \\pi + \\dfrac{\\pi}{6} + 2k\\pi\\]

\n

Równoważnie: \\(2x = \\dfrac{7\\pi}{6} + 2k\\pi\\) lub \\(2x = \\dfrac{11\\pi}{6} + 2k\\pi\\).

\n

Stąd:
\\[x = \\dfrac{7\\pi}{12} + k\\pi \\quad \\text{lub} \\quad x = \\dfrac{11\\pi}{12} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}\\]

\n
Sposób 2 (przez wzór na różnicę sinusów)
\n

Zauważamy, że \\(4x + 6x = 10x\\). Stosujemy: \\(2\\sin A \\cos B = \\sin(A+B) - \\sin(B-A)\\), więc:
\\[4\\sin(4x)\\cos(6x) = 2[\\sin(10x) - \\sin(2x)]\\]

\n

Równanie daje:
\\[2\\sin(10x) - 2\\sin(2x) = 2\\sin(10x) + 1 \\implies \\sin(2x) = -\\dfrac{1}{2}\\]

\n

Dalej jak w Sposobie 1.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Gdy widzimy \\(\\sin(kx)\\cos(mx)\\) i \\(\\sin((k+m)x)\\), od razu myśl o wzorze \\(2\\sin A \\cos B = \\sin(A+B) + \\sin(A-B)\\) - skraca się termin z najwyższą częstotliwością.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, przedział $[-4, \\infty)$ zawiera wszystkie rozwiązania nierówności.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

-2(x+3)≤(2-x)/(3).

\n

Mnożymy przez 3 :

\n

-6x-18≤2-x.

\n

-5x≤20,

\n

stąd

\n

x≥-4.

"}]}