Zadanie 7. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Jednym z rozwiązań równania √3(𝑥2 -2)(𝑥+ 3) = 0 jest liczba
A. 3
B. 2
C. √3
D. √2
MMAP-P0_100
Jednym z rozwiązań równania √3(x^2-2)(x+3)=0 jest liczba A. 3 B. 2 C. √3 D. √2
Zadanie 7. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
III.5) rozwiązuje równania wielomianowe
postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów
doprowadzonych do postaci iloczynowej
[…].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
D
D
Odpowiedź: D
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nZnajdź jedno rozwiązanie $\\sqrt{3}(x^2 - 2)(x+3) = 0$.
\nZauważ kluczowy fakt: iloczyn = 0 tylko wtedy, gdy któryś z czynników = 0.
\nCzynniki: $\\sqrt{3}$, $(x^2 - 2)$, $(x+3)$.
\n$\\sqrt{3} \\neq 0$ — to stała różna od zera, nie daje rozwiązań.
\nRozwiąż $x^2 - 2 = 0$:
\n$$x^2 = 2 \\implies x = \\sqrt{2} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{2}$$
\nRozwiąż $x + 3 = 0$:
\n$$x = -3$$
\nZbierz wszystkie rozwiązania. Równanie ma trzy rozwiązania:
\n$$x \\in \\left\\{ -3,\\ -\\sqrt{2},\\ \\sqrt{2} \\right\\}$$
\nSpośród podanych odpowiedzi A=3, B=2, C=$\\sqrt{3}$, D=$\\sqrt{2}$ — pasuje D.
\nPo co to umieć
\nReguła „iloczyn = 0 ⟺ któryś czynnik = 0" to fundament rozwiązywania równań iloczynowych i wielomianów. Działa tylko gdy mamy iloczyn — przy sumie czy różnicy nie wolno tej reguły stosować.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: rozwiązanie $x^2 = 2$ jako $x = 2$ (zamiast $x = \\pm\\sqrt{2}$). Pamiętaj o obu pierwiastkach kwadratowych z liczby dodatniej.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Wprowadzamy układ współrzędnych. Umieszczamy sześcian tak, że:
\n\\[A = (0,0,0),\\quad B = (6,0,0),\\quad C = (6,6,0),\\quad D = (0,6,0)\\]
\\[E = (0,0,6),\\quad F = (6,0,6),\\quad G = (6,6,6),\\quad H = (0,6,6)\\]
Wyznaczamy punkt $S$.
\nŚciana $ADHE$ leży w płaszczyźnie $x = 0$:
\n\\[A=(0,0,0),\\quad D=(0,6,0),\\quad H=(0,6,6),\\quad E=(0,0,6)\\]
\n$S$ to przecięcie przekątnych tej ściany - czyli jej środek geometryczny:
\n\\[S = \\frac{A+H}{2} = \\frac{(0,0,0)+(0,6,6)}{2} = (0,3,3)\\]
\nObliczamy boki trójkąta $SBH$.
\n\\[|SB| = \\sqrt{(6-0)^2+(0-3)^2+(0-3)^2} = \\sqrt{36+9+9} = \\sqrt{54} = 3\\sqrt{6}\\]
\n\\[|SH| = \\sqrt{(0-0)^2+(6-3)^2+(6-3)^2} = \\sqrt{0+9+9} = \\sqrt{18} = 3\\sqrt{2}\\]
\n\\[|BH| = \\sqrt{(0-6)^2+(6-0)^2+(6-0)^2} = \\sqrt{36+36+36} = \\sqrt{108} = 6\\sqrt{3}\\]
\nObliczamy pole trójkąta $SBH$ metodą iloczynu wektorowego.
\nWektory z punktu $B$:
\n\\[\\vec{BS} = S - B = (-6,\\, 3,\\, 3)\\]
\\[\\vec{BH} = H - B = (-6,\\, 6,\\, 6)\\]
Iloczyn wektorowy:
\n\\[\\vec{BS} \\times \\vec{BH} = \\begin{vmatrix} \\mathbf{i} & \\mathbf{j} & \\mathbf{k} \\\\ -6 & 3 & 3 \\\\ -6 & 6 & 6 \\end{vmatrix}\\]
\n\\[= \\mathbf{i}(3\\cdot6 - 3\\cdot6) - \\mathbf{j}((-6)\\cdot6 - 3\\cdot(-6)) + \\mathbf{k}((-6)\\cdot6 - 3\\cdot(-6))\\]
\n\\[= \\mathbf{i}(18-18) - \\mathbf{j}(-36+18) + \\mathbf{k}(-36+18) = (0,\\, 18,\\, -18)\\]
\nPole trójkąta:
\n\\[P_{SBH} = \\frac{1}{2}|\\vec{BS} \\times \\vec{BH}| = \\frac{1}{2}\\sqrt{0^2+18^2+(-18)^2} = \\frac{1}{2}\\sqrt{648} = \\frac{1}{2}\\cdot 18\\sqrt{2} = 9\\sqrt{2}\\]
\nWyznaczamy wysokość $h_S$ z punktu $S$ na bok $BH$:
\n\\[P_{SBH} = \\frac{1}{2}\\cdot|BH|\\cdot h_S \\quad\\Longrightarrow\\quad 9\\sqrt{2} = \\frac{1}{2}\\cdot 6\\sqrt{3}\\cdot h_S\\]
\n\\[h_S = \\frac{9\\sqrt{2}}{3\\sqrt{3}} = \\frac{3\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{3\\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{3}}{3} = \\boxed{\\sqrt{6}}\\]
\nSzukamy punktu $T$ na prostej $BH$ takiego, że $ST \\perp BH$, a potem liczymy $|ST|$.
\nParametryzacja prostej $BH$ (dla $t \\in \\mathbb{R}$):
\n\\[T = B + t\\cdot\\vec{BH} = (6,0,0) + t(-6,6,6) = (6-6t,\\; 6t,\\; 6t)\\]
\nWarunek prostopadłości $\\vec{ST} \\perp \\vec{BH}$:
\n\\[\\vec{ST} = T - S = (6-6t - 0,\\; 6t-3,\\; 6t-3)\\]
\n\\[\\vec{ST}\\cdot\\vec{BH} = (6-6t)(-6) + (6t-3)\\cdot6 + (6t-3)\\cdot6 = 0\\]
\n\\[-36 + 36t + 36t - 18 + 36t - 18 = 0\\]
\n\\[108t - 72 = 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad t = \\frac{2}{3}\\]
\nWspółrzędne stopy prostopadłej:
\n\\[T = \\left(6 - 6\\cdot\\tfrac{2}{3},\\; 6\\cdot\\tfrac{2}{3},\\; 6\\cdot\\tfrac{2}{3}\\right) = (2,\\; 4,\\; 4)\\]
\nSzukana wysokość:
\n\\[h_S = |ST| = \\sqrt{(2-0)^2+(4-3)^2+(4-3)^2} = \\sqrt{4+1+1} = \\boxed{\\sqrt{6}}\\]
\nDział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)
\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\\]
Użyliśmy do obliczenia $|SB|$, $|SH|$, $|BH|$.
Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - wzór na pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2}\\cdot a \\cdot h_a\\]
Użyliśmy odwróconego wzoru: znając pole i podstawę $|BH|$, wyznaczyliśmy wysokość $h_S$.
⚠️ Uwaga: $BH$ to przekątna przestrzenna sześcianu (łączy wierzchołki $B$ i $H$ po przekątnej całej bryły), a nie krawędź ani przekątna ściany. Jej długość to $6\\sqrt{3}$, nie $6\\sqrt{2}$.\n
⚠️ Uwaga: Punkt $S$ to środek ściany $ADHE$ (przecięcie przekątnych tej ściany kwadratowej), a nie środek całego sześcianu. Mylenie $S$ z centrum bryły $(\\frac{1}{2}\\text{-przekątna przestrzenna})$ da błędny wynik.\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu iloczynu wektorowego pamiętaj o znakach - wiersz $\\mathbf{j}$ wyznaczamy z odwróconym znakiem (z minusem przed minor).\n
Poprawna odpowiedź: \\(|SP| = \\sqrt{6}\\).
\nKrok 1. Wyznaczamy podstawowe długości.
\nW sześcianie o krawędzi \\(6\\):
\nKrok 2. Trójkąty \\(AHB\\) i \\(PHS\\) są podobne.
\nTrójkąt \\(AHB\\) jest prostokątny (kąt przy \\(A\\) jest prosty, bo \\(AB \\perp\\) ścianie \\(ADHE\\)).
\nTrójkąt \\(PHS\\) ma kąt prosty przy \\(P\\) (bo \\(SP\\) jest wysokością) oraz wspólny kąt \\(\\sphericalangle SHP = \\sphericalangle BHA\\). Więc z cechy kkk trójkąty \\(AHB \\sim PHS\\).
\nKrok 3. Układamy proporcję.
\\[\\dfrac{|SP|}{|AB|} = \\dfrac{|SH|}{|BH|}\\]
\\[\\dfrac{|SP|}{6} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{6\\sqrt{3}}\\]
\\[|SP| = 6 \\cdot \\dfrac{3\\sqrt{2}}{6\\sqrt{3}} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{6}\\]
Krok 1. \\(|HS| = 3\\sqrt{2}\\), \\(|AB| = 6\\), \\(|BH| = 6\\sqrt{3}\\). Pole \\(\\triangle HSB\\) obliczamy dwoma sposobami.
\nZauważamy, że \\(HS \\perp AB\\) (bo \\(HS\\) leży w ścianie \\(ADHE\\), a \\(AB\\) jest do niej prostopadłe), więc \\(\\triangle HSB\\) ma kąt prosty przy \\(S\\):
\\[P_{\\triangle HSB} = \\dfrac{1}{2} \\cdot |HS| \\cdot |AB| = \\dfrac{1}{2} \\cdot 3\\sqrt{2} \\cdot 6 = 9\\sqrt{2}\\]
Krok 2. Z drugiej strony \\(P_{\\triangle HSB} = \\dfrac{1}{2} \\cdot |BH| \\cdot |SP|\\):
\\[9\\sqrt{2} = \\dfrac{1}{2} \\cdot 6\\sqrt{3} \\cdot |SP|\\]
\\[|SP| = \\dfrac{9\\sqrt{2}}{3\\sqrt{3}} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{6}\\]
Trik: Aby znaleźć wysokość trójkąta, policz jego pole dwoma sposobami - raz z „naturalnymi" bokami/wysokością, drugi raz używając poszukiwanej wysokości. Ta technika działa niezależnie od orientacji.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, podstawiając $x=\\sqrt{2}$, otrzymujemy ${\\sqrt{3}(\\sqrt{2}^2 - 2)(\\sqrt{2}+ 3) = \\sqrt{3}(2 - 2)(\\sqrt{2} + 3) = 0}$, czyli równanie jest spełnione.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"Równanie
\n√(3)(x^2-2)(x+3)=0
\njest spełnione, gdy
\nx^2-2=0 lub x+3=0.
\nZatem x=±√(2) lub x=-3 . Wśród odpowiedzi znajduje się √(2) .
"}]}