Zadanie 8. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie
(𝑥+1)(𝑥-1)2
(𝑥-1)(𝑥+1)2 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych
A. nie ma rozwiązania.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: -1.
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: 1.
D. ma dokładnie dwa rozwiązania: -1 oraz 1.
Równanie (x+1)(x-1)^2/(x-1)(x+1)^2 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych A. nie ma rozwiązania. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: -1. C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: 1. D. ma dokładnie dwa rozwiązania: -1 oraz 1.
Zadanie 8. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
III.6) rozwiązuje równania wymierne postaci
𝑉(𝑥)
𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥)
są zapisane w postaci iloczynowej.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
A
A
Odpowiedź: A
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nTrzeba znaleźć liczbę rozwiązań równania:
\n$$\\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2} = 0$$
\nWyznacz dziedzinę. Mianownik musi być różny od zera:
\n$$(x-1)(x+1)^2 \\neq 0$$
\nTo znaczy $x \\neq 1$ oraz $x \\neq -1$.
\nDziedzina: $D = \\mathbb{R} \\setminus \\{-1, 1\\}$.
\nUłamek = 0 ⟺ licznik = 0 (przy zachowaniu dziedziny):
\n$$(x+1)(x-1)^2 = 0$$
\nCzyli $x = -1$ lub $x = 1$.
\nSprawdź dziedzinę. Oba potencjalne rozwiązania ($x = -1$ i $x = 1$) są wykluczone z dziedziny.
\nWniosek: równanie nie ma rozwiązań.
\nPo co to umieć
\nRównania wymierne wymagają dwóch kroków: (1) wyznaczenia dziedziny z mianownika ≠ 0, (2) sprawdzenia, że wyznaczone rozwiązania spełniają tę dziedzinę. Skrócenie ułamka „w głowie" może prowadzić do błędu, jeśli zapomnimy o pkt 1.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: skrócenie ułamka przed ustaleniem dziedziny i zapomnienie, że punkty wykluczone z dziedziny nie mogą być rozwiązaniem. Skrócenie do $\\frac{x-1}{x+1} = 0$ daje pozornie $x = 1$ — ale $x = 1$ jest poza dziedziną.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Przekątna $AC$ dzieli czworokąt na dwa trójkąty. Skupiam się na $\\triangle ABC$, gdzie znam:
\nStosuję twierdzenie sinusów w $\\triangle ABC$:
\\[\\frac{|AB|}{\\sin(\\angle ACB)} = \\frac{|BC|}{\\sin(\\angle BAC)}\\]
\\[\\frac{|AB|}{\\sin 60°} = \\frac{4}{\\dfrac{1}{4}} = 16\\]
\\[|AB| = 16 \\cdot \\sin 60° = 16 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{8\\sqrt{3}}\\]
Czworokąt opisany na okręgu (okrąg wpisany w czworokąt) spełnia własność:
\\[|AB| + |CD| = |BC| + |AD|\\]
Podstawiam znane wartości:
\\[8\\sqrt{3} + 5 = 4 + |AD|\\]
\\[|AD| = 8\\sqrt{3} + 1\\]
\\[P = |AB| + |BC| + |CD| + |AD|\\]
\\[P = 8\\sqrt{3} + 4 + 5 + (8\\sqrt{3} + 1) = \\mathbf{16\\sqrt{3} + 10}\\]
Sprawdzam wynik, wyznaczając $|AC|$ i weryfikując spójność.
\nWyznaczam $\\cos(\\angle BAC)$ (kąt ostry, $\\sin = \\frac{1}{4}$):
\\[\\cos(\\angle BAC) = \\sqrt{1 - \\frac{1}{16}} = \\frac{\\sqrt{15}}{4}\\]
Wyznaczam $\\sin(\\angle ABC)$:
\\[\\angle ABC = 180° - 60° - \\angle BAC\\]
\\[\\sin(\\angle ABC) = \\sin(120° - \\angle BAC) = \\sin 120° \\cdot \\cos(\\angle BAC) - \\cos 120° \\cdot \\sin(\\angle BAC)\\]
\\[= \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{15}}{4} + \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{4} = \\frac{\\sqrt{45} + 1}{8} = \\frac{3\\sqrt{5}+1}{8}\\]
Wyznaczam $|AC|$ (z twierdzenia sinusów):
\\[|AC| = 16 \\cdot \\frac{3\\sqrt{5}+1}{8} = 6\\sqrt{5} + 2\\]
Weryfikacja przez twierdzenie cosinusów ($|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2|AC||BC|\\cos 60°$):
\\[(8\\sqrt{3})^2 \\stackrel{?}{=} (6\\sqrt{5}+2)^2 + 16 - 4(6\\sqrt{5}+2)\\]
Liczę prawą stronę:
\\[(6\\sqrt{5}+2)^2 = 180 + 24\\sqrt{5} + 4 = 184 + 24\\sqrt{5}\\]
\\[(184 + 24\\sqrt{5}) + 16 - (24\\sqrt{5} + 8) = 192\\]
Lewa strona: $(8\\sqrt{3})^2 = 192$ ✓ - wynik spójny.
\nStąd obwód, korzystając ze skróconego wzoru dla czworokątu stycznego:
\\[P = 2(|AB| + |CD|) = 2(8\\sqrt{3} + 5) = \\mathbf{16\\sqrt{3} + 10}\\]
Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - twierdzenie sinusów:
\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma}\\]
Użyte w Kroku 1 do wyznaczenia $|AB|$ z $\\triangle ABC$, gdzie znaliśmy jeden bok i dwa kąty.
Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - własność okręgu wpisanego w czworokąt:
\\[a + c = b + d\\]
tj. sumy boków przeciwległych są równe. Użyte w Kroku 2 do wyznaczenia $|AD|$ bez obliczania $\\triangle ACD$.
Dział 9 (s. 13) - funkcje różnicy kątów:
\\[\\sin(\\alpha - \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta - \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]
Użyte w Sposobie 2 do obliczenia $\\sin(\\angle ABC) = \\sin(120° - \\angle BAC)$.
⚠️ Uwaga: „Opisany na okręgu" znaczy, że okrąg jest wpisany w czworokąt (dotyka czterech boków), a NIE że czworokąt leży na okręgu. Niewielu uczniów pamięta własność $AB + CD = BC + AD$ - to klucz do zadania!\n
⚠️ Uwaga: Kąt między przekątną $AC$ a bokiem $BC$ to kąt $\\angle ACB$ (przy wierzchołku $C$ w trójkącie $ABC$), a kąt między $AC$ a bokiem $AB$ to kąt $\\angle BAC$ (przy $A$). Łatwo je pomylić i wstawić odwrotnie do twierdzenia sinusów.\n
⚠️ Uwaga: Obwód czworokątu stycznego to $P = 2(AB + CD) = 2(BC + AD)$ - ta skrócona formuła bywa bardzo wygodna na egzaminie!\n
Poprawna odpowiedź: \\(\\text{Ob}_{ABCD} = 16\\sqrt{3} + 10\\).
\nKrok 1. Obliczamy \\(|AB|\\) z twierdzenia sinusów dla trójkąta \\(ABC\\).
\nNiech \\(\\alpha = \\sphericalangle BAC\\), gdzie \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{1}{4}\\). Kąt naprzeciwko \\(AB\\) to \\(\\sphericalangle BCA = 60^{\\circ}\\).
\\[\\dfrac{|AB|}{\\sin 60^{\\circ}} = \\dfrac{|BC|}{\\sin\\alpha}\\]
\\[\\dfrac{|AB|}{\\frac{\\sqrt{3}}{2}} = \\dfrac{4}{\\frac{1}{4}} = 16\\]
\\[|AB| = 16 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 8\\sqrt{3}\\]
Krok 2. Wykorzystujemy własność czworokąta opisanego na okręgu.
\nDla czworokąta opisanego na okręgu zachodzi:
\\[|AB| + |CD| = |BC| + |AD|\\]
\\[8\\sqrt{3} + 5 = 4 + |AD|\\]
\\[|AD| = 8\\sqrt{3} + 1\\]
Krok 3. Obliczamy obwód.
\\[\\text{Ob}_{ABCD} = |AB| + |BC| + |CD| + |DA| = 2(|AB| + |CD|) = 2(8\\sqrt{3} + 5) = 16\\sqrt{3} + 10\\]
Pole trójkąta \\(ABC\\) obliczone dwoma sposobami:
\\[P = \\dfrac{1}{2}|BC| \\cdot |AC| \\sin 60^{\\circ} = \\dfrac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot |AC| \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\]
\\[P = \\dfrac{1}{2}|AC| \\cdot |AB| \\sin\\alpha = \\dfrac{1}{2}|AC| \\cdot |AB| \\cdot \\dfrac{1}{4}\\]
Z równości: \\(|AB| = 8\\sqrt{3}\\). Dalej jak w Sposobie 1.
\nTrik: Dla czworokąta opisanego na okręgu suma boków przeciwległych jest równa: \\(|AB| + |CD| = |BC| + |AD|\\). Obwód to po prostu \\(2(|AB| + |CD|)\\) - nie trzeba liczyć \\(|AD|\\) osobno.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"Poprawnie, równanie nie ma rozwiązania, ponieważ liczby$-1$ i $1$ nie należą do dziedziny wyrażenia $\\displaystyle\\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}$.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"Dziedzina wyrażenia:
\nx≠ -1, x≠ 1.
\nRównanie ma postać
\n((x+1)(x-1)^2)/((x-1)(x+1)^2)=0.
\nDla x≠ -1 i x≠ 1 skracamy wspólne czynniki:
\n((x+1)(x-1)^2)/((x-1)(x+1)^2)
=(x-1)/(x+1).
Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru:
\nx-1=0,
\nczyli
\nx=1.
\nJednak x=1 nie należy do dziedziny. Równanie nie ma rozwiązania.
"}]}