Zadanie 9. (0-3)
Rozwiąż równanie
𝟑𝒙𝟑-𝟐𝒙𝟐-𝟏𝟐𝒙+ 𝟖= 𝟎
Zapisz obliczenia.
9.
0-1-
2-3
MMAP-P0_100
\nMMAP-P0_100
Rozwiąż równanie 3x^3-2x^2-12x+8=0.
Zadanie 9. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
III.5) rozwiązuje równania wielomianowe
postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […]
takich, które dają się doprowadzić do
postaci iloczynowej […] metodą
grupowania.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:
(-2), 2
3 , 2
ALBO
3 , 2, oraz stwierdzenie, że są
to jedyne rozwiązania równania.
2 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co
najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego rozkładu,
np. (3𝑥-2)(𝑥2 -4) = 0 i 𝑥= 2
3 ,
(3𝑥-2)(𝑥2 -4) = 0 i 𝑥= -2 oraz 𝑥= 2
ALBO
wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.
𝑥= 2 i (3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8): (𝑥-2) = 3𝑥2 + 4𝑥-4,
Zasady oceniania rozwiązań zadań
ALBO
𝑊(𝑥) = (3𝑥-2)(𝑥-2)(𝑥+ 2),
ALBO
i rozwiązanie jednego z nich, np.
(3𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 -4 = 0) i 𝑥= 2 oraz 𝑥= -2.
1 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co
najwyżej drugiego, np. (3𝑥-2)(𝑥2 -4) = 0
ALBO
rozwiązanie nie zostało otrzymane w wyniku zastosowania błędnej metody),
ALBO
np. 3𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 -4 = 0.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału/ sumy przedziałów), to otrzymuje
2 punkty za całe rozwiązanie.
czynnik (3𝑥-2) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 = 0
𝑥2(3𝑥-2) -4(3𝑥-2) = 0
(3𝑥-2)(𝑥2 -4) = 0
(3𝑥-2)(𝑥-2)(𝑥+ 2) = 0
3𝑥-2 = 0 lub 𝑥-2 = 0 lub 𝑥+ 2 = 0
𝑥= 2
3 lub 𝑥= 2 lub 𝑥= -2
Rozwiązaniami równania są liczby: (-2), 2
3 , 2.
Sposób II
Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 = 0
3𝑥(𝑥2 -4) -2(𝑥2 -4) = 0
(3𝑥-2)(𝑥2 -4) = 0
(3𝑥-2)(𝑥-2)(𝑥+ 2) = 0
3𝑥-2 = 0 lub 𝑥-2 = 0 lub 𝑥+ 2 = 0
𝑥= 2
3 lub 𝑥= 2 lub 𝑥= -2
Rozwiązaniami równania są liczby: (-2), 2
3 , 2.
Sposób III
Obliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8.
Zatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian 𝑥-2. Dzielimy wielomian 𝑊 przez
dwumian 𝑥-2 i otrzymujemy
(3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8): (𝑥-2) = 3𝑥2 + 4𝑥-4
Zatem 𝑊(𝑥) = (𝑥-2)(3𝑥2 + 4𝑥-4).
Obliczamy pierwiastki trójmianu 3𝑥2 + 4𝑥-4:
Δ = 42 -4 ⋅3 ⋅(-4) = 64
𝑥= -4 -8
2 ⋅3
= -2 oraz 𝑥= -4 + 8
2 ⋅3
= 2
3
Rozwiązaniami równania są liczby: (-2), 2
3 , 2.
Sposób IV
Obliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8.
Obliczamy 𝑊(-2) = 0 i stwierdzamy, że liczba (-2) jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8.
Obliczamy 𝑊(2
3 jest pierwiastkiem wielomianu
𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8.
Ponieważ 𝑊 jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki
rzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 = 0
są liczby: (-2), 2
3 , 2.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Odpowiedź: $x = \\frac{2}{3}$, $x = 2$, $x = -2$
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nRozwiąż $3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0$.
\nPogrupuj wyrazy po dwa. Spójrz na strukturę współczynników:
\n$$3x^3 - 2x^2 \\mid -12x + 8$$
\nWyciągnij wspólny czynnik z każdej grupy:
\n$$x^2(3x - 2) - 4(3x - 2)$$
\nZauważ wspólny nawias $(3x - 2)$ i wyłącz go:
\n$$(3x - 2)(x^2 - 4) = 0$$
\nRozłóż $x^2 - 4$ jako różnicę kwadratów:
\n$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$
\nCałość:
\n$$(3x - 2)(x - 2)(x + 2) = 0$$
\nIloczyn = 0 ⟺ któryś czynnik = 0:
\nPo co to umieć
\nGrupowanie wyrazów to najszybsza metoda rozkładu wielomianów stopnia 3-4, w których współczynniki układają się parami w proporcję. Schemat: $ax^3 + bx^2 + cx + d$ z $\\frac{a}{b} = \\frac{c}{d}$.
\nDrugi sposób — znaleźć wymierny pierwiastek przez wzór Bezouta: jeśli wielomian ma pierwiastek wymierny $\\frac{p}{q}$ (po skróceniu), to $p$ dzieli wyraz wolny ($8$), a $q$ dzieli najwyższy współczynnik ($3$). Kandydaci: $\\pm 1, \\pm 2, \\pm 4, \\pm 8, \\pm\\frac{1}{3}, \\pm\\frac{2}{3}, \\pm\\frac{4}{3}, \\pm\\frac{8}{3}$.
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: próba zgadnięcia pierwiastka i podzielenia wielomianu przez $(x - p)$ — to działa, ale jest długie. Szybciej: grupowanie wyrazów po dwa. $3x^3 - 2x^2$ + $-12x + 8 = x^2(3x-2) - 4(3x-2) = (3x-2)(x^2-4)$.
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"\\[x \\in \\left(-\\frac{11}{3},\\ \\frac{14}{3}\\right)\\]
\nKrok 1: Rozpoznaj pełne kwadraty pod pierwiastkami.
\n\\[x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2, \\qquad x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\\]
\nKorzystamy ze wskazówki: \\(\\sqrt{a^2} = |a|\\):
\n\\[\\sqrt{(x+2)^2} = |x+2|, \\qquad \\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|\\]
\nKrok 2: Przepisz nierówność.
\n\\[|x+2| < \\frac{25}{3} - |x-3|\\]
\nPrzenosimy \\(|x-3|\\) na lewą stronę:
\n\\[|x+2| + |x-3| < \\frac{25}{3}\\]
\nKrok 3: Interpretacja geometryczna.
\nWyrażenie \\(|x+2| + |x-3|\\) to suma odległości punktu \\(x\\) od punktów \\(-2\\) i \\(3\\) na osi liczbowej.
\nSzukamy, kiedy ta suma jest mniejsza niż \\(\\frac{25}{3}\\).
\nWyznaczamy trzy przedziały według znaków wyrażeń w wartościach bezwzględnych:
\n| Przedział | \\(|x+2|\\) | \\(|x-3|\\) | Suma |
| \\(x < -2\\) | \\(-(x+2)\\) | \\(-(x-3)\\) | \\(-2x+1\\) |
| \\(-2 \\leq x \\leq 3\\) | \\(x+2\\) | \\(-(x-3)\\) | \\(5\\) |
| \\(x > 3\\) | \\(x+2\\) | \\(x-3\\) | \\(2x-1\\) |
Krok 4: Rozwiąż w każdym przedziale.
\nPrzedział \\(x \\in \\langle -2, 3 \\rangle\\):
\n\\[5 < \\frac{25}{3} \\quad \\iff \\quad \\frac{15}{3} < \\frac{25}{3} \\quad \\checkmark\\]
\nWarunek spełniony dla wszystkich \\(x \\in \\langle -2, 3 \\rangle\\).
\nPrzedział \\(x > 3\\):
\n\\[2x - 1 < \\frac{25}{3}\\]
\\[2x < \\frac{25}{3} + 1 = \\frac{28}{3}\\]
\\[x < \\frac{14}{3}\\]
Łącząc z \\(x > 3\\): \\(\\quad x \\in \\left(3,\\ \\frac{14}{3}\\right)\\)
\nPrzedział \\(x < -2\\):
\n\\[-2x + 1 < \\frac{25}{3}\\]
\\[-2x < \\frac{25}{3} - 1 = \\frac{22}{3}\\]
\\[x > -\\frac{11}{3}\\]
Łącząc z \\(x < -2\\): \\(\\quad x \\in \\left(-\\frac{11}{3},\\ -2\\right)\\)
\nKrok 5: Połącz wszystkie przypadki.
\n\\[\\left(-\\frac{11}{3},\\ -2\\right) \\cup \\langle -2,\\ 3 \\rangle \\cup \\left(3,\\ \\frac{14}{3}\\right) = \\left(-\\frac{11}{3},\\ \\frac{14}{3}\\right)\\]
\nOdpowiedź:
\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\frac{11}{3},\\ \\frac{14}{3}\\right)}\\]
\nUpewnijmy się, że wartości graniczne \\(x = -\\frac{11}{3}\\) i \\(x = \\frac{14}{3}\\) nie należą do rozwiązania (nierówność ostra).
\nSprawdzamy \\(x = \\frac{14}{3}\\):
\n\\[|x+2| + |x-3| = \\left|\\frac{14}{3}+2\\right| + \\left|\\frac{14}{3}-3\\right| = \\frac{20}{3} + \\frac{5}{3} = \\frac{25}{3}\\]
\nMamy \\(\\frac{25}{3} < \\frac{25}{3}\\) - fałsz, więc punkt graniczny słusznie nie należy do rozwiązania.
\nSprawdzamy punkt wewnątrz, np. \\(x = 0\\):
\n\\[|0+2| + |0-3| = 2 + 3 = 5 < \\frac{25}{3} \\approx 8{,}33 \\quad \\checkmark\\]
\nSprawdzamy punkt na zewnątrz, np. \\(x = 5\\):
\n\\[|5+2| + |5-3| = 7 + 2 = 9 > \\frac{25}{3} \\approx 8{,}33\\]
\nWarunek nie jest spełniony - poprawnie wypadł za przedziałem.
\nPotwierdzamy: rozwiązanie to \\(x \\in \\left(-\\frac{11}{3},\\ \\frac{14}{3}\\right)\\).
\nDział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) - definicja:
\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]
Użyliśmy wprost do rozbicia \\(|x+2|\\) i \\(|x-3|\\) na trzy przypadki.
Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - kluczowy wzór:
\\[\\sqrt{a^2} = |a|\\]
To jest serce całego rozwiązania - bez tego wzoru nie da się uprościć wyrażeń podpierwiastkowych.
⚠️ Uwaga: Bardzo częsty błąd to napisanie \\(\\sqrt{(x+2)^2} = x+2\\) zamiast \\(|x+2|\\). To prawda tylko dla \\(x \\geq -2\\) - dla \\(x < -2\\) wynik jest \\(-(x+2)\\), bo pierwiastek jest zawsze nieujemny!\n
⚠️ Uwaga: Przenosząc \\(|x-3|\\) na lewą stronę, trzeba pamiętać, że prawa strona musi być dodatnia, żeby nierówność mogła być spełniona (bo lewa strona \\(\\geq 0\\)). Na szczęście wynik \\(|x+2| + |x-3| < \\frac{25}{3}\\) automatycznie to gwarantuje.\n
⚠️ Uwaga: Nierówność jest ostra (\\(<\\)), więc końce przedziału - \\(-\\frac{11}{3}\\) i \\(\\frac{14}{3}\\) - nie należą do rozwiązania. Nawiasy okrągłe, nie kwadratowe!\n
Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left(-\\dfrac{11}{3}, \\dfrac{14}{3}\\right)\\).
\nKrok 1. Sprowadzamy do wartości bezwzględnej.
\n\\(\\sqrt{x^{2} + 4x + 4} = \\sqrt{(x+2)^{2}} = |x + 2|\\), \\(\\sqrt{x^{2} - 6x + 9} = \\sqrt{(x-3)^{2}} = |x - 3|\\).
\nNierówność przyjmuje postać:
\\[|x + 2| < \\dfrac{25}{3} - |x - 3|\\]
Krok 2. Rozważamy trzy przypadki.
\nPrzypadek 1. \\(x \\in (-\\infty, -2)\\): \\(|x+2| = -x-2\\), \\(|x-3| = -(x-3) = -x+3\\).
\\[-x - 2 < \\dfrac{25}{3} - (-x + 3) = \\dfrac{25}{3} + x - 3 = x + \\dfrac{16}{3}\\]
\\[-2x < \\dfrac{16}{3} + 2 = \\dfrac{22}{3} \\implies x > -\\dfrac{11}{3}\\]
Stąd: \\(x \\in \\left(-\\tfrac{11}{3}, -2\\right)\\).
Przypadek 2. \\(x \\in [-2, 3)\\): \\(|x+2| = x+2\\), \\(|x-3| = -x+3\\).
\\[x + 2 < \\dfrac{25}{3} - (-x+3) = x + \\dfrac{16}{3}\\]
\\[2 < \\dfrac{16}{3}\\] - prawda zawsze. Stąd: \\(x \\in [-2, 3)\\).
Przypadek 3. \\(x \\in [3, +\\infty)\\): \\(|x+2| = x+2\\), \\(|x-3| = x-3\\).
\\[x + 2 < \\dfrac{25}{3} - (x - 3) = -x + \\dfrac{34}{3}\\]
\\[2x < \\dfrac{34}{3} - 2 = \\dfrac{28}{3} \\implies x < \\dfrac{14}{3}\\]
Stąd: \\(x \\in \\left[3, \\tfrac{14}{3}\\right)\\).
Krok 3. Łączymy przedziały.
\\[\\left(-\\tfrac{11}{3}, -2\\right) \\cup [-2, 3) \\cup \\left[3, \\tfrac{14}{3}\\right) = \\left(-\\dfrac{11}{3}, \\dfrac{14}{3}\\right)\\]
Równoważność: \\(|x| < a \\iff x < a\\) i \\(x > -a\\) (dla \\(a > 0\\)).
\nStosujemy dwukrotnie do \\(|x+2| < \\tfrac{25}{3} - |x-3|\\):
\\[x + 2 < \\dfrac{25}{3} - |x-3| \\quad \\text{i} \\quad x + 2 > -\\left(\\dfrac{25}{3} - |x-3|\\right)\\]
\\[|x-3| < \\dfrac{19}{3} - x \\quad \\text{i} \\quad |x-3| < x + \\dfrac{31}{3}\\]
Rozwiązując (każda nierówność daje koniunkcję dwóch), otrzymujemy:
\\[2x < \\dfrac{28}{3} \\text{ i } -3 > -\\dfrac{19}{3} \\text{ i } -3 < \\dfrac{31}{3} \\text{ i } 2x > -\\dfrac{22}{3}\\]
\\[x < \\dfrac{14}{3} \\text{ i } x > -\\dfrac{11}{3}\\]
Stąd \\(x \\in \\left(-\\tfrac{11}{3}, \\tfrac{14}{3}\\right)\\).
\nTrik: Kluczowe to zauważyć \\(\\sqrt{(x+2)^{2}} = |x+2|\\) (a nie \\(x+2\\)!). Dalej klasyczne trzy przypadki punktów przełomu \\(-2\\) i \\(3\\).
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"3x^3-2x^2-12x+8=0.
\nGrupujemy wyrazy:
\nx^2(3x-2)-4(3x-2)=0,
\n(3x-2)(x^2-4)=0,
\n(3x-2)(x-2)(x+2)=0.
\nStąd
\nx=(2)/(3), x=2, x=-2.
"}]}