{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nW chwili początkowej (𝑡= 0) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu\ncząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa\n19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej 𝑡≥0\nfunkcja 𝑚(𝑡) określa masę substancji w gramach po 𝑡 pełnych dobach (czas liczymy od\nchwili początkowej).\nWyznacz wzór funkcji 𝒎(𝒕). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie\npo raz pierwszy mniejsza od 𝟏, 𝟓 grama.\nZapisz obliczenia.\n1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\nW chwili początkowej (t=0) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej t≥0 funkcja m(t) określa masę substancji w gramach po t pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji m(t). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.13) posługuje się funkcjami wykładniczą\ni logarytmiczną, w tym ich wykresami, do\nopisu i interpretacji zagadnień związanych\nz zastosowaniami praktycznymi.\nZasady oceniania\n2 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑚: 𝑚(𝑡) = 4 ⋅0,81𝑡 oraz obliczenie liczby pełnych dni/dób,\npo których masa substancji będzie mniejsza od 1,5 grama: 5 dób.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑚: 𝑚(𝑡) = 4 ⋅0,81𝑡\nALBO\n- obliczenie liczby dób, po których masa substancji będzie mniejsza od 1,5 grama:\n5 dób.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest ustalenie niepoprawnego wzoru funkcji w postaci\n𝑚(𝑡) = 4 ⋅0,81𝑡-1 i zdający konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza liczbę dób, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy:\n𝑡 - czas (w dobach), licząc od chwili początkowej,\n𝑚(𝑡) - masa substancji po 𝑡 dobach, licząc od chwili początkowej.\nLiczby 𝑚(0), 𝑚(1), 𝑚(2) itd. są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego\no ilorazie 0,81. Zatem\n1Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. poz. 1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑚(𝑡) = 4 ⋅0,81𝑡\ngdzie 𝑡 jest liczbą całkowitą nieujemną. Ten ciąg geometryczny jest malejący. Ponadto\n𝑚(4) = 4 ∙ 0,814 ≈1,72 > 1,5\n𝑚(5) = 4 ∙ 0,815 ≈1,39 < 1,5\nwięc masa substancji będzie mniejsza od 1,5 g po pięciu dobach.","solution":"Odpowiedź: **Wzór:** $m(t) = 4 \\cdot 0{,}81^t$ **Po $5$ pełnych dobach** masa po raz pierwszy < $1{,}5$ g. Sprawdzenie: $m(4) \\approx 1{,}72$, $m(5) \\approx 1{,}40$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz funkcję $m(t)$ opisującą masę substancji po $t$ dobach. Następnie znajdź najmniejsze $t \\in \\mathbb{N}$, dla którego $m(t) < 1{,}5$.\n\nModeluj rozpad jako ciąg geometryczny. Po każdej dobie zostaje $100\\% - 19\\% = 81\\%$ poprzedniej masy:\n\n$$m_{t+1} = 0{,}81 \\cdot m_t$$\n\nStąd:\n\n$$m(t) = 4 \\cdot 0{,}81^t$$\n\nUłóż nierówność $m(t) < 1{,}5$:\n\n$$4 \\cdot 0{,}81^t < 1{,}5$$\n\n$$0{,}81^t < 0{,}375$$\n\nSprawdź kolejne wartości $t$ (szybszy niż logarytm):\n\n$t$ | $0{,}81^t$ | $m(t)$\n1 | $0{,}81$ | $3{,}24$\n2 | $0{,}656$ | $2{,}625$\n3 | $0{,}531$ | $2{,}126$\n4 | $0{,}430$ | $1{,}722$\n5 | $0{,}349$ | $\\mathbf{1{,}395}$ ✓\n\nPierwsze $t$ z $m(t) < 1{,}5$: $t = 5$.\n\nAlternatywnie — logarytmy:\n\n$$t \\cdot \\log 0{,}81 < \\log 0{,}375$$\n\n$\\log 0{,}81 < 0$, więc znak nierówności odwraca się:\n\n$$t > \\frac{\\log 0{,}375}{\\log 0{,}81} = \\frac{-0{,}4260}{-0{,}0915} \\approx 4{,}66$$\n\nNajmniejsze całkowite $t$ to $5$.\n\nPo co to umieć\n\nRozpad procentowy o $p\\%$ na okres = ciąg geometryczny z $q = 1 - p/100$. Wzór ogólny: $m(t) = m_0 \\cdot q^t$.\n\nDla obliczeń wystarczy próbkować kolejne $t$ — często szybsze niż logarytmy. Logarytmy są pewniejsze dla dużych wartości.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: $m(t) = 4 \\cdot 0{,}19^t$ — ubywa $19\\%$, więc **zostaje $81\\%$**. Drugi błąd: nierówność $0{,}81^t < 0{,}375$ rozwiązana ze złym znakiem (przy logarytmowaniu liczb < 1 znak nierówności **się odwraca**).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"ciąg geometryczny, rozpad procentowy, logarytmy, wykladnicza","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (0-2)
W chwili początkowej (𝑡= 0) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu
cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa
19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej 𝑡≥0
funkcja 𝑚(𝑡) określa masę substancji w gramach po 𝑡 pełnych dobach (czas liczymy od
chwili początkowej).
Wyznacz wzór funkcji 𝒎(𝒕). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie
po raz pierwszy mniejsza od 𝟏, 𝟓 grama.
Zapisz obliczenia.
1.
0-1-2

\n

MMAP-R0_100
W chwili początkowej (t=0) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej t≥0 funkcja m(t) określa masę substancji w gramach po t pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji m(t). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama.

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 20241
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.

\n
  1. Interpretowanie i operowanie
\n

informacjami przedstawionymi w tekście,
zarówno matematycznym, jak
i popularnonaukowym, a także w formie
wykresów, diagramów, tabel.
Zdający:
V.13) posługuje się funkcjami wykładniczą
i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do
opisu i interpretacji zagadnień związanych
z zastosowaniami praktycznymi.
Zasady oceniania
2 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑚: 𝑚(𝑡) = 4 ⋅0,81𝑡 oraz obliczenie liczby pełnych dni/dób,
po których masa substancji będzie mniejsza od 1,5 grama: 5 dób.
1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑚: 𝑚(𝑡) = 4 ⋅0,81𝑡
ALBO

\n\n

5 dób.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli jedynym błędem zdającego jest ustalenie niepoprawnego wzoru funkcji w postaci
𝑚(𝑡) = 4 ⋅0,81𝑡-1 i zdający konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza liczbę dób, to
otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Oznaczmy:
𝑡 - czas (w dobach), licząc od chwili początkowej,
𝑚(𝑡) - masa substancji po 𝑡 dobach, licząc od chwili początkowej.
Liczby 𝑚(0), 𝑚(1), 𝑚(2) itd. są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego
o ilorazie 0,81. Zatem
1Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla
egzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. poz. 1246).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑚(𝑡) = 4 ⋅0,81𝑡
gdzie 𝑡 jest liczbą całkowitą nieujemną. Ten ciąg geometryczny jest malejący. Ponadto
𝑚(4) = 4 ∙ 0,814 ≈1,72 > 1,5
𝑚(5) = 4 ∙ 0,815 ≈1,39 < 1,5
więc masa substancji będzie mniejsza od 1,5 g po pięciu dobach.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: Wzór: $m(t) = 4 \\cdot 0{,}81^t$ Po $5$ pełnych dobach masa po raz pierwszy < $1{,}5$ g. Sprawdzenie: $m(4) \\approx 1{,}72$, $m(5) \\approx 1{,}40$.

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

Wyznacz funkcję $m(t)$ opisującą masę substancji po $t$ dobach. Następnie znajdź najmniejsze $t \\in \\mathbb{N}$, dla którego $m(t) < 1{,}5$.

\n

Modeluj rozpad jako ciąg geometryczny. Po każdej dobie zostaje $100\\% - 19\\% = 81\\%$ poprzedniej masy:

\n

$$m_{t+1} = 0{,}81 \\cdot m_t$$

\n

Stąd:

\n

$$m(t) = 4 \\cdot 0{,}81^t$$

\n

Ułóż nierówność $m(t) < 1{,}5$:

\n

$$4 \\cdot 0{,}81^t < 1{,}5$$

\n

$$0{,}81^t < 0{,}375$$

\n

Sprawdź kolejne wartości $t$ (szybszy niż logarytm):

\n

$t$ | $0{,}81^t$ | $m(t)$
1 | $0{,}81$ | $3{,}24$
2 | $0{,}656$ | $2{,}625$
3 | $0{,}531$ | $2{,}126$
4 | $0{,}430$ | $1{,}722$
5 | $0{,}349$ | $\\mathbf{1{,}395}$ ✓

\n

Pierwsze $t$ z $m(t) < 1{,}5$: $t = 5$.

\n

Alternatywnie — logarytmy:

\n

$$t \\cdot \\log 0{,}81 < \\log 0{,}375$$

\n

$\\log 0{,}81 < 0$, więc znak nierówności odwraca się:

\n

$$t > \\frac{\\log 0{,}375}{\\log 0{,}81} = \\frac{-0{,}4260}{-0{,}0915} \\approx 4{,}66$$

\n

Najmniejsze całkowite $t$ to $5$.

\n

Po co to umieć

\n

Rozpad procentowy o $p\\%$ na okres = ciąg geometryczny z $q = 1 - p/100$. Wzór ogólny: $m(t) = m_0 \\cdot q^t$.

\n

Dla obliczeń wystarczy próbkować kolejne $t$ — często szybsze niż logarytmy. Logarytmy są pewniejsze dla dużych wartości.

\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: $m(t) = 4 \\cdot 0{,}19^t$ — ubywa $19\\%$, więc zostaje $81\\%$. Drugi błąd: nierówność $0{,}81^t < 0{,}375$ rozwiązana ze złym znakiem (przy logarytmowaniu liczb < 1 znak nierówności się odwraca).

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Granica jest równa \\(1\\).

\n

Sposób 1 - Faktoryzacja licznika (wzór skróconego mnożenia)

\n

Bezpośrednie podstawienie \\(x = 1\\) daje \\(\\frac{0}{0}\\) - mamy nieoznaczoność, którą trzeba usunąć.

\n

Zauważamy, że licznik \\(x^3 - 1\\) to różnica sześcianów. Korzystamy ze wzoru:
\\[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\\]
dla \\(a = x\\), \\(b = 1\\):
\\[x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\\]

\n

Podstawiamy do granicy:
\\[\\lim_{x \\to 1} \\frac{x^3 - 1}{(x-1)(x+2)} = \\lim_{x \\to 1} \\frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x-1)(x+2)}\\]

\n

Skracamy czynnik \\((x-1)\\) - jest on różny od zera, bo \\(x \\to 1\\), ale \\(x \\neq 1\\):
\\[= \\lim_{x \\to 1} \\frac{x^2 + x + 1}{x + 2}\\]

\n

Teraz możemy już spokojnie podstawić \\(x = 1\\):
\\[= \\frac{1^2 + 1 + 1}{1 + 2} = \\frac{3}{3} = \\boxed{1}\\]

\n

Sposób 2 - Wyłączenie \\((x-1)\\) przez podzielenie wielomianu

\n

Alternatywnie można podzielić \\(x^3 - 1\\) przez \\((x - 1)\\) algorytmem Hornera lub dzieleniem pisemnym.

\n

Szukamy \\(x^3 - 1 \\div (x - 1)\\):

\n

| | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(0\\) | \\(-1\\) |
| \\(x=1\\) | \\(\\downarrow\\) | \\(1\\) | \\(1\\) | \\(1\\) |
| | \\(1\\) | \\(1\\) | \\(1\\) | \\(0\\) |

\n

Wynik: \\(x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)\\) - identyczny jak w Sposobie 1.

\n

Dalej:
\\[\\lim_{x \\to 1} \\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+2)} = \\lim_{x \\to 1} \\frac{x^2+x+1}{x+2} = \\frac{3}{3} = 1\\]

\n

Weryfikacja: Podstawmy \\(x = 0{,}999\\):
\\[\\frac{0{,}999^2 + 0{,}999 + 1}{0{,}999 + 2} = \\frac{2{,}997001}{2{,}999} \\approx 0{,}9993 \\approx 1 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór na różnicę sześcianów:
\\[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\\]
Użyliśmy go do rozłożenia \\(x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)\\) i skrócenia nieoznaczoności \\(\\frac{0}{0}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Podstawienie \\(x=1\\) bez faktoryzacji - otrzymujemy \\(\\frac{0}{0}\\) i błędny wniosek, że granica nie istnieje lub wynosi \\(0\\) |
| B | Skrócenie tylko \\((x-1)\\) z mianownika, zapomnienie że licznik też zawiera ten czynnik - np. błędne \\(\\frac{1}{1 \\cdot 3} = \\frac{1}{3}\\) |
| C | Błąd w faktoryzacji: użycie \\((x+1)(x^2-x+1)\\) zamiast \\((x-1)(x^2+x+1)\\) - czyli wzoru dla sumy, nie różnicy sześcianów |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nieoznaczoność \\(\\frac{0}{0}\\) to sygnał, że trzeba faktoryzować - nigdy nie oznacza, że granica wynosi \\(0\\) lub nie istnieje!
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić wzory \\(a^3 - b^3\\) i \\(a^3 + b^3\\) - różnią się znakiem środkowego składnika w nawiasie: \\((a^2 \\mathbf{+} ab + b^2)\\) vs \\((a^2 \\mathbf{-} ab + b^2)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Skracanie \\((x-1)\\) jest legalne tylko dlatego, że liczymy granicę (gdzie \\(x \\neq 1\\), tylko \\(x \\to 1\\)). Gdyby to było równanie, musielibyśmy pamiętać o założeniu \\(x \\neq 1\\).
\n
Analiza zadania
\n

Mamy obliczyć granicę \\(\\lim\\limits_{x \\to 1} \\dfrac{x^{3}-1}{(x-1)(x+2)}\\). Bezpośrednie podstawienie \\(x=1\\) daje symbol nieoznaczony \\(\\dfrac{0}{0}\\), więc musimy uprościć wyrażenie.

\n
Sposób 1 - rozkład na czynniki
\n

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (karta wzorów, dział II): \\(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\\).

\n

Stąd \\(x^{3}-1 = (x-1)(x^{2}+x+1)\\).

\n

Podstawiamy:
\\[\\lim\\limits_{x \\to 1} \\dfrac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x+2)} = \\lim\\limits_{x \\to 1} \\dfrac{x^{2}+x+1}{x+2}\\]

\n

Teraz bezpośrednio podstawiamy \\(x=1\\):
\\[\\dfrac{1+1+1}{1+2} = \\dfrac{3}{3} = 1\\]

\n

Odpowiedź: D

\n
Sposób 2 - reguła de l'Hospitala
\n

Ponieważ mamy symbol \\(\\dfrac{0}{0}\\), możemy zastosować regułę de l'Hospitala (licznik i mianownik różniczkujemy):
\\[\\lim\\limits_{x \\to 1} \\dfrac{(x^{3}-1)'}{((x-1)(x+2))'} = \\lim\\limits_{x \\to 1} \\dfrac{3x^{2}}{2x+1} = \\dfrac{3}{3}=1\\]

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Za każdym razem, gdy granica daje \\(\\dfrac{0}{0}\\), warto zastosować rozkład \\(a^{n}-b^{n}\\) na czynniki - unika się wtedy pochodnej i ryzyka błędu.

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Rozwinięcie i podstawienie
\n
  1. Rozwinięcie wyrażenia: Rozwiń wyrażenie (x-1)(x+2):
\n

\\[(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2\\]

\n
  1. Podstawienie x=1: Podstaw x=1 do rozwiniętego wyrażenia:
\n

\\[(1)^2 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0\\]

\n

📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 13

\n
Sposób 2: Użycie definicji granicy
\n
  1. Definicja granicy: Granica lim jest równa x\\to 1 (x-1)(x+2) oznacza, że chcemy zbliżać się do wartości x=1.
\n
  1. Obliczenie dla x=1: Podstawiamy x=1 do wyrażenia (x-1)(x+2):
\n

\\[(1-1)(1+2) = (0)(3) = 0\\]

\n

📖 Karta wzorów: log(xy)=logx+logy, strona 13 (choć w tym przypadku nie używamy bezpośrednio logarytmu, to ilustruje zasadę obliczania granic)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$m(t) = 4 \\\\cdot 0,81^t$, $5$ dób

"}]}