{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nOkreślamy kwadraty 𝐾1 , 𝐾2 , 𝐾3 , … następująco:\n𝐾1 jest kwadratem o boku długości 𝑎\n𝐾2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu 𝐾1 i dzieli\nten bok w stosunku 1 ∶3\n𝐾3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu 𝐾2 i dzieli\nten bok w stosunku 1 ∶3\ni ogólnie, dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥2,\n𝐾𝑛 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu 𝐾𝑛-1\ni dzieli ten bok w stosunku 1 ∶3.\nObwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg\ngeometryczny.\nNa rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.\nOblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.\n10.\n0-1-\n2-3-4\n𝑎\n𝑎\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nOkreślamy kwadraty K_1, K_2, K_3, … następująco: • K_1 jest kwadratem o boku długości a • K_2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3 • K_3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_2 i dzieli ten bok w stosunku 1:3 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n≥2, • K_n jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_{n-1} i dzieli ten bok w stosunku 1:3. Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej. [rysunek] Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi\ngeometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐿=\n4𝑎\n1-\n√10\n4\n(lub 𝐿= 8⋅(4+√10)𝑎\n3\n).\n3 pkt - zapisanie: 𝐿= 4𝑎(1 +\n√10\n4 + 5\n8 + … ).\n2 pkt - obliczenie ilorazu ciągu: 𝑞=\n√10\n4 .\n1 pkt - obliczenie długości boku drugiego kwadratu: 𝑎2 =\n√10\n4 𝑎.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający obliczy tylko sumę długości boków (po jednym z każdego kwadratu), to\nmoże otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający błędnie ustala stosunek podziału długości boku kwadratu i rozwiązuje\nzadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie (za obliczenie ilorazu 𝑞 ciągu, o ile 𝑞∈(0, 1), oraz za konsekwentne\nobliczenie sumy obwodów wszystkich kwadratów).\n3. Jeżeli zdający przyjmuje do obliczeń konkretną długość boku kwadratu 𝐾1 i rozwiązuje\nzadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i otrzyma iloraz 𝑞 ciągu, który jest liczbą spoza\nprzedziału (0, 1), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za\npoprawne obliczenie 𝑎2).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy przez 𝑎𝑖 długość boku kwadratu 𝐾𝑖 , natomiast przez 𝐿𝑖 - obwód kwadratu 𝐾𝑖\n(dla 𝑖= 1, 2, 3, …). Niech 𝐿 oznacza sumę obwodów wszystkich rozważanych kwadratów.\nObliczamy długości boków kolejnych kwadratów:\n𝑎1 = 𝑎\n𝑎2 = √(1\n4 𝑎)\n2\n+ (3\n4 𝑎)\n2\n= √10\n4 𝑎\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nAnalogicznie\n𝑎3 = √10\n4 𝑎2 = √10\n4\n∙√10\n4 𝑎= 5\n8 𝑎\n𝑎4 = 5√10\n32 𝑎\ni tak dalej.\nStąd\n𝐿= 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + … = 4𝑎+ 4 ∙√10\n4 𝑎+ 4 ∙5\n8 𝑎+ … = 4𝑎(1 + √10\n4\n+ 5\n8 + … )\nZauważamy, że wyrażenie w nawiasie jest sumą szeregu geometrycznego, gdzie 𝑎1 = 1\ni 𝑞=\n√10\n4 .\nPonieważ |𝑞| =\n√10\n4\n< 1, zatem spełnione są założenia twierdzenia o istnieniu sumy\nnieskończonego szeregu geometrycznego.\nZatem 𝐿= 4𝑎∙\n1\n1-\n√10\n4\n4𝑎\n1-\n√10\n4\n= 8⋅(4+√10)𝑎\n3","solution":"Odpowiedź: **Suma: $S = \\frac{8a(4+\\sqrt{10})}{3}$** Bok $K_2$ z Pitagorasa: $\\sqrt{(a/4)^2 + (3a/4)^2} = \\frac{a\\sqrt{10}}{4}$. Iloraz $q = \\frac{\\sqrt{10}}{4}$. Suma szeregu geom.: $S = \\frac{4a}{1 - \\sqrt{10}/4} = \\frac{16a}{4-\\sqrt{10}} = \\frac{8a(4+\\sqrt{10})}{3}$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz bok $K_2$. Każdy wierzchołek $K_2$ leży na boku $K_1$ i dzieli go w stosunku $1 : 3$. Czyli odcinki to $\\frac{a}{4}$ i $\\frac{3a}{4}$.\n\nBok $K_2$ to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $\\frac{a}{4}$ i $\\frac{3a}{4}$:\n\n$$b_2 = \\sqrt{\\left(\\frac{a}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{3a}{4}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{a^2 + 9a^2}{16}} = \\sqrt{\\frac{10a^2}{16}} = \\frac{a\\sqrt{10}}{4}$$\n\nWyznacz iloraz obwodów. Obwód $K_n = 4 b_n$, więc:\n\n$$q = \\frac{L_2}{L_1} = \\frac{4 \\cdot a\\sqrt{10}/4}{4a} = \\frac{\\sqrt{10}}{4}$$\n\nSprawdzenie: $\\frac{\\sqrt{10}}{4} \\approx 0{,}79 < 1$, więc szereg jest zbieżny.\n\nWzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego (przy $|q| < 1$):\n\n$$S = \\frac{L_1}{1 - q}$$\n\n$$S = \\frac{4a}{1 - \\frac{\\sqrt{10}}{4}} = \\frac{4a}{\\frac{4 - \\sqrt{10}}{4}} = \\frac{16a}{4 - \\sqrt{10}}$$\n\nRacjonalizacja mianownika: pomnóż licznik i mianownik przez $4 + \\sqrt{10}$:\n\n$$S = \\frac{16a (4 + \\sqrt{10})}{(4 - \\sqrt{10})(4 + \\sqrt{10})} = \\frac{16a(4 + \\sqrt{10})}{16 - 10} = \\frac{16a(4 + \\sqrt{10})}{6}$$\n\n$$\\boxed{S = \\frac{8a(4 + \\sqrt{10})}{3}}$$\n\nPo co to umieć\n\nSuma nieskończonego ciągu geometrycznego:\n\n$$S = \\frac{a_1}{1 - q} \\quad \\text{dla } |q| < 1$$\n\nTypowy schemat zadań o „nieskończonej spirali figur\":\n1. Wyznacz parametr drugiej figury (z Pitagorasa lub trygonometrii).\n2. Iloraz tego parametru = $q$ ciągu.\n3. Suma = $\\frac{a_1}{1-q}$.\n4. Racjonalizuj mianownik (jeśli pierwiastek).\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: liczenie pól zamiast obwodów. Iloraz pól = $q_{pole}^2 = \\left(\\frac{\\sqrt{10}}{4}\\right)^2 = \\frac{10}{16} = \\frac{5}{8}$. Treść mówi o **obwodach**.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"szereg geometryczny, geometria, twierdzenie Pitagorasa, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Określamy kwadraty 𝐾1 , 𝐾2 , 𝐾3 , … następująco:
𝐾1 jest kwadratem o boku długości 𝑎
𝐾2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu 𝐾1 i dzieli
ten bok w stosunku 1 ∶3
𝐾3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu 𝐾2 i dzieli
ten bok w stosunku 1 ∶3
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥2,
𝐾𝑛 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu 𝐾𝑛-1
i dzieli ten bok w stosunku 1 ∶3.
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg
geometryczny.
Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.
10.
0-1-
2-3-4
𝑎
𝑎

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Określamy kwadraty K_1, K_2, K_3, … następująco: • K_1 jest kwadratem o boku długości a • K_2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3 • K_3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_2 i dzieli ten bok w stosunku 1:3 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n≥2, • K_n jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_{n-1} i dzieli ten bok w stosunku 1:3. Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej. [rysunek] Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
VI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi
geometryczne i oblicza ich sumę.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐿=
4𝑎
1-
√10
4
(lub 𝐿= 8⋅(4+√10)𝑎
3
).
3 pkt - zapisanie: 𝐿= 4𝑎(1 +
√10
4 + 5
8 + … ).
2 pkt - obliczenie ilorazu ciągu: 𝑞=
√10
4 .
1 pkt - obliczenie długości boku drugiego kwadratu: 𝑎2 =
√10
4 𝑎.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający obliczy tylko sumę długości boków (po jednym z każdego kwadratu), to
\n

może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie ustala stosunek podziału długości boku kwadratu i rozwiązuje
\n

zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
rozwiązanie (za obliczenie ilorazu 𝑞 ciągu, o ile 𝑞∈(0, 1), oraz za konsekwentne
obliczenie sumy obwodów wszystkich kwadratów).

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmuje do obliczeń konkretną długość boku kwadratu 𝐾1 i rozwiązuje
\n

zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i otrzyma iloraz 𝑞 ciągu, który jest liczbą spoza
\n

przedziału (0, 1), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za
poprawne obliczenie 𝑎2).
Przykładowe pełne rozwiązanie
Oznaczmy przez 𝑎𝑖 długość boku kwadratu 𝐾𝑖 , natomiast przez 𝐿𝑖 - obwód kwadratu 𝐾𝑖
(dla 𝑖= 1, 2, 3, …). Niech 𝐿 oznacza sumę obwodów wszystkich rozważanych kwadratów.
Obliczamy długości boków kolejnych kwadratów:
𝑎1 = 𝑎
𝑎2 = √(1
4 𝑎)
2

\n\n

4 𝑎)
2
= √10
4 𝑎
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Analogicznie
𝑎3 = √10
4 𝑎2 = √10
4
∙√10
4 𝑎= 5
8 𝑎
𝑎4 = 5√10
32 𝑎
i tak dalej.
Stąd
𝐿= 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + … = 4𝑎+ 4 ∙√10
4 𝑎+ 4 ∙5
8 𝑎+ … = 4𝑎(1 + √10
4

\n\n

8 + … )
Zauważamy, że wyrażenie w nawiasie jest sumą szeregu geometrycznego, gdzie 𝑎1 = 1
i 𝑞=
√10
4 .
Ponieważ |𝑞| =
√10
4
< 1, zatem spełnione są założenia twierdzenia o istnieniu sumy
nieskończonego szeregu geometrycznego.
Zatem 𝐿= 4𝑎∙
1
1-
√10
4
4𝑎
1-
√10
4
= 8⋅(4+√10)𝑎
3

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: Suma: $S = \\frac{8a(4+\\sqrt{10})}{3}$ Bok $K_2$ z Pitagorasa: $\\sqrt{(a/4)^2 + (3a/4)^2} = \\frac{a\\sqrt{10}}{4}$. Iloraz $q = \\frac{\\sqrt{10}}{4}$. Suma szeregu geom.: $S = \\frac{4a}{1 - \\sqrt{10}/4} = \\frac{16a}{4-\\sqrt{10}} = \\frac{8a(4+\\sqrt{10})}{3}$.

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

Wyznacz bok $K_2$. Każdy wierzchołek $K_2$ leży na boku $K_1$ i dzieli go w stosunku $1 : 3$. Czyli odcinki to $\\frac{a}{4}$ i $\\frac{3a}{4}$.

\n

Bok $K_2$ to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $\\frac{a}{4}$ i $\\frac{3a}{4}$:

\n

$$b_2 = \\sqrt{\\left(\\frac{a}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{3a}{4}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{a^2 + 9a^2}{16}} = \\sqrt{\\frac{10a^2}{16}} = \\frac{a\\sqrt{10}}{4}$$

\n

Wyznacz iloraz obwodów. Obwód $K_n = 4 b_n$, więc:

\n

$$q = \\frac{L_2}{L_1} = \\frac{4 \\cdot a\\sqrt{10}/4}{4a} = \\frac{\\sqrt{10}}{4}$$

\n

Sprawdzenie: $\\frac{\\sqrt{10}}{4} \\approx 0{,}79 < 1$, więc szereg jest zbieżny.

\n

Wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego (przy $|q| < 1$):

\n

$$S = \\frac{L_1}{1 - q}$$

\n

$$S = \\frac{4a}{1 - \\frac{\\sqrt{10}}{4}} = \\frac{4a}{\\frac{4 - \\sqrt{10}}{4}} = \\frac{16a}{4 - \\sqrt{10}}$$

\n

Racjonalizacja mianownika: pomnóż licznik i mianownik przez $4 + \\sqrt{10}$:

\n

$$S = \\frac{16a (4 + \\sqrt{10})}{(4 - \\sqrt{10})(4 + \\sqrt{10})} = \\frac{16a(4 + \\sqrt{10})}{16 - 10} = \\frac{16a(4 + \\sqrt{10})}{6}$$

\n

$$\\boxed{S = \\frac{8a(4 + \\sqrt{10})}{3}}$$

\n

Po co to umieć

\n

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego:

\n

$$S = \\frac{a_1}{1 - q} \\quad \\text{dla } |q| < 1$$

\n

Typowy schemat zadań o „nieskończonej spirali figur":

\n
  1. Wyznacz parametr drugiej figury (z Pitagorasa lub trygonometrii).
  2. Iloraz tego parametru = $q$ ciągu.
  3. Suma = $\\frac{a_1}{1-q}$.
  4. Racjonalizuj mianownik (jeśli pierwiastek).
\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: liczenie pól zamiast obwodów. Iloraz pól = $q_{pole}^2 = \\left(\\frac{\\sqrt{10}}{4}\\right)^2 = \\frac{10}{16} = \\frac{5}{8}$. Treść mówi o obwodach.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left(-\\dfrac{11}{3},\\, \\dfrac{14}{3}\\right)\\)

\n

Sposób 1 - Uproszczenie przez \\(|a|\\) i analiza przypadków

\n

Krok 1 - Rozpoznaj pełne kwadraty.

\n

\\[x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 \\implies \\sqrt{x^2+4x+4} = \\sqrt{(x+2)^2} = |x+2|\\]
\\[x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \\implies \\sqrt{x^2-6x+9} = \\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|\\]

\n

Krok 2 - Przepisz nierówność.

\n

\\[|x+2| < \\frac{25}{3} - |x-3|\\]

\n

Przenosimy \\(|x-3|\\) na lewą stronę:
\\[|x+2| + |x-3| < \\frac{25}{3}\\]

\n

Krok 3 - Wyznacz punkty krytyczne i podziel na przypadki.

\n

Punkty krytyczne: \\(x = -2\\) i \\(x = 3\\).

\n

Przypadek A: \\(x < -2\\)

\n

\\[|x+2| = -x-2, \\quad |x-3| = -x+3\\]
\\[-x-2 + (-x+3) = -2x+1\\]
\\[-2x+1 < \\frac{25}{3} \\implies -2x < \\frac{22}{3} \\implies x > -\\frac{11}{3}\\]

\n

Razem z warunkiem \\(x < -2\\):
\\[x \\in \\left(-\\frac{11}{3},\\, -2\\right)\\]

\n

Przypadek B: \\(-2 \\leq x \\leq 3\\)

\n

\\[|x+2| = x+2, \\quad |x-3| = -x+3\\]
\\[x+2 + (-x+3) = 5\\]
\\[5 < \\frac{25}{3} \\approx 8{,}33 \\quad \\checkmark \\text{ - zawsze prawda!}\\]

\n

Wszystkie \\(x \\in [-2,\\, 3]\\) spełniają nierówność.

\n

Przypadek C: \\(x > 3\\)

\n

\\[|x+2| = x+2, \\quad |x-3| = x-3\\]
\\[x+2 + x-3 = 2x-1\\]
\\[2x-1 < \\frac{25}{3} \\implies 2x < \\frac{28}{3} \\implies x < \\frac{14}{3}\\]

\n

Razem z warunkiem \\(x > 3\\):
\\[x \\in \\left(3,\\, \\frac{14}{3}\\right)\\]

\n

Krok 4 - Połącz przypadki.

\n

\\[\\left(-\\frac{11}{3},\\,-2\\right) \\cup [-2,\\,3] \\cup \\left(3,\\,\\frac{14}{3}\\right) = \\boxed{\\left(-\\frac{11}{3},\\,\\frac{14}{3}\\right)}\\]

\n

Sposób 2 - Interpretacja geometryczna (suma odległości)

\n

Wyrażenie \\(|x+2| + |x-3|\\) ma piękną interpretację geometryczną:

\n
\\(|x+2|\\) = odległość punktu \\(x\\) od \\(-2\\) na osi liczbowej
\\(|x-3|\\) = odległość punktu \\(x\\) od \\(3\\) na osi liczbowej
\n

Szukamy: dla jakich \\(x\\) suma odległości od punktów \\(-2\\) i \\(3\\) jest mniejsza niż \\(\\frac{25}{3}\\)?

\n

Minimum sumy odległości - gdy \\(x \\in [-2, 3]\\), punkt \\(x\\) leży między \\(-2\\) a \\(3\\), więc suma odległości równa się dokładnie odległości między punktami:
\\[|x+2| + |x-3| = 5 \\quad \\text{(stałe!)}\\]

\n

Gdy \\(x\\) wychodzi poza przedział \\([-2, 3]\\), suma rośnie liniowo:

\n\n

Szukamy granicy, gdzie suma osiąga \\(\\frac{25}{3}\\):

\n

\\[-2x+1 = \\frac{25}{3} \\implies x = -\\frac{11}{3} \\approx -3{,}67\\]
\\[2x-1 = \\frac{25}{3} \\implies x = \\frac{14}{3} \\approx 4{,}67\\]

\n

Stąd rozwiązanie to \\(x \\in \\left(-\\dfrac{11}{3},\\, \\dfrac{14}{3}\\right)\\) - zgodnie z Metodą 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - kluczowy wzór z wskazówki w zadaniu:
\\[\\sqrt{a^2} = |a|\\]
To właśnie ten wzór pozwolił zamienić \\(\\sqrt{(x+2)^2} = |x+2|\\) i \\(\\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|\\), bez którego zadanie byłoby znacznie trudniejsze.

\n

Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) - definicja i analiza przypadków:
\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]
Użyliśmy tego w Kroku 3, dzieląc na przypadki wg znaku \\(x+2\\) i \\(x-3\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - traktowanie \\(\\sqrt{(x+2)^2}\\) jako \\(x+2\\) bez wartości bezwzględnej. To działa tylko dla \\(x \\geq -2\\)! Dla \\(x < -2\\) mamy \\(\\sqrt{(x+2)^2} = -(x+2)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy przenoszeniu \\(|x-3|\\) na lewą stronę działa to zawsze (bez zmiany sensu nierówności), bo dodajemy nieujemną liczbę do obu stron - to jest poprawna operacja.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że przedział wyjściowy jest otwarty (ostre nierówności \\(<\\)), bo dla \\(x = -\\frac{11}{3}\\) lub \\(x = \\frac{14}{3}\\) lewa strona jest równa prawej - nie spełnia nierówności ostrej.
\n
Analiza zadania
\n

Zauważmy: \\(x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}\\), a \\(x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}\\). Zatem nierówność przybiera postać:
\\[|x+2| < \\dfrac{25}{3} - |x-3|\\]
\\[|x+2|+|x-3| < \\dfrac{25}{3}\\]

\n
Sposób 1 - przedziały
\n

Rozważamy trzy przypadki ze względu na znaki \\(x+2\\) i \\(x-3\\):

\n

Przypadek 1: \\(x\\in(-\\infty,-2)\\). Wtedy \\(|x+2|=-x-2\\), \\(|x-3|=-x+3\\).
\\[-x-2 < \\dfrac{25}{3}+x-3\\]
\\[-2x < \\dfrac{25}{3}-1 = \\dfrac{22}{3}\\]
\\[x > -\\dfrac{11}{3}\\]

\n

Zatem w tym przedziale: \\(x\\in\\left(-\\dfrac{11}{3},-2\\right)\\).

\n

Przypadek 2: \\(x\\in\\langle -2, 3)\\). Wtedy \\(|x+2|=x+2\\), \\(|x-3|=-x+3\\).
\\[x+2 < \\dfrac{25}{3}+x-3 = \\dfrac{25}{3}-3+x\\]
\\[2 < \\dfrac{25}{3}-3 = \\dfrac{16}{3}\\]
\\[6 < 16\\] - nierówność prawdziwa, zatem cały przedział spełnia: \\(x\\in\\langle -2, 3)\\).

\n

Przypadek 3: \\(x\\in\\langle 3,+\\infty)\\). Wtedy \\(|x+2|=x+2\\), \\(|x-3|=x-3\\).
\\[x+2 < \\dfrac{25}{3}-x+3\\]
\\[2x < \\dfrac{25}{3}+1 = \\dfrac{28}{3}\\]
\\[x < \\dfrac{14}{3}\\]

\n

Zatem w tym przedziale: \\(x\\in\\langle 3, \\dfrac{14}{3})\\).

\n

Suma rozwiązań: \\(x\\in\\left(-\\dfrac{11}{3},\\dfrac{14}{3}\\right)\\).

\n
Sposób 2 - interpretacja geometryczna
\n

\\(|x+2|+|x-3|\\) to suma odległości punktu \\(x\\) od \\(-2\\) i od \\(3\\) na osi liczbowej. Dla \\(x\\in\\langle -2,3\\rangle\\) suma ta równa się \\(5\\). Poza tym przedziałem rośnie liniowo.

\n

Mamy: \\(5 < \\dfrac{25}{3}\\), więc przedział \\(\\langle -2,3\\rangle\\) całkowicie spełnia.

\n

Dla \\(x<-2\\): odległość rośnie, \\(|x+2|+|x-3|=5+2|x+2|=5-2(x+2)=1-2x\\). Warunek: \\(1-2x<\\dfrac{25}{3}\\Rightarrow x>-\\dfrac{11}{3}\\).

\n

Dla \\(x>3\\): \\(|x+2|+|x-3|=5+2(x-3)=2x-1\\). Warunek: \\(2x-1<\\dfrac{25}{3}\\Rightarrow x<\\dfrac{14}{3}\\).

\n

Suma: \\(x\\in\\left(-\\dfrac{11}{3},\\dfrac{14}{3}\\right)\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Zawsze pamiętaj: \\(\\sqrt{a^{2}}=|a|\\) (nie \\(a\\)!). \\(|x-a|+|x-b|\\) ma minimum \\(|a-b|\\) osiągane dla \\(x\\in\\langle \\min(a,b),\\max(a,b)\\rangle\\) - poza tym przedziałem rośnie liniowo.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\\\dfrac{8(4+\\\\sqrt{10})a}{3}$

"}]}