{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎≠𝟐, dla których równanie\n𝒙𝟐+ 𝟒𝒙-𝒎-𝟑\n𝒎-𝟐= 𝟎\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 spełniające warunek 𝒙𝟏\n𝟑+ 𝒙𝟐\n𝟑> -𝟐𝟖.\nZapisz obliczenia.\n11.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWyznacz wszystkie wartości parametru m≠2, dla których równanie x² + 4x - m-3/m-2 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 spełniające warunek x_1³ + x_2³ > -28.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nIII.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań\nkwadratowych;\nIII.R5) analizuje równania i nierówności\nliniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami,\nw szczególności wyznacza liczbę rozwiązań\nw zależności od parametrów, podaje\nwarunki, przy których rozwiązania mają\nżądaną własność, i wyznacza rozwiązania\nw zależności od parametrów.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚∈(-∞, 2) ∪(11\n5 , +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28: 𝑚∈(2, 9\n4).\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28, np. -64 -3 ∙(-𝑚-3\n𝑚-2) ∙(-4) > -28\nALBO\n- zapisanie nierówności (-2 -√5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n+ (-2 + √5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n> -28 i poprawne\nzastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy/różnicy do co najmniej\njednego ze składników sumy (-2 -√5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n+ (-2 + √5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n(𝑥1 + 𝑥2)3 -3𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) > -28\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 4𝑥-𝑚-3\n𝑚-2 w zależności\nod 𝑚: 𝑥1 =\n-4-√20𝑚-44\n𝑚-2\n2⋅1\n, 𝑥2 =\n-4+√20𝑚-44\n𝑚-2\n2⋅1\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28: 𝑚∈(11\n5 , 9\n4).\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28: 𝑚∈(11\n5 , 9\n4).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający popełni w I i/lub II etapie jedynie błędy rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań z I i II etapu, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb\nrzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań\nz etapów I i II, to za III etap otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd i przyjmie, że 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑚-3\n𝑚-2 lub\n𝑥1 ⋅𝑥2 = ± 4, to za II etap może otrzymać co najwyżej 1 punkt, a za III etap otrzymuje\n0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy (np. pominie\nistotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28 do postaci\npozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, albo przyjmie, że\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 = (𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -𝑥1 ⋅𝑥2], i konsekwentnie do popełnionego błędu\ndoprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do końca, to może uzyskać co najwyżej 1 punkt\nza II etap.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nI etap\nTrójmian kwadratowy 𝑥2 + 4𝑥-𝑚-3\n𝑚-2 , gdzie 𝑚≠2, ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste\nwtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik tego trójmianu jest dodatni. Rozwiązujemy warunek ∆> 0:\n42 -4 ∙(-𝑚-3\n𝑚-2) > 0\n20𝑚-44\n𝑚-2\n> 0\n(20𝑚-44) ⋅(𝑚-2) > 0\n20 (𝑚-11\n5 ) ⋅(𝑚-2) > 0\n𝑚∈(-∞, 2) ∪(11\n5 , +∞)\nII etap\nSposób I\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚≠2, dla których jest spełniony warunek\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28, korzystając ze wzorów Viète’a:\n(𝑥1 + 𝑥2)3 -3𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) > -28\n-64 -3 ∙(-𝑚-3\n𝑚-2) ∙(-4) > -28\n𝑚-3\n𝑚-2 < -3\n(4𝑚-9)(𝑚-2) < 0\n𝑚∈(2, 9\n4)\nSposób II\nWyznaczamy pierwiastki 𝑥1, 𝑥2 trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 4𝑥-𝑚-3\n𝑚-2 :\n𝑥1 =\n-4 -√20𝑚-44\n𝑚-2\n2 ⋅1\n= -2 -√5𝑚-11\n𝑚-2\n𝑥2 =\n-4 + √20𝑚-44\n𝑚-2\n2 ⋅1\n= -2 + √5𝑚-11\n𝑚-2\nNierówność 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28 możemy więc zapisać w postaci\n(-2 -√5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n+ (-2 + √5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n> -28\nOznaczmy √5𝑚-11\n𝑚-2 przez 𝑝. Wtedy\n(-2 -𝑝)3 + (-2 + 𝑝)3 > -28\nKorzystając ze wzoru na sześcian różnicy i sześcian sumy, otrzymujemy dalej\n(-8 -12𝑝-6𝑝2 -𝑝3) + (-8 + 12𝑝-6𝑝2 + 𝑝3) > -28\n-12𝑝2 -16 > -28\n12𝑝2 -12 < 0\n𝑝2 -1 < 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem\n(√5𝑚-11\n𝑚-2 )\n2\n-1 < 0\n5𝑚-11\n𝑚-2 -1 < 0\n5𝑚-11 -𝑚+ 2\n𝑚-2\n< 0\n4𝑚-9\n𝑚-2 < 0\n(4𝑚-9)(𝑚-2) < 0\n𝑚∈(2, 9\n4)\nUwaga:\nNierówność (-2 -𝑝)3 + (-2 + 𝑝)3 > -28 możemy również przekształcić, korzystając ze\nwzoru na sumę sześcianów. Wtedy otrzymujemy\n(-2 -𝑝+ (-2) + 𝑝)[(-2 -𝑝)2 -(-2 -𝑝)(-2 + 𝑝) + (-2 + 𝑝)2] > -28\n-4(4 + 4𝑝+ 𝑝2 + 𝑝2 -4 + 4 -4𝑝+ 𝑝2) > -28\n3𝑝2 + 4 < 7\n𝑝2 -1 < 0\nIII etap\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚≠2, które jednocześnie spełniają warunki\n𝑚∈(-∞, 2) ∪(11\n5 , +∞) oraz 𝑚∈(2, 9\n4): 𝑚∈(11\n5 , 9\n4).","solution":"Odpowiedź: **$m \\in \\left(\\frac{11}{5},\\ \\frac{9}{4}\\right)$** Wzory Viety: $x_1 + x_2 = -4$, $x_1 x_2 = -\\frac{m-3}{m-2}$. Warunki: (1) $\\Delta > 0$ → $\\frac{5m-11}{m-2} > 0$ → $m < 2$ lub $m > \\frac{11}{5}$; (2) $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2 - 3 x_1 x_2] > -28$ → $x_1 x_2 > 3$ → $\\frac{4m-9}{m-2} < 0$ → $2 < m < \\frac{9}{4}$. Część wspólna: $\\frac{11}{5} < m < \\frac{9}{4}$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nTrzy warunki: (1) $m \\neq 2$ (dziedzina), (2) $\\Delta > 0$ (dwa różne rozwiązania), (3) $x_1^3 + x_2^3 > -28$.\n\nWzory Viety. Dla $x^2 + 4x + c = 0$ z $c = -\\frac{m-3}{m-2}$:\n\n$$x_1 + x_2 = -4, \\quad x_1 x_2 = -\\frac{m-3}{m-2}$$\n\nWarunek $\\Delta > 0$:\n\n$$\\Delta = 16 - 4 \\cdot \\left(-\\frac{m-3}{m-2}\\right) = 16 + \\frac{4(m-3)}{m-2}$$\n\n$$= \\frac{16(m-2) + 4(m-3)}{m-2} = \\frac{20m - 44}{m-2} = \\frac{4(5m-11)}{m-2}$$\n\n$\\Delta > 0 \\iff \\frac{5m-11}{m-2} > 0 \\iff m < 2$ lub $m > \\frac{11}{5}$.\n\nWyraź $x_1^3 + x_2^3$ przez Viete'a:\n\n$$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)\\left[(x_1+x_2)^2 - 3 x_1 x_2\\right]$$\n\n$$= -4 \\cdot [16 - 3 \\cdot x_1 x_2] = -64 + 12 x_1 x_2$$\n\nWarunek: $-64 + 12 x_1 x_2 > -28 \\iff x_1 x_2 > 3$.\n\nRozwiąż $-\\frac{m-3}{m-2} > 3$:\n\n$$\\frac{m-3}{m-2} < -3 \\iff \\frac{m-3 + 3(m-2)}{m-2} < 0 \\iff \\frac{4m-9}{m-2} < 0$$\n\nZerówki: $m = \\frac{9}{4}$ i $m = 2$. Iloraz $< 0$ ⟺ $2 < m < \\frac{9}{4}$.\n\nCzęść wspólna obu warunków:\n\n- $\\Delta > 0$: $m < 2$ lub $m > \\frac{11}{5}$\n- $x_1^3 + x_2^3 > -28$: $2 < m < \\frac{9}{4}$\n\nPrzecięcie: $\\frac{11}{5} < m < \\frac{9}{4}$.\n\nPo co to umieć\n\nWzory Viete'a dla $ax^2 + bx + c = 0$ z rozwiązaniami $x_1, x_2$:\n- $x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}$\n- $x_1 x_2 = \\frac{c}{a}$\n\nPozwalają wyrazić dowolne symetryczne wyrażenie $x_1, x_2$ przez współczynniki, bez liczenia samych pierwiastków. Klasyk PR.\n\nWyrażenia symetryczne:\n- $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2 x_1 x_2$\n- $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3 x_1 x_2(x_1+x_2) = (x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2 - 3 x_1 x_2]$\n- $\\frac{1}{x_1} + \\frac{1}{x_2} = \\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pominięcie warunku $\\Delta > 0$. Tylko sam warunek na $x_1^3 + x_2^3$ daje $2 < m < 9/4$, ale dla $m \\in (2, 11/5)$ równanie ma rozwiązania zespolone — trzeba wykluczyć.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"równanie kwadratowe z parametrem, wzory Viete'a, parametr","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-5)
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎≠𝟐, dla których równanie
𝒙𝟐+ 𝟒𝒙-𝒎-𝟑
𝒎-𝟐= 𝟎
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 spełniające warunek 𝒙𝟏
𝟑+ 𝒙𝟐
𝟑> -𝟐𝟖.
Zapisz obliczenia.
11.
0-1-
2-3-
4-5

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Wyznacz wszystkie wartości parametru m≠2, dla których równanie x² + 4x - m-3/m-2 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 spełniające warunek x_1³ + x_2³ > -28.

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-5)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.

\n
  1. Tworzenie pomocniczych obiektów
\n

matematycznych na podstawie istniejących,
w celu przeprowadzenia argumentacji lub
rozwiązania problemu.
Zdający:
III.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań
kwadratowych;
III.R5) analizuje równania i nierówności
liniowe z parametrami oraz równania
i nierówności kwadratowe z parametrami,
w szczególności wyznacza liczbę rozwiązań
w zależności od parametrów, podaje
warunki, przy których rozwiązania mają
żądaną własność, i wyznacza rozwiązania
w zależności od parametrów.
Zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego
etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚∈(-∞, 2) ∪(11
5 , +∞).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony
warunek 𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku
𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28: 𝑚∈(2, 9
4).
2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku
𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28, np. -64 -3 ∙(-𝑚-3
𝑚-2) ∙(-4) > -28
ALBO

\n\n

𝑚-2 )
3

\n\n

𝑚-2 )
3

\n
-28 i poprawne
\n

zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy/różnicy do co najmniej
jednego ze składników sumy (-2 -√5𝑚-11
𝑚-2 )
3

\n\n

𝑚-2 )
3
1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28 do postaci pozwalającej na
bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.
(𝑥1 + 𝑥2)3 -3𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) > -28
ALBO
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

𝑚-2 w zależności
od 𝑚: 𝑥1 =
-4-√20𝑚-44
𝑚-2
2⋅1
, 𝑥2 =
-4+√20𝑚-44
𝑚-2
2⋅1
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28: 𝑚∈(11
5 , 9
4).
Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają
jednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28: 𝑚∈(11
5 , 9
4).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający popełni w I i/lub II etapie jedynie błędy rachunkowe i otrzyma zbiory
\n

rozwiązań z I i II etapu, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb
rzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań
z etapów I i II, to za III etap otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd i przyjmie, że 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑚-3
\n

𝑚-2 lub
𝑥1 ⋅𝑥2 = ± 4, to za II etap może otrzymać co najwyżej 1 punkt, a za III etap otrzymuje
0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy (np. pominie
\n

istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności 𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28 do postaci
pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, albo przyjmie, że
𝑥1
3 + 𝑥2
3 = (𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -𝑥1 ⋅𝑥2], i konsekwentnie do popełnionego błędu
doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do końca, to może uzyskać co najwyżej 1 punkt
za II etap.
Przykładowe pełne rozwiązanie
I etap
Trójmian kwadratowy 𝑥2 + 4𝑥-𝑚-3
𝑚-2 , gdzie 𝑚≠2, ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik tego trójmianu jest dodatni. Rozwiązujemy warunek ∆> 0:
42 -4 ∙(-𝑚-3
𝑚-2) > 0
20𝑚-44
𝑚-2

\n
0
\n

(20𝑚-44) ⋅(𝑚-2) > 0
20 (𝑚-11
5 ) ⋅(𝑚-2) > 0
𝑚∈(-∞, 2) ∪(11
5 , +∞)
II etap
Sposób I
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚≠2, dla których jest spełniony warunek
𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28, korzystając ze wzorów Viète’a:
(𝑥1 + 𝑥2)3 -3𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) > -28
-64 -3 ∙(-𝑚-3
𝑚-2) ∙(-4) > -28
𝑚-3
𝑚-2 < -3
(4𝑚-9)(𝑚-2) < 0
𝑚∈(2, 9
4)
Sposób II
Wyznaczamy pierwiastki 𝑥1, 𝑥2 trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 4𝑥-𝑚-3
𝑚-2 :
𝑥1 =
-4 -√20𝑚-44
𝑚-2
2 ⋅1
= -2 -√5𝑚-11
𝑚-2
𝑥2 =
-4 + √20𝑚-44
𝑚-2
2 ⋅1
= -2 + √5𝑚-11
𝑚-2
Nierówność 𝑥1
3 + 𝑥2
3 > -28 możemy więc zapisać w postaci
(-2 -√5𝑚-11
𝑚-2 )
3

\n\n

𝑚-2 )
3

\n
-28
\n

Oznaczmy √5𝑚-11
𝑚-2 przez 𝑝. Wtedy
(-2 -𝑝)3 + (-2 + 𝑝)3 > -28
Korzystając ze wzoru na sześcian różnicy i sześcian sumy, otrzymujemy dalej
(-8 -12𝑝-6𝑝2 -𝑝3) + (-8 + 12𝑝-6𝑝2 + 𝑝3) > -28
-12𝑝2 -16 > -28
12𝑝2 -12 < 0
𝑝2 -1 < 0
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zatem
(√5𝑚-11
𝑚-2 )
2
-1 < 0
5𝑚-11
𝑚-2 -1 < 0
5𝑚-11 -𝑚+ 2
𝑚-2
< 0
4𝑚-9
𝑚-2 < 0
(4𝑚-9)(𝑚-2) < 0
𝑚∈(2, 9
4)
Uwaga:
Nierówność (-2 -𝑝)3 + (-2 + 𝑝)3 > -28 możemy również przekształcić, korzystając ze
wzoru na sumę sześcianów. Wtedy otrzymujemy
(-2 -𝑝+ (-2) + 𝑝)[(-2 -𝑝)2 -(-2 -𝑝)(-2 + 𝑝) + (-2 + 𝑝)2] > -28
-4(4 + 4𝑝+ 𝑝2 + 𝑝2 -4 + 4 -4𝑝+ 𝑝2) > -28
3𝑝2 + 4 < 7
𝑝2 -1 < 0
III etap
Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚≠2, które jednocześnie spełniają warunki
𝑚∈(-∞, 2) ∪(11
5 , +∞) oraz 𝑚∈(2, 9
4): 𝑚∈(11
5 , 9
4).

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: $m \\in \\left(\\frac{11}{5},\\ \\frac{9}{4}\\right)$ Wzory Viety: $x_1 + x_2 = -4$, $x_1 x_2 = -\\frac{m-3}{m-2}$. Warunki: (1) $\\Delta > 0$ → $\\frac{5m-11}{m-2} > 0$ → $m < 2$ lub $m > \\frac{11}{5}$; (2) $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2 - 3 x_1 x_2] > -28$ → $x_1 x_2 > 3$ → $\\frac{4m-9}{m-2} < 0$ → $2 < m < \\frac{9}{4}$. Część wspólna: $\\frac{11}{5} < m < \\frac{9}{4}$.

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

Trzy warunki: (1) $m \\neq 2$ (dziedzina), (2) $\\Delta > 0$ (dwa różne rozwiązania), (3) $x_1^3 + x_2^3 > -28$.

\n

Wzory Viety. Dla $x^2 + 4x + c = 0$ z $c = -\\frac{m-3}{m-2}$:

\n

$$x_1 + x_2 = -4, \\quad x_1 x_2 = -\\frac{m-3}{m-2}$$

\n

Warunek $\\Delta > 0$:

\n

$$\\Delta = 16 - 4 \\cdot \\left(-\\frac{m-3}{m-2}\\right) = 16 + \\frac{4(m-3)}{m-2}$$

\n

$$= \\frac{16(m-2) + 4(m-3)}{m-2} = \\frac{20m - 44}{m-2} = \\frac{4(5m-11)}{m-2}$$

\n

$\\Delta > 0 \\iff \\frac{5m-11}{m-2} > 0 \\iff m < 2$ lub $m > \\frac{11}{5}$.

\n

Wyraź $x_1^3 + x_2^3$ przez Viete'a:

\n

$$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)\\left[(x_1+x_2)^2 - 3 x_1 x_2\\right]$$

\n

$$= -4 \\cdot [16 - 3 \\cdot x_1 x_2] = -64 + 12 x_1 x_2$$

\n

Warunek: $-64 + 12 x_1 x_2 > -28 \\iff x_1 x_2 > 3$.

\n

Rozwiąż $-\\frac{m-3}{m-2} > 3$:

\n

$$\\frac{m-3}{m-2} < -3 \\iff \\frac{m-3 + 3(m-2)}{m-2} < 0 \\iff \\frac{4m-9}{m-2} < 0$$

\n

Zerówki: $m = \\frac{9}{4}$ i $m = 2$. Iloraz $< 0$ ⟺ $2 < m < \\frac{9}{4}$.

\n

Część wspólna obu warunków:

\n\n

Przecięcie: $\\frac{11}{5} < m < \\frac{9}{4}$.

\n

Po co to umieć

\n

Wzory Viete'a dla $ax^2 + bx + c = 0$ z rozwiązaniami $x_1, x_2$:

\n\n

Pozwalają wyrazić dowolne symetryczne wyrażenie $x_1, x_2$ przez współczynniki, bez liczenia samych pierwiastków. Klasyk PR.

\n

Wyrażenia symetryczne:

\n\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: pominięcie warunku $\\Delta > 0$. Tylko sam warunek na $x_1^3 + x_2^3$ daje $2 < m < 9/4$, ale dla $m \\in (2, 11/5)$ równanie ma rozwiązania zespolone — trzeba wykluczyć.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\[S = \\frac{8a(4+\\sqrt{10})}{3}\\]

\n

Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa + wzór na sumę ciągu geometrycznego

\n

Krok 1: Wyznaczam bok kwadratu \\(K_2\\)

\n

Kwadrat \\(K_1\\) ma bok \\(a\\). Wierzchołki \\(K_2\\) dzielą każdy bok w stosunku \\(1:3\\), czyli jeden odcinek ma długość \\(\\frac{a}{4}\\), drugi \\(\\frac{3a}{4}\\).

\n

Układam układ współrzędnych: \\(K_1\\) ma wierzchołki \\((0,0),\\,(a,0),\\,(a,a),\\,(0,a)\\).

\n

Wierzchołki \\(K_2\\):
\\[\\left(\\frac{a}{4},\\,0\\right),\\quad \\left(a,\\,\\frac{a}{4}\\right),\\quad \\left(\\frac{3a}{4},\\,a\\right),\\quad \\left(0,\\,\\frac{3a}{4}\\right)\\]

\n

Bok \\(K_2\\) to odcinek między pierwszymi dwoma wierzchołkami. Z twierdzenia Pitagorasa:
\\[b_2 = \\sqrt{\\left(a - \\frac{a}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{a}{4} - 0\\right)^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{3a}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{a}{4}\\right)^2}\\]
\\[b_2 = \\sqrt{\\frac{9a^2}{16} + \\frac{a^2}{16}} = \\sqrt{\\frac{10a^2}{16}} = \\frac{a\\sqrt{10}}{4}\\]

\n

Krok 2: Wyznaczam iloraz ciągu obwodów

\n

Każdy kolejny kwadrat jest skonstruowany identycznie względem poprzedniego, więc:
\\[q = \\frac{b_2}{b_1} = \\frac{\\dfrac{a\\sqrt{10}}{4}}{a} = \\frac{\\sqrt{10}}{4}\\]

\n

Obwody tworzą ciąg geometryczny z pierwszym wyrazem \\(P_1 = 4a\\) i ilorazem \\(q = \\dfrac{\\sqrt{10}}{4}\\).

\n

Krok 3: Sprawdzam, że \\(|q| < 1\\)

\n

\\[\\sqrt{10} \\approx 3{,}162 \\quad\\Rightarrow\\quad q = \\frac{\\sqrt{10}}{4} \\approx 0{,}79 < 1 \\checkmark\\]

\n

Ciąg geometryczny jest zbieżny - można zsumować do nieskończoności.

\n

Krok 4: Liczę sumę nieskończonego ciągu

\n

\\[S = \\frac{P_1}{1 - q} = \\frac{4a}{1 - \\dfrac{\\sqrt{10}}{4}} = \\frac{4a}{\\dfrac{4 - \\sqrt{10}}{4}} = \\frac{16a}{4 - \\sqrt{10}}\\]

\n

Racjonalizuję mianownik (mnożę przez \\(\\dfrac{4+\\sqrt{10}}{4+\\sqrt{10}}\\)):

\n

\\[S = \\frac{16a(4 + \\sqrt{10})}{(4-\\sqrt{10})(4+\\sqrt{10})} = \\frac{16a(4+\\sqrt{10})}{16-10} = \\frac{16a(4+\\sqrt{10})}{6}\\]

\n

\\[\\boxed{S = \\frac{8a(4+\\sqrt{10})}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez bok \\(K_3\\)

\n

Sprawdzam, że iloraz jest stały - wyznaczam bok \\(K_3\\) z boku \\(K_2 = \\dfrac{a\\sqrt{10}}{4}\\).

\n

Podział w stosunku \\(1:3\\): krótki odcinek \\(= \\dfrac{1}{4} \\cdot \\dfrac{a\\sqrt{10}}{4} = \\dfrac{a\\sqrt{10}}{16}\\), długi \\(= \\dfrac{3a\\sqrt{10}}{16}\\).

\n

\\[b_3 = \\sqrt{\\left(\\frac{3a\\sqrt{10}}{16}\\right)^2 + \\left(\\frac{a\\sqrt{10}}{16}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{90a^2}{256} + \\frac{10a^2}{256}} = \\sqrt{\\frac{100a^2}{256}} = \\frac{10a}{16} = \\frac{5a}{8}\\]

\n

Sprawdzam iloraz:
\\[\\frac{b_3}{b_2} = \\frac{\\dfrac{5a}{8}}{\\dfrac{a\\sqrt{10}}{4}} = \\frac{5}{8} \\cdot \\frac{4}{\\sqrt{10}} = \\frac{5}{2\\sqrt{10}} = \\frac{5\\sqrt{10}}{20} = \\frac{\\sqrt{10}}{4} \\checkmark\\]

\n

Iloraz jest ten sam - ciąg obwodów jest rzeczywiście geometryczny. Wynik potwierdzony.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - suma nieskończonego ciągu geometrycznego (gdy \\(|q| < 1\\)):
\\[S = \\frac{a_1}{1 - q}\\]
Użyliśmy tego w kroku 4 do zsumowania nieskończenie wielu obwodów.

\n

Dział 10 (Planimetria - twierdzenie Pitagorasa, s. 15):
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy do wyznaczenia boku \\(K_2\\) z długości odcinków \\(\\dfrac{a}{4}\\) i \\(\\dfrac{3a}{4}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Stosunek \\(1:3\\) oznacza, że bok dzielimy na 4 równe części - krótki odcinek to \\(\\frac{a}{4}\\), nie \\(\\frac{a}{3}\\)! To najczęstszy błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Przy racjonalizacji mianownika \\(4 - \\sqrt{10}\\) trzeba pomnożyć przez \\(4 + \\sqrt{10}\\) - korzystamy ze wzoru \\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\\), skąd \\(16 - 10 = 6\\).
\n
⚠️ Uwaga: Należy sprawdzić warunek \\(|q| < 1\\) przed użyciem wzoru na sumę ciągu nieskończonego - bez tego wzór nie ma sensu. Tu \\(q = \\frac{\\sqrt{10}}{4} \\approx 0{,}79\\) - warunek spełniony.
\n
Analiza zadania
\n

Bok kwadratu \\(K_{n+1}\\) jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych \\(\\dfrac{1}{4}a_{n}\\) i \\(\\dfrac{3}{4}a_{n}\\), gdzie \\(a_{n}\\) - bok \\(K_{n}\\).

\n
Obliczenie ilorazu
\n

\\[a_{n+1}=\\sqrt{\\left(\\dfrac{1}{4}a_{n}\\right)^{2}+\\left(\\dfrac{3}{4}a_{n}\\right)^{2}}=\\sqrt{\\dfrac{1}{16}+\\dfrac{9}{16}}\\cdot a_{n}=\\sqrt{\\dfrac{10}{16}}\\cdot a_{n}=\\dfrac{\\sqrt{10}}{4}a_{n}\\]

\n

Zatem iloraz ciągu boków to \\(q=\\dfrac{\\sqrt{10}}{4}\\).

\n

Obwody: \\(L_{n}=4a_{n}\\), więc ciąg obwodów ma ten sam iloraz \\(q=\\dfrac{\\sqrt{10}}{4}\\).

\n
Sprawdzenie zbieżności
\n

\\(q=\\dfrac{\\sqrt{10}}{4}\\approx\\dfrac{3{,}16}{4}\\approx 0{,}79<1\\). Formalnie: \\(\\left(\\dfrac{\\sqrt{10}}{4}\\right)^{2}=\\dfrac{10}{16}<1\\), więc \\(|q|<1\\). Szereg jest zbieżny.

\n
Suma szeregu geometrycznego
\n

Karta wzorów, dział V: \\(S=\\dfrac{a_{1}}{1-q}\\), gdzie \\(a_{1}=L_{1}=4a\\).

\n

\\[L=\\dfrac{4a}{1-\\frac{\\sqrt{10}}{4}}=\\dfrac{4a}{\\frac{4-\\sqrt{10}}{4}}=\\dfrac{16a}{4-\\sqrt{10}}\\]

\n

Usuwamy niewymierność z mianownika mnożąc przez \\(\\dfrac{4+\\sqrt{10}}{4+\\sqrt{10}}\\):
\\[L=\\dfrac{16a(4+\\sqrt{10})}{16-10}=\\dfrac{16a(4+\\sqrt{10})}{6}=\\dfrac{8a(4+\\sqrt{10})}{3}\\]

\n

Odpowiedź: \\(L=\\dfrac{8(4+\\sqrt{10})a}{3}\\) (równoważnie \\(\\dfrac{4a}{1-\\frac{\\sqrt{10}}{4}}\\)).

\n
Sposób 2 - suma pól
\n

Podobnie można obliczyć pola (iloraz \\(q^{2}=\\dfrac{10}{16}=\\dfrac{5}{8}\\)). Tu jednak pytanie dotyczy obwodów, więc korzystamy z ilorazu \\(q=\\dfrac{\\sqrt{10}}{4}\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Przy kwadracie, w którym nowy wierzchołek dzieli bok w stosunku \\(k:(n-k)\\), iloraz boków to \\(\\dfrac{\\sqrt{k^{2}+(n-k)^{2}}}{n}\\). Przy stosunku \\(1:3\\) otrzymujemy \\(\\dfrac{\\sqrt{10}}{4}\\); przy \\(1:1\\) (środki boków) - \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$m \\\\in \\\\left(\\\\dfrac{11}{5}, \\\\dfrac{9}{4}\\\\right)$

"}]}