Zadanie 12.
Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 81log3 𝑥+ 2 ⋅ log2 √27 ⋅ log3 2
3
⋅𝑥2 -6𝑥 dla
każdej liczby dodatniej 𝑥.
Odpowiedź: 12.1. $81^{\\log_3 x} = (3^4)^{\\log_3 x} = 3^{4\\log_3 x} = x^4$. $\\frac{2\\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\cdot 1}{3} = 1$. Stąd $f(x) = x^4 + x^2 - 6x$. 12.2. $f'(x) = 4x^3 + 2x - 6 = 2(x-1)(2x^2+2x+3)$. Pierwiastek $x = 1$ (drugi czynnik $\\Delta < 0$ — bez pierwiastków). Minimum lokalne w $x = 1$: $f(1) = 1+1-6 = -4$.
\nStrona arkusza CKE z trescia zadania
\nCo zrobić?
\nZadanie 12.1: Uprość wyrażenie
\nPierwszy składnik: $81^{\\log_3 x}$
\n$81 = 3^4$, więc $81^{\\log_3 x} = (3^4)^{\\log_3 x} = 3^{4 \\log_3 x} = 3^{\\log_3 x^4} = x^4$
\n(skorzystaliśmy z $4 \\log_3 x = \\log_3 x^4$ i $a^{\\log_a b} = b$)
\nDrugi składnik: $\\frac{2 \\log_2 \\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3}$
\n$\\sqrt{27} = 3^{3/2}$, więc $\\log_2 \\sqrt{27} = \\frac{3}{2} \\log_2 3$.
\nWstaw: $\\frac{2 \\cdot \\frac{3}{2} \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\cdot \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3}$
\nZastosuj $\\log_a b \\cdot \\log_b a = 1$: $\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = 1$.
\n$$\\frac{3 \\cdot 1}{3} = 1$$
\nPodsumowanie:
\n$$f(x) = x^4 + 1 \\cdot x^2 - 6x = x^4 + x^2 - 6x \\quad \\blacksquare$$
\nZadanie 12.2: Znajdź minimum lokalne
\nPolicz pochodną $f'(x)$:
\n$$f'(x) = 4x^3 + 2x - 6$$
\nRozłóż $f'$. Zauważ, że $f'(1) = 4 + 2 - 6 = 0$. Czyli $x = 1$ jest pierwiastkiem. Podziel przez $(x-1)$:
\n$$4x^3 + 2x - 6 = (x-1)(4x^2 + 4x + 6) = 2(x-1)(2x^2 + 2x + 3)$$
\nSprawdź $2x^2 + 2x + 3$. $\\Delta = 4 - 24 = -20 < 0$ — brak pierwiastków rzeczywistych. Wyraz $> 0$ dla wszystkich $x$.
\nZnak $f'(x)$: $2(x-1) \\cdot (\\text{dodatnie})$. Czyli $f'(x) > 0 \\iff x > 1$, $f'(x) < 0 \\iff x < 1$. To znaczy:
\nMinimum lokalne w $x = 1$, $f(1) = 1 + 1 - 6 = -4$.
\nPo co to umieć
\nTrzy własności logarytmów najczęściej testowane na PR:
\nAlgorytm znajdowania ekstremów: $f'(x) = 0$, znajdź pierwiastki, sprawdź zmianę znaku pochodnej (z $-$ na $+$ → minimum; z $+$ na $-$ → maksimum).
\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd w 12.1: zapomnienie własności $a^{\\log_a b} = b$ i $\\log_a b \\cdot \\log_b a = 1$. W 12.2: brak sprawdzenia że $2x^2+2x+3$ nie ma pierwiastków ($\\Delta = 4 - 24 = -20 < 0$).
"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"\\[x \\in \\left\\{\\pi,\\ \\frac{7\\pi}{6},\\ \\frac{11\\pi}{6},\\ 2\\pi\\right\\}\\]
\nKrok 1: Rozkładamy \\(\\sin^2(2x)\\).
\nKorzystamy ze wzoru na sinus podwójnego kąta: \\(\\sin(2x) = 2\\sin x\\cos x\\), zatem:
\\[\\sin^2(2x) = 4\\sin^2 x\\cos^2 x\\]
Równanie przyjmuje postać:
\\[3\\sin^2 x - 4\\sin^2 x\\cos^2 x = 0\\]
Krok 2: Wyłączamy \\(\\sin^2 x\\) przed nawias.
\\[\\sin^2 x\\,(3 - 4\\cos^2 x) = 0\\]
Mamy iloczyn równy zero - wystarczy, że jeden z czynników jest zerem.
\nPrzypadek A: \\(\\sin^2 x = 0\\), czyli \\(\\sin x = 0\\)
\nW przedziale \\(\\langle\\pi, 2\\pi\\rangle\\):
\\[x = \\pi \\qquad \\text{lub} \\qquad x = 2\\pi\\]
Oba punkty należą do przedziału (domkniętego) ✓
\nPrzypadek B: \\(3 - 4\\cos^2 x = 0\\)
\\[4\\cos^2 x = 3 \\implies \\cos^2 x = \\frac{3}{4} \\implies \\cos x = \\pm\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
W przedziale \\(\\langle\\pi, 2\\pi\\rangle\\) cosinus przyjmuje wartości:
\nWszystkie rozwiązania:
\\[\\boxed{x \\in \\left\\{\\pi,\\ \\frac{7\\pi}{6},\\ \\frac{11\\pi}{6},\\ 2\\pi\\right\\}}\\]
Po wyłączeniu \\(\\sin^2 x\\) (tak jak w Sposobie 1) drugi czynnik rozwiązujemy inaczej - przez zamianę \\(\\cos^2 x\\) na wyrażenie z \\(\\sin^2 x\\).
\nKrok 1: Podstawiamy \\(\\cos^2 x = 1 - \\sin^2 x\\) do drugiego czynnika:
\\[3 - 4\\cos^2 x = 3 - 4(1 - \\sin^2 x) = 3 - 4 + 4\\sin^2 x = -1 + 4\\sin^2 x\\]
Równanie staje się:
\\[\\sin^2 x\\,(-1 + 4\\sin^2 x) = 0\\]
Krok 2: Rozwiązujemy drugi czynnik:
\\[4\\sin^2 x = 1 \\implies \\sin^2 x = \\frac{1}{4} \\implies \\sin x = \\pm\\frac{1}{2}\\]
Krok 3: Szukamy rozwiązań w \\(\\langle\\pi, 2\\pi\\rangle\\).
\nW tym przedziale \\(\\sin x \\leq 0\\) (poza punktami \\(\\pi\\) i \\(2\\pi\\), gdzie \\(\\sin x = 0\\)):
\n\\[x = \\pi + \\frac{\\pi}{6} = \\frac{7\\pi}{6} \\qquad \\text{lub} \\qquad x = 2\\pi - \\frac{\\pi}{6} = \\frac{11\\pi}{6}\\]
\nWynik identyczny: \\(x \\in \\left\\{\\pi,\\ \\dfrac{7\\pi}{6},\\ \\dfrac{11\\pi}{6},\\ 2\\pi\\right\\}\\) ✓
\nDział 9 (Trygonometria, s. 12-13) - wzór na sinus podwójnego kąta:
\\[\\sin(2x) = 2\\sin x\\cos x\\]
Użyliśmy go w kroku 1 obu sposobów, by zamienić \\(\\sin^2(2x)\\) na \\(4\\sin^2 x\\cos^2 x\\).
Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2 x + \\cos^2 x = 1 \\implies \\cos^2 x = 1 - \\sin^2 x\\]
Użyta w Sposobie 2 do sprowadzenia wszystkiego do \\(\\sin x\\).
Dział 9 (Trygonometria, s. 12) - wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów szczególnych:
\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2},\\quad \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
Niezbędne przy wyznaczaniu \\(x\\) odpowiadającego \\(\\cos x = \\pm\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) oraz \\(\\sin x = -\\frac{1}{2}\\).
⚠️ Uwaga: Nie dziel obu stron przez \\(\\sin^2 x\\) na początku! Traciłbyś rozwiązania \\(x = \\pi\\) i \\(x = 2\\pi\\), gdzie \\(\\sin x = 0\\). Zawsze wyłącz czynnik przed nawias.\n
⚠️ Uwaga: Przedział \\(\\langle\\pi, 2\\pi\\rangle\\) jest domknięty - punkty \\(x = \\pi\\) i \\(x = 2\\pi\\) należą do przedziału i muszą być sprawdzone. Wielu uczniów eliminuje je bez weryfikacji.\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(\\sin x = -\\frac{1}{2}\\) w przedziale \\(\\langle\\pi, 2\\pi\\rangle\\) łatwo pomylić ćwiartki. Pamiętaj: III ćwiartka to \\(\\pi + \\frac{\\pi}{6}\\), IV ćwiartka to \\(2\\pi - \\frac{\\pi}{6}\\). Narysuj koło jednostkowe jeśli masz wątpliwości!\n
Korzystamy ze wzoru \\(\\sin 2x = 2\\sin x\\cos x\\) (karta wzorów, dział VII), więc \\(\\sin^{2}(2x)=4\\sin^{2}x\\cos^{2}x\\).
\n\\[3\\sin^{2}x-4\\sin^{2}x\\cos^{2}x=0\\]
\\[\\sin^{2}x(3-4\\cos^{2}x)=0\\]
Przypadek A: \\(\\sin^{2}x=0\\Rightarrow\\sin x=0\\).
\nRozwiązania w \\(\\langle\\pi,2\\pi\\rangle\\): \\(x=\\pi\\) oraz \\(x=2\\pi\\) (oba końce należą do przedziału domkniętego).
\nPrzypadek B: \\(3-4\\cos^{2}x=0\\Rightarrow\\cos^{2}x=\\dfrac{3}{4}\\Rightarrow\\cos x=\\pm\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).
\nSzukamy \\(x\\in\\langle\\pi,2\\pi\\rangle\\):
\n\\[x\\in\\left\\{\\pi,\\dfrac{7\\pi}{6},\\dfrac{11\\pi}{6},2\\pi\\right\\}\\]
\n\\(3\\sin^{2}x=\\sin^{2}2x\\Rightarrow\\sqrt{3}|\\sin x|=|\\sin 2x|=2|\\sin x||\\cos x|\\).
\n\\(|\\sin x|(\\sqrt{3}-2|\\cos x|)=0\\).
\nTrik: Gdy widzisz \\(\\sin^{2}x\\) i \\(\\sin^{2}2x\\), natychmiast zamień \\(\\sin 2x\\) na \\(2\\sin x\\cos x\\) i wyłącz \\(\\sin^{2}x\\) przed nawias - nigdy nie dziel przez funkcje trygonometryczne bez założeń!
"}]}