{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"12.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby dodatniej 𝒙 wyrażenie\n𝟖𝟏𝐥𝐨𝐠𝟑𝒙+ 𝟐⋅𝐥𝐨𝐠𝟐√𝟐𝟕⋅𝐥𝐨𝐠𝟑𝟐\n𝟑\n⋅𝒙𝟐-𝟔𝒙\nmożna równoważnie przekształcić do postaci 𝒙𝟒+ 𝒙𝟐-𝟔𝒙.\n12.1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = 81^{log_3 x} + {2⋅log_2 √27 ⋅ log_3 2 / 3} ⋅ x² - 6x dla każdej liczby dodatniej x. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x wyrażenie 81^log_3 x + {2⋅log_2√27⋅log_3 2 / 3} ⋅ x² - 6x można równoważnie przekształcić do postaci x^4 + x² - 6x.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.R1) stosuje wzór na zamianę podstawy\nlogarytmu.\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenie wyrażenia 81log3 𝑥+ 2 ⋅ log2 √27 ⋅ log3 2\n3\n⋅𝑥2 -6𝑥 do\npostaci 𝑥4 + 𝑥2 -6𝑥.\n1 pkt - poprawne zastosowanie własności 𝑎log𝑎𝑏= 𝑏, tj. przekształcenie wyrażenia 3log3 𝑥4\n(lub (3log3 𝑥)\n4) do postaci 𝑥4\nALBO\n- poprawne zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy wyrażenie 81log3 𝑥+ 2 ⋅ log2 √27 ⋅ log32\n3\n⋅𝑥2 -6𝑥, korzystając z własności\nlogarytmów:\n81log3 𝑥+ 2 ⋅log2 √27 ∙log3 2\n3\n∙𝑥2 -6𝑥= (34)log3 𝑥+ 2\n3 log2 3\n3\n2 ∙log3 2 ∙𝑥2 -6𝑥=\n= 34log3 𝑥+ 2\n3 ∙3\n2 ∙log2 3 ∙log3 2 ∙𝑥2 -6𝑥= 3log3 𝑥4 + log2 3 ∙log2 2\nlog2 3 ∙𝑥2 -6𝑥=\n= 𝑥4 + 𝑥2 -6𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$81^{\\log_3 x} = (3^4)^{\\log_3 x} = 3^{4\\log_3 x} = x^4$. $\\frac{2\\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\cdot 1}{3} = 1$. Stąd $f(x) = x^4 + x^2 - 6x$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-12.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-12.1.svg","topics":"logarytmy, ekstrema funkcji, pochodne","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12.1. (0-2)<br>Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej 𝒙 wyrażenie<br>𝟖𝟏𝐥𝐨𝐠𝟑𝒙+ 𝟐⋅𝐥𝐨𝐠𝟐√𝟐𝟕⋅𝐥𝐨𝐠𝟑𝟐<br>𝟑<br>⋅𝒙𝟐-𝟔𝒙<br>można równoważnie przekształcić do postaci 𝒙𝟒+ 𝒙𝟐-𝟔𝒙.<br>12.1.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 81^{log_3 x} + {2⋅log_2 √27 ⋅ log_3 2 / 3} ⋅ x² - 6x dla każdej liczby dodatniej x. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x wyrażenie 81^log_3 x + {2⋅log_2√27⋅log_3 2 / 3} ⋅ x² - 6x można równoważnie przekształcić do postaci x^4 + x² - 6x.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12.1. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024<br>Wymagania ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>I. Sprawność rachunkowa.<br>Wykonywanie obliczeń na liczbach<br>rzeczywistych, także przy użyciu<br>kalkulatora, stosowanie praw działań<br>matematycznych przy przekształcaniu<br>wyrażeń algebraicznych oraz<br>wykorzystywanie tych umiejętności przy<br>rozwiązywaniu problemów w kontekstach<br>rzeczywistych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>I.R1) stosuje wzór na zamianę podstawy<br>logarytmu.<br>I.9) stosuje związek logarytmowania<br>z potęgowaniem, posługuje się wzorami na<br>logarytm iloczynu, logarytm ilorazu<br>i logarytm potęgi.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawne przekształcenie wyrażenia 81log3 𝑥+ 2 ⋅ log2 √27 ⋅ log3 2<br>3<br>⋅𝑥2 -6𝑥 do<br>postaci 𝑥4 + 𝑥2 -6𝑥.<br>1 pkt - poprawne zastosowanie własności 𝑎log𝑎𝑏= 𝑏, tj. przekształcenie wyrażenia 3log3 𝑥4<br>(lub (3log3 𝑥)</p>\n<ol><li>do postaci 𝑥4</li></ol>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przekształcamy wyrażenie 81log3 𝑥+ 2 ⋅ log2 √27 ⋅ log32<br>3<br>⋅𝑥2 -6𝑥, korzystając z własności<br>logarytmów:<br>81log3 𝑥+ 2 ⋅log2 √27 ∙log3 2<br>3<br>∙𝑥2 -6𝑥= (34)log3 𝑥+ 2<br>3 log2 3<br>3<br>2 ∙log3 2 ∙𝑥2 -6𝑥=<br>= 34log3 𝑥+ 2<br>3 ∙3<br>2 ∙log2 3 ∙log3 2 ∙𝑥2 -6𝑥= 3log3 𝑥4 + log2 3 ∙log2 2<br>log2 3 ∙𝑥2 -6𝑥=<br>= 𝑥4 + 𝑥2 -6𝑥<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-12.1.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>$81^{\\log_3 x} = (3^4)^{\\log_3 x} = 3^{4\\log_3 x} = x^4$. $\\frac{2\\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\cdot 1}{3} = 1$. Stąd $f(x) = x^4 + x^2 - 6x$.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$x^4 + x^2 - 6x$</p>"}]}